第7章 相交线与平行线-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

1 第七章　相交线与平行线 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 如图,六边形ABCDEF 是由6个相同的等 边三角形组成的.在6个三角形中,除三角 形OBC 外,可以由三角形OBC 平移得到的 三角形共有 ( ) 第1题 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 有下列说法:① 连接两点的线段的长度叫作 两点间的距离;② 连接直线外的一点和直线 上的一点的线段叫作点到直线的距离;③ 从 直线外一点所引的这条直线的垂线叫作这 点到直线的距离;④ 画一条直线的垂线段可 以画无数条.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 3. ★ 新考向 数学文化 风筝是我国古代劳动 人民在春秋时期发明的,在不断改进之后, 坊间开始用纸做风筝,称为“纸鸢”.在如图 所示的纸鸢骨架中,与∠1构成同位角的是 ( ) 第3题 A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 4. 已知∠1=∠2,则下列各图中,能判断AB∥ CD 的是 ( ) A B C D 5. 如图,点O 在直线AB 上,OC⊥AB,OE⊥ OF.若∠AOE=45.2°,则∠COF 的度数为 ( ) 第5题 A. 45°12' B. 45°20' C. 44°48' D. 44°80' 6. 新考法 数学实验 (赤峰中考)将一副三角 尺按如图所示的方式摆放,使有刻度的两条 边互相平行,则∠1的度数为 ( ) A. 100° B. 105° C. 115° D. 120° 第6题 第7题 7. 如图,有下列条件:① ∠1=∠3;② ∠2+ ∠4=180°;③ ∠4=∠5;④ ∠2=∠3; ⑤ ∠6=∠2+∠3.其中,能判断直线l1∥ l2的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注:标“★”的题目设有 “方法点金”或“易错提 示”,详见“答案与解析”. 拍 照 批 改 2 8. 新情境 日常生活 某市为了方便市民绿色 出行,推出了共享单车服务.如图所示为某 共享单车的局部示意图,AB,CD 都与地面l 平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当AM∥ CB 时,∠MAC 的度数为 ( ) A. 16° B. 60° C. 66° D. 114° 第8题 第9题 9. 数形结合思想 (苏州中考)如图,在正方形 网格内,线段PQ 的两个端点都在格点上, 网格内另有A,B,C,D 四个格点.下列结论 正确的是 ( ) A. 连接AB,则AB∥PQ B. 连接BC,则BC∥PQ C. 连接BD,则BD⊥PQ D. 连接AD,则AD⊥PQ 答案讲解 10. 新考法 数学实验 (大庆中考) 如图,在一次综合实践课上,为检 验纸带①②的边线是否平行,小庆 和小铁采用了两种不同的方法:小庆把纸 带①沿AB 折叠,量得∠1=∠2=59°;小铁 把纸带②沿GH 折叠,发现GD 与GC 重 合,HF 与HE 重合,且点C,G,D 在同一 条直线上,点E,H,F 也在同一条直线上. 下列判断正确的是 ( ) 第10题 A. 纸带①②的边线都平行 B. 纸带①②的边线都不平行 C. 纸带①的边线平行,纸带②的边线不 平行 D. 纸带①的边线不平行,纸带②的边线 平行 二、 填空题(每题3分,共18分) 11. 如图,将三角形DEF 沿FE 方向平移3cm 得到三角形ABC.若三角形DEF 的周长为 24cm,则四边形ABFD的周长为 cm. 第11题 12. 新情境 日常生活 (威海中考)某些灯具 的设计原理与抛物线有关.如图,从点O 照 射到抛物线上的光线OA,OB 反射后都沿 着与PQ(点O 在PQ 上)平行的方向射出. 若∠AOB=150°,∠OBD=90°,则∠OAC= . 第12题 13. 有下列命题:① 同位角相等;② 相等的角 是对顶角;③ 过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直;④ 垂线段最短.