第11章 不等式与不等式组-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

15 第十一章　不等式与不等式组 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. (苏州中考)若a>b-1,则下列结论一定正 确的是 ( ) A. a+1<b B. a-1<b C. a>b D. a+1>b 2. (湖北中考)不等式x+1≥2的解集在数轴 上表示正确的是 ( ) A B C D 3. (河北中考)下列数中,能使不等式5x-1< 6成立的x的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 新情境 日常生活 (长春中考)不等关系在 生活中广泛存在.如图,a,b分别表示两位同 学的身高数据,c表示台阶的高度数据.图中 两人的对话体现的数学原理是 ( ) 第4题 A. 若a>b,则a+c>b+c B. 若a>b,b>c,则a>c C. 若a>b,c>0,则ac>bc D. 若a>b,c>0,则ac> b c 5. (西宁中考改编)不等式组 x+2<3, -2x≤1 的解 集为 ( ) A. x≤-12 B. -12≤x<1 C. x<1 D. 1 2≤x<1 6. (安徽中考)已知实数a,b满足 a-b+1=0, 0<a+b+1<1, 则下列判断正确的是 ( ) A. -12<a<0 B. 1 2<b<1 C. -2<2a+4b<1 D. -1<4a+2b<0 7. 新情境 低碳生活 小玲搭飞机旅游,已知 她搭飞机产生的碳排放量为800千克,为了 弥补这些碳排放量,她决定上下班时从驾驶 汽车改成搭公交车.根据如图所示的信息, 假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车 的来回总距离皆为20公里.与驾驶汽车相 比,要想减少的碳排放量超过她搭飞机产生 的碳排放量,则她至少要改搭公交车上下班 ( ) 每人使用各种交通工具每移动 1公里产生的碳排放量 ·自行车:0千克 ·公交车:0.04千克 ·机车:0.05千克 ·汽车:0.17千克 第7题 A. 310天B. 309天 C. 308天 D. 307天 8. (南充中考)若关于x的不等式组 2x-1<5, x<m+1 的解集为x<3,则m 的取值范围是 ( ) A. m>2 B. m≥2 C. m<2 D. m≤2 9. 若关于x 的不等式mx-n>0的解集是 x<14 ,则关于x 的不等式nx-n>m+mx 的解集是 ( ) A. x<-53 B. x>-53 C. x<53 D. x>53 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 16 答案讲解 10. 使 得 关 于 x 的 不 等 式 组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有解,且使得关 于y的方程1+(m-y)=2(y-2)有非负 整数解的所有整数m 的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、 填空题(每题3分,共18分) 11. (山东中考)写出满足不等式组 x+2≥1, 2x-1<5 的 一个整数解: . 12. 若关于m 的不等式3m+2≤k的正整数解 是1,2,3,则k的取值范围是 . 13. 新情境 日常生活 (常州中考)“绿波”指 车辆到达前方各路口时,均遇上绿灯,提高 通行 效 率.小 亮 爸 爸 行 驶 在 最 高 限 速 80km/h的路段上,某时刻的导航界面如图 所示,前方第一个路口显示绿灯倒计时 32s,第二个路口显示红灯倒计时44s,此 时车辆分别距离两个路口480m和880m. 已知第一个路口红、绿灯的设定时间分别 是30s,50s,第二个路口红、绿灯的设定时 间分别是45s,60s.若不考虑其他因素,小 亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速 “绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬 间也可通过),则车速v(km/h)的取值范围 是 . 第13题 14. (聊城中考)若不等式组 x-1 2 ≥ x-2 3 , 2x-m≥x 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的解 集为x≥m,则m 的取值范围是 . 答案讲解 15. ★若关于x的不等式组 1 2 (x+5)≥3, m-x>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 恰有3个整数解, 则m 的取值范围是 . 答案讲解 16. 若6a=3b+12=2c,且b≥0,c≤ 9,设t=2a+b-c,则t的取值范围 是 . 三、 解答题(共52分) 17. ★(6 分)(淄 博 中 考)解 不 等 式 组: 1 2+2x<- 3 2x+4 , x-3<1+2x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 并求所有整数解的和. 