其中,真命 题是 (填序号). 14. 如图,∠AOB 和∠BOC 互为邻补角,且 ∠BOC∶∠AOB=4∶1,射线OD 平分 ∠AOB,射线OE⊥OD,则∠BOE 的度数 为 . 第14题 第15题 15. 新情境 数学与生活 如图,林林按虚线剪 去长方形纸片的相邻两个角,并使∠1= 120°,由于不小心,把点B 处的角撕坏了, 测得∠BCD=30°,则被撕坏了的∠ABC 的 度数为 . 答案讲解 16. ★已知∠α的两边与∠β的两边分 别平行,且∠α的度数比∠β的度 数的一半多30°,则∠α的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 3 三、 解答题(共52分) 17. (6分)如图,直线l1∥l2,AB⊥l1,垂足为 O,BC 与l2 相交于点E.若∠1=41°,求 ∠ABC 的度数. 第17题 18. (8分)新情境 数学与生活 如图,平原上 有A,B,C,D 四个村庄,为解决当地缺水 问题,政府准备投资修建一个蓄水池. (1) 不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池 点H 的位置,使它到四个村庄的距离之和 最小. (2) 在(1)的条件下,计划把河水引入蓄水池 点H 中,怎样开渠距离最短? 请你画出来. 第18题 答案讲解 19. ★(10分)如图,直线AB,CD 交于 点 O,OE 平 分 ∠BOC,OF 是 ∠DOE 的平分线. (1) 求证:∠AOD=2∠COE; (2) 若∠AOC=50°,求∠EOF 的度数; (3) 若∠BOF=15°,求∠AOC 的度数. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 4 20. (14分)(1) 如图①,直线AB∥CD,连接 BE,CE,可以证明∠BEC=∠B+∠C.请 把下面的证明过程补充完整: 证明:如图①,过点E 作EF∥AB. ∴ ∠B=∠BEF( ). ∵ AB∥CD,EF∥AB, ∴ EF∥CD( ). ∴ ∠C=∠CEF. ∵ ∠B+∠C= + , ∴ ∠BEC=∠B+∠C(等式的基本事实). (2) 如果点E 运动到如图②所示的位置, 其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°- ∠BEC. (3) 如图③,AB∥CD,E,F 是AB 与CD 之间的点,探究∠B,∠BEF,∠EFD,∠D 之间的数量关系. 第20题 答案讲解 21. (14分)新考法 探究题 如图①, 射线 OB 在∠AOC 内,若 满 足 ∠BOC+∠AOC=180°,则称射线 OB 为∠BOC 与∠AOC 的互补线. (1) 如图②,O 是直线AD 上一点,射线 OB,OC 在直线AD 的同侧,且射线OC 平 分∠BOD.求证:射线 OB 为∠BOC 与 ∠AOC 的互补线. (2) 如图③,直线AB,CD 相交于点O,射 线OE 为∠BOC 与∠BOE 的互补线.若 ∠AOD=136°,求∠DOE 的度数. (3) 如图④,射线OB 为∠BOC 与∠AOC 的互 补 线,且 射 线 OE,OF 分 别 平 分 ∠AOC,∠BOC,则∠BOC+∠EOF 的度 数是否改变? 若不改变,求出∠BOC+ ∠EOF 的度数;若改变,请说明理由. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 1 1 复习进阶 第七章　相交线与平行线 一、 1. B 2. D 3. A 正确识别同位角的方法 两条直线被第三条直线所截,我们称第三条直线 是截线,两条被截的直线是被截线.位于截线同侧,被 截线同一方向上的两个角是同位角.如果两个角共用一 个顶点或出现四条线,那么这两个角一定不是同位角. 4. D 5. A 6. B 7. D 8. C 9. B 10. D 解析:如图,对于纸带①,∵ ∠1=∠2=59°, ∴ ∠1=∠ADB=59°.∴ ∠DBA=180°-∠ADB- ∠2=62°.由翻折的性质,得∠ABC=∠DBA=62°. ∴ ∠DBE=180°-∠ABC-∠DBA=56°.∴ ∠1≠ ∠DBE.∴ AD 与EB 不平行.对于纸带②,由翻折的性 质,得∠CGH=∠DGH,∠EHG=∠FHG.∵ 点C,G, D 在 同 一 直 线 上,点 E,H,F 也 在 同 一 直 线 上, ∴ ∠CGH+∠DGH=180°,∠EHG+∠FHG=180°. ∴ ∠CGH =∠DGH =90°,∠EHG=∠FHG=90°. ∴ ∠CGH+∠EHG=180°.∴ CD∥EF.综上所述,纸带 ①的边线不平行,纸带②的边线平行. 第10题 二、 11. 30 12. 60° 13. ④ 14. 72° 15. 90° 16. 60°或80° 解析:由题意,易得∠α=∠β 或∠α+ ∠β=180°.∵ ∠α 的度数比∠β 的度数的一半多30°, ∴ ∠α=12∠β+30°.① 当∠α=∠β时, 1 2∠β+30°= ∠β,解得∠β=60°.∴ ∠α=60°.② 当∠α+∠β=180° 时,1 2∠β+30°+∠β=180° ,解得∠β=100°.∴ ∠α= 1 2×100°+30°=80°. 综上所述,∠α的度数为60°或80°. 因考虑不全面导致漏解 在同一平面内,当两个角的两边互相平行时,这两 个角相等或互补.本题中没有给出图形,易因考虑不全 面导致漏解. 三、 17. 过点B 向右作BD∥l1.∵ AB⊥l1,∴ AB⊥ BD.∴ ∠ABD=90°.∵ l1∥l2,BD∥l1,∴ BD∥l2. ∴ ∠CBD=∠1=41°.∴ ∠ABC=∠CBD+∠ABD= 41°+90°=131°. 18. (1) 如图,点H 为所求作.(2) 如图,过点H 作HG⊥ EF 于点G,此时沿着HG 开渠距离最短. 第18题 19. (1) ∵ OE 平 分∠BOC,∴ ∠BOC=2∠COE. ∵ ∠AOD = ∠BOC, ∴ ∠AOD = 2 ∠COE. (2) ∵ ∠AOC=50°,∴ ∠BOC=180°-50°=130°. ∵ OE 平 分 ∠BOC,∴ ∠EOC = 12 ∠BOC =65°. ∴ ∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°.∵ OF 平 分∠DOE,∴ ∠EOF=12∠DOE= 1 2×115°=57.5°. (3) 设 ∠AOC = ∠BOD =α.∵ ∠BOF =15°, ∴ ∠DOF=α+15°.∵ OF 平分∠DOE,∴ ∠EOF= ∠DOF=α+15°.∴ ∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+ 30°.∵ OE 平分∠BOC,∴ ∠BOC=2∠EOB=2α+ 60°.∵ ∠BOC+∠BOD=180°,∴ 2α+60°+α=180°. ∴ α=40°,即∠AOC=40°. 利用方程思想解题 在直线相交的图形中求角的度数时,通过分析题 目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关 系,把待求的角用未知数表示,与之有关的角用含未知 数的式子表示,根据角之间的数量关系建立方程,把图 形中的计算问题转化为解方程问题. 20. (1) 两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;∠BEF; ∠CEF.(2) 过点 E 向左作EF∥AB.∵ AB∥CD, ∴ AB∥CD∥EF.∴ ∠B + ∠BEF =180°,∠C+ ∠CEF=180°.∴ ∠B+∠BEF+∠C+∠CEF=360°, 即∠B+∠C+∠BEC=360°.∴ ∠B+∠C=360°- ∠BEC.(3) 如图,作EG∥AB,FH∥CD.∵ AB∥CD, ∴ EG∥AB∥FH∥CD.∴ ∠B=∠1,∠2=∠3,∠4+ ∠D=180°.∴ ∠1+∠2=∠B+∠3,即∠BEF=∠B+ ∠3.∴ ∠3= ∠BEF- ∠B.∵ ∠4+ ∠D =180°, ∴ ∠4=180°-∠D.∴ ∠3+∠4=∠BEF-∠B+ 180°-∠D,即∠EFD=∠BEF-∠B+180°-∠D. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 ∴ ∠B+∠D+∠EFD-∠BEF=180°. 第20题 21. (1) ∵ 射线OC 平分∠BOD,∴ ∠BOC=∠COD. ∵ ∠AOC+ ∠COD =180°,∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°.∴ 射 线 OB 为 ∠BOC 与 ∠AOC 的 互 补 线. (2) ∵ 射 线 OE 为 ∠BOC 与 ∠BOE 的 互 补 线, ∴ ∠BOC+∠BOE=180°.