18. (6分)若关于x 的方程2x-3m=2m- 4x+4的解不小于78- 1-m 3 ,求m 的取值 范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 17 答案讲解 19. ★(8分)已知关于x,y 的方程组 2x-y=-3a, x+2y=a-4. (1) 求这个方程组的解; (2) 当整数a取何值时,这个方程组的解中 的x为负数,y为非正数? 20. (10分)情境题 新科技 (南通中考)某快 递企业为提高工作效率,拟购买A,B两种 型号的机器人进行快递分拣.相关信息如 下表: A型机器人 台数 B型机器人 台数 总费用/ 万元 1 3 260 3 2 360 已知 A 型机器人每台每天可分拣快递 22万件;B型机器人每台每天可分拣快递 18万件. (1) 求A,B两种型号的机器人的单价; (2) 现该企业准备用不超过700万元购买 A,B两种型号的机器人共10台,则该企业 选择哪种购买方案能使每天分拣快递的件 数最多? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 18 21. (10分)(龙东地区中考)为了增强学生的体 质,某学校倡导学生在大课间开展踢毽子 活动,需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购 买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个 共需要200元,购买甲种品牌毽子15个和 乙种品牌毽子10个共需要325元. (1) 购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品 牌毽子各需要多少元? (2) 若购买甲、乙两种品牌毽子共花费 1000元,购买甲种品牌毽子的数量不低于 乙种品牌毽子数量的5倍,且不超过乙种 品牌毽子数量的16倍,则有哪几种购买 方案? (3) 若商家每售出1个甲种品牌毽子的利 润是5元,每售出1个乙种品牌毽子的利润 是4元,则在(2)的条件下,当学校如何购 买毽子时,商家获得的总利润最大? 最大 总利润是多少元? 答案讲解 22. (12分)新考法 新定义题 如果 某个一元一次方程的解是某个一 元一次不等式组的解,那么称该一 元一次方程为该不等式组的“关联方程”. 例如:方程x-3=0的解为x=3,不等式 组 x-1>0, x<4 的解集为1<x<4.由1<3<4, 可得方程x-3=0为不等式组 x-1>0, x<4 的“关联方程”. (1) 有下列方程:① 3x-1=0;② 2 3x+1= 0;③ x-(3x+1)=-5.其中,不等式组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2 的“关联方程”是 (填序号). (2) 若不等式组 x-12<1 , 1+x>-3x+2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的一个 “关联方程”的解是整数,则这个“关联方 程”可以是 (写出一个即可). (3) 若方程9-x=2x,3+x=2x+12 都 是关于x的不等式组 x<2x-m, x-2≤m 的“关联 方程”,求m 的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 4 16. 3 2 三、 17. (1) x=2, y= 1 2. (2) x=2,y=3. (3) x=1, y=2, z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 18. 把 x=3, y=-5 代入①,得3a-5b=8③.把 x=5, y=-3 代入 ①,得5a-3b=8④.④×5-③×3,得16a=16,解得a= 1.把a=1代入③,得3-5b=8,解得b=-1.把 x=5, y=-3 代入②,得5c-3=12,解得c=3.∴ a+b+3c= 1-1+9=9.∵ 9的平方根为±3,∴ a+b+3c的平方根 为±3. 方程组的错解问题的解法 方程组的解是使方程组中的每个方程都成立的未 知数的值,所以看错一个方程的系数而求出方程组的错 解,应该把这个错解代入另一个没有看错系数的方程. 19. 记 2x-3y-2=0①, 2x-3y+5 7 +2y=9②. 由①,得2x-3y=2③.将 ③代入②,得2+57 +2y=9 ,解得y=4.把y=4代入③, 得2x-3×4=2,解得x=7.∴ 原方程组的解为 x=7, y=4. 20. 设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为 x元、y 元.由 题 意,得 (10x+5y)×0.8=160, x-y=5, 解 得 x=15, y=10. ∴ 促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分 别为15元、10元. 21. 由题意,得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+ b)m.∵ a=b,c=d,∴ AB=(1.2+2c)m,AD=(0.8+ 2a)m.