又∵ ∠AOC+∠BOC= 180°,∴ ∠AOC=∠BOE.∵ ∠AOC+∠AOD=180°,且 ∠AOD=136°,∴ ∠AOC=180°-∠AOD=180°- 136°=44°.∴ ∠BOE=44°.∴ ∠COE=180°-∠AOC- ∠BOE=180°-44°-44°=92°.∴ ∠DOE=180°- ∠COE=180°-92°=88°.(3) ∠BOC+∠EOF 的度数不 改变.∵ 射 线 OB 为 ∠BOC 与 ∠AOC 的 互 补 线, ∴ ∠AOC+∠BOC=180°.∵ 射线OE,OF 分别平分 ∠AOC,∠BOC,∴ ∠AOE = ∠EOC,∠BOF = ∠FOC.∵ ∠AOC + ∠BOC =180°,∴ ∠BOF + ∠FOC+ ∠AOE + ∠EOC =180°.∴ 2∠BOF + 2∠EOC=180°.∴ ∠BOF+∠EOC=90°.∵ ∠EOC= ∠EOB+ ∠BOF + ∠FOC,∴ ∠BOF + ∠EOB + ∠BOF+∠FOC=90°.∴ 2∠BOF+∠EOB+∠FOC= 90°.∴ 2∠BOF+∠EOB+∠BOF=90°.∵ 2∠BOF= ∠BOC,∠EOB + ∠BOF = ∠EOF,∴ ∠BOC+ ∠EOF=90°. 第八章　实　数 一、 1. B 2. C 有关无理数的错误认识 无理数是指无限不循环小数,不能错误地认为无 限小数就是无理数,不能从书写形式上认为含有根号 的数就是无理数,如 364是有理数. 3. A 4. B 5. B 6. D 7. D 8. C 9. A 10. B 二、 11. 6 π2-1 1 2 12. 答案不唯一,如2 13. 1 14. 0或4 15. 9 16. -24 三、 17. 整数:{ 121,0,3-216,(-2)2020,-52,…}; 负实数:-73 ,3-5, 3-216,- 62,-52,… ;无理 数: 56,π3 ,3-5, - 62,… . 18. (1) 原式=-4+3+1=0.(2) 原式=6-3+2=5. (3) 原式=-3-0-14+0.5+ 1 4=-2.5. 19. (1) x=±4.(2) x=83 或x=-23. (3) x=-14. 20. (1) ∵ [a,b]*[c,d]=ac-bd,∴ [-4,3]*[2, -6]=-4×2-3×(-6)=10.(2) ∵ [x,2x-1]*[1, 2]=8,∴ x-2(2x-1) =8,解得x=-2. 21. (1) ∵ 正实数x的两个不同的平方根是m 和m+b, ∴ m+m+b=0.∵ b=16,∴ 2m+16=0.∴ m= -8.(2) ∵ 正实数x的两个不同的平方根是m 和m+b, ∴ (m+b)2=x,m2=x.∵ m2x+2(m+b)2x=27, ∴ x2+2x2=27.∴ x2=9.∵ x>0,∴ x=3. 利用算术平方根、平方根的定义求值的思路 正确理解算术平方根和平方根的定义是解决问题 的关键.若已知一个正数的算术平方根,则这个正数等 于其算术平方根的平方;若已知一个正数的平方根,则 这个正数等于其任意一个平方根的平方.根据一个数 和它的平方根或算术平方根的关系列出方程,即可求 出相应字母的值. 22. (1) ① |x-2|.② -1或5.(2) -1≤x≤2. (3) ① ∵ a是最大的负整数,∴ a=-1.∵ (c-5)2+ |a+b|=0,∴ c-5=0,a+b=0.∴ b=1,c=5.② BC- AB 的值不随着时间t的变化而改变.∵ 点A 以每秒1个 单位长度的速度向左运动,点B,C 分别以每秒1个单位 长度和3个单位长度的速度向右运动,∴ BC=(5+3t)- (1+t)=2t+4,AB=(1+t)-(-1-t)=2t+2. ∴ BC-AB=(2t+4)-(2t+2)=2. 第九章　平面直角坐标系 一、 1. B 2. A 3. B 4. C 5. D 求与坐标轴平行的直线上的点的坐标的方法 由点动成线,可知与坐标轴平行的直线可以看成 是点沿与坐标轴平行的方向平移得到的直线.故与 x轴(或y 轴)平行的直线上的点的纵(或横)坐标相 等.本题直线与x 轴平行,所以点的纵坐标相等.由于 题目没有说明点B 位于点A 的左侧还是右侧,故需要 分类讨论. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