由 题 意,得 10(1.2+2c)=16(0.8+2a), c=2a, 解 得 a=0.1, c=0.2. ∴ b=0.1,d=0.2.∴ 上、下、左、右边衬的宽分 别是0.1m,0.1m,0.2m,0.2m. 22. (1) 当y=x时,x=-2x+3,解得x=1.∴ “雅系二 元一次方程”y=-2x+3的“完美值”为1.(2) 把x= -1,y=x 代入y=5x+m,得-1=-5+m,解得m= 4.(3) 存在.把y=x代入y=-x+n-1,得x=-x+ n-1,解得x=n-12 ;把y=x 代入y= 1 2x-n ,得x= 1 2x-n ,解得x=-2n.∵ “雅系二元一次方程”y= -x+n-1与y= 1 2x-n (n为常数)的“完美值”相同, ∴ n-1 2 =-2n ,解得n=15.∴ n-1 2 =-2n=- 2 5. ∴ 存在n=15 ,使“雅系二元一次方程”y=-x+n-1与 y= 1 2x-n (n为常数)的“完美值”相同,此时的“完美值” 为-25. 第十一章　不等式与不等式组 一、 1. D 2. A 3. A 4. A 5. B 6. C 7. C 8. B 9. B 解析:∵ mx-n>0,∴ mx>n.∵ 不等式mx- n>0的解集是x<14 ,∴ m<0且nm= 1 4.∴ n=14m< 0,m=4n.∵ nx-n>m+mx,∴ nx-mx>m+n,即 nx-4nx>4n+n.∴ -3nx>5n.∵ -3n>0,∴ x> -53. 10. D 解析:由不等式组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1, 得m-2≤ x≤-2m+1.由方程1+(m-y)=2(y-2),得y= m+5 3 .∵ 关于x 的不等式组 -x2≤- m 2+1 , -2x+1≥4m-1 有解,且 使得关于y的方程1+(m-y)=2(y-2)有非负整数解, ∴ -2m+1≥m-2,解得m≤1;由m+53 是非负整数,m 是整数,得m=-5,-2,1.∴ 整数m 的个数为3. 二、 11. 答案不唯一,如-1 12. 11≤k<14 13. 54≤ v≤72 14. m≥-1 15. 3<m≤4 解析:将不等式组整理,得 x≥1, x<m. ∵ 不等 式组恰有3个整数解,∴ 整数解为x=1,2,3.∴ m 的取 值范围是3<m≤4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 当一元一次不等式组(含参数)有若干个整数解时, 求参数的取值范围的步骤 先解一元一次不等式组求出解集,再在数轴上确 定不等式组的解集的大概位置,结合数轴确定参数的 范围,最后验证临界值,确定临界点. 16. -2≤t≤-1 解析:∵ 6a=3b+12=2c,∴ c=3a, 2a=b+4.∴ b=2a-4.∴ t=2a+b-c=2a+2a-4- 3a=a-4.∵ b≥0,c≤9,∴ 2a-4≥0,3a≤9.∴ 2≤a≤ 3.∴ -2≤a-4≤-1.∴ -2≤t≤-1. 三、 17. 记 1 2+2x<- 3 2x+4① , x-3<1+2x②. 解不等式①,得x< 1;解不等式②,得x>-4.∴ 原不等式组的解集为-4< x<1.∴ 不等式组所有整数解的和为-3+(-2)+ (-1)+0=-6. 求一元一次不等式组的特殊解的方法 求一元一次不等式组的特殊解,必须先求出一元 一次不等式组的解集,然后在解集中根据特殊解的特 殊性求解. 18. 解方程2x-3m=2m-4x+4,得x=4+5m6 .∵ 关于 x的方程2x-3m=2m-4x+4的解不小于78- 1-m 3 , ∴ 4+5m 6 ≥ 7 8- 1-m 3 ,解得m≥-14 ,即m 的取值范围 是m≥-14. 19. (1) 记 2x-y=-3a①, x+2y=a-4②. ①×2+②,得5x=-5a- 4,∴ x=-a-45. 把x=-a-45 代入②,得-a-45+ 2y=a -4.∴ y =a - 8 5.∴ 方 程 组 的 解 为 x=-a-45 , y=a- 8 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) ∵ x 为负数,y 为非正数,∴ x<0, y≤0, 即 -a-45<0 , a-85≤0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得- 4 5<a≤ 8 5.∵ a为整数,∴ a的 值为0或1. 利用构造不等式组法求方程组中待求字母的取值范围 当方程组的解满足特定要求时,先设法求出这个 方程组的解,然后根据题意列出不等式组求出待求字 母的取值范围. 20. (1) 设A型机器人的单价为x万元,B型机器人的单 价为y 万元.由题意,得 x+3y=260, 3x+2y=360, 解得 x=80, y=60. ∴ A型机器人的单价为80万元,B型机器人的单价为 60万元.(2) 设购买A型机器人a台,则购买B型机器人 (10-a)台.由题意,得80a+60(10-a)≤700,∴ a≤ 5.∵ 每天分拣快递的件数为22a+18(10-a)=4a+ 180,∴ 易得当a=5时,每天分拣快递的件数最多.∴ 选 择购买A型机器人5台,购买B型机器人5台. 21. (1) 设购买1个甲种品牌毽子需要x元,购买1个乙 种品牌毽子需要y元.根据题意,得 10x+5y=200, 15x+10y=325, 解 得 x=15, y=10. ∴ 购买1个甲种品牌毽子需要15元,购买 1个乙种品牌毽子需要10元.(2) 设购买m 个甲种品牌 毽子,则购买1000-15m 10 = 100- 3 2m 个乙种品牌毽 子.根据题意,得 m≥5100-32m , m≤16100-32m , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1000 17 ≤m≤ 64.又∵ m,100-32m 的值均为正整数,∴ m 的值可以 为60或62或64.∴ 学校共有3种购买方案.方案1:购买 60个甲种品牌毽子,100-32×60=10 (个)乙种品牌毽 子;方案2:购买62个甲种品牌毽子,100-32×62= 7(个)乙种品牌毽子;方案3:购买64个甲种品牌毽子, 100-32×64=4 (个)乙种品牌毽子.(3) 若学校选择方案 1,则商家可获得的总利润为5×60+4×10=340(元);若 学校选择方案2,则商家可获得的总利润为5×62+4× 7=338(元);若学校选择方案3,则商家可获得的总利润 为5×64+4×4=336(元).∵ 340>338>336,∴ 在 (2)的条件下,当学校购买60个甲种品牌毽子,10个乙种 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 品牌毽子时,商家获得的总利润最大,最大总利润是 340元. 22. (1) ③.解析:解方程①,得x=13 ;解方程②,得 x= - 32 ;解 方 程 ③,得 x =2.解 不 等 式 组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2, 得 34 <x < 72.∴ 不 等 式 组 -x+2>x-5, 3x-1>-x+2 的“关联方程”是③. (2) 答案不唯一,如2x-2=0.(3) 解方程9-x=2x,得 x=3;解方程3+x=2x+12 ,得x=2.解不等式组 x<2x-m, x-2≤m, 得m<x≤m+2.∵ 方程9-x=2x,3+ x=2x+12 都是关于x 的不等式组 x<2x-m, x-2≤m 的 “关联方程”,∴ m 的取值范围是1≤m<2. 第十二章　数据的收集、整理与描述 一、 1. B 2. A 3. D 4. D 确定组数的方法 若最大值与最小值的差除以组距,所得的商是整 数,则这个商即为组数;若最大值与最小值的差除以组 距,所得的商是小数,则这个商的整数部分加1即为 组数. 5. C 6. D 7. B 8. B 二、 9. 抽样调查 10. ③④②① 11. 40% 12. 5 13. 甲 14. 20 解析:∵ C类作业有30份,且C类作业份数占总 份数的30%,∴ 总份数为30÷30%=100.∵ A,D类作 业分别有25份、25份,∴ B类作业的份数为100-25- 30-25=20. 获取双统计图中信息的方法 理解每种统计图的特点、各自的优势,结合题目中 给出的关键信息,根据问题需要获取信息.要注意两幅 统计图中对同一个项目的信息的两种不同的描述方 式,这是两幅统计图之间联系的纽带. 三、 15. (1) 在这次调查中,一共抽取了8÷20%= 40(名)学生.(2) 喜欢规划馆的学生人数为40-14-10- 8=8.补全条形图如图所示.(3) 估计该中学最喜欢科技 馆的学生人数为800×1440=280. 第15题 16. (1) 50;30;6.(2) 补全条形图如图所示.(3) 扇形图中 “混动”类所在扇形的圆心角度数为360°×30%=108°. (4) 估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的人数为 4000×(54%+30%+6%)=3600. 第16题 复习进阶自主检测 一、 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. D 8. D 9. B 10. B 解析:∵ ∠EAD=∠D,∠B=∠D,∴ ∠EAD= ∠B.∴ AD∥BC.故①正 确.∴ ∠AGK =∠CKG. ∵ ∠CKG=∠CGK,∴ ∠AGK=∠CGK.∴ GK 平分 ∠AGC.故②正确.如图,延长EF 交AD 于点P,延长 CH 交AD 于点Q.∵ EF∥CH,∴ ∠EPQ=∠CQP. ∵ 易得∠EPQ=∠E+∠EAG,∴ ∠CQG=∠E+ ∠EAG.∵ AD∥BC,∴ ∠HCK + ∠CQG =180°. ∴ ∠E+∠EAG+∠HCK=180°.故③正确.∵ ∠FGA 的余角比∠DGH 大16°,∴ 90°-∠FGA-∠DGH= 16°.∵ ∠FGA = ∠DGH,∴ 90°-2∠FGA =16°. ∴ ∠FGA=∠DGH =37°.设∠AGM =α,∠MGK = β.∴ ∠AGK=α+β.∵ GK 平分∠AGC,∴ ∠CGK= ∠AGK=α+β.∵ GM 平 分 ∠FGC,∴ ∠FGM = ∠CGM.∴ ∠FGA + ∠AGM = ∠MGK + ∠CGK. ∴ 37°+α=β+α+β.∴ β=18.5°.∴ ∠MGK=18.5°.故 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