平面向量与复数练习题-2026届高三数学一轮复习

平面向量的概念及线性运算 题型一　平面向量的基本概念 例1　(1)下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中，一定有 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 答案　C 解析　A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且和方向相同，故；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同. (2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一(排除法) ，不共线，，不共线，故A，B错误；，方向相反，C错误；故选D. 方法二　在等腰梯形ABCD中，，不平行，，不平行，故A，B错误； ∵AB∥CD，∴，则， 即，即， ∵EF∥AB，∴， ∴PE＝PF，即P为EF的中点， ∴，故C错误，D正确. 题型二　平面向量的线性运算 例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案　B 解析　－2＝()＋()＝，， ∴||＝||. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形. 例3　(2025·成都模拟)在△ABC中，＋2＝0，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为＋2＝0， 所以D为线段BC上靠近C的三等分点，如图所示， 故)＝. 题型三　共线定理及其应用 例4　(1)(2024·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.＝－2 B.λμ＝－2 C.＝2 D.λμ＝2 答案　D 解析　由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R， 又e1，e2是两个不共线的向量， 故解得λμ＝2. (2)如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　　　　. 答案　 解析　因为，所以＝3， 因为＝m＝m， 且B，P，N三点共线， 所以m＋＝1，所以m＝. 典例　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A.1 B. C. D. 答案　B 解析　方法一　(常规方法)∵E为线段AO的中点， ∴)＝ ＝＝λ＋μ， ∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 方法二　(等和线法) 如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k， 则k＝. 由图易知，，即λ＋μ＝k＝. (2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为　　　　　　. 答案　2 解析　如图，点D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，点P为DE与BN的交点， ＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y， 设2x＋y＝k，作出定值为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线， 当点M在点N所在的位置时，2x＋y最大， 则kmax＝＝2，所以2x＋y的最大值为2. 平面向量基本定理及坐标表示 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　) A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋b C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b 答案　D 解析　A选项，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共线，不能作为基底. B选项，2a＋b＝2，所以2a＋b，a＋b共线，不能作为基底. 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)在平行四边形ABCD中，(3，7)，(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为在平行四边形ABCD中，(3，7)，(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以. (2)如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则等于(　　) A.2a＋b B.－2a－b C.－3a＋b D.3a－b 答案　C 解析　以图中向量a，b的始点为坐标原点，a所在直线为x轴，b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4). (－3，1). 令xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y. 所以－3a＋b. C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共线，不能作为基底. D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底. (2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则　　　　. 答案　 解析　由题图可设x(0<x<1)， 则x()＝x ＋x. 因为λ＋μ，与不共线， 所以λ，μ＝x，所以. 题型三　向量共线的坐标表示 例3　(1)(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，m)，b，若a∥b，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.9 D.－9 答案　B 解析　因为向量a＝(3，m)，b， 若a∥b，则3×－m，即m＝－1. (2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  答案　(3，3) 解析　方法一　(4，0)，(4，4)，(2，6)， 由O，P，B三点共线，可设λ(4λ，4λ)，λ∈R，则(4λ－4，4λ).又(－2，6)， 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ，所以(3，3)， 所以点P的坐标为(3，3). 方法二　设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即x＝y.又(x－4，y)，(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3). 平面向量的数量积 题型一　平面向量数量积的基本运算 例1　(1)(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　) A.与圆C的半径有关 B.与圆C的半径无关 C.与弦AB的长度有关 D.与点A，B的位置有关 答案　BC 解析　如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，则D是AB的中点， 故·＝||||cos∠CAD ＝||||||2， 故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关. (2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝　　　　　　. 答案　0 解析　方法一　·＝()·()＝···· ＝0＋||||cos ＋||||cos ＋0＝－＝0. 方法二　建立平面直角坐标系，如图，则A(0，2)， C， N，F(0，0)， 则，， 则·＝－＝0. 极化恒等式 典例　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 答案　A 解析　因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝1. (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是　　　　　　. 答案　 解析　方法一　(极化恒等式法) 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n， 则AD＝3n. 由向量的极化恒等式，知 ·＝||2－||2＝9n2－m2＝4， ① ·＝||2－||2＝n2－m2＝－1， ② 联立①②解得n2＝，m2＝， 因此·＝||2－||2＝4n2－m2＝， 即·. 方法二　(坐标法) 以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(c，0)， 则E(2a，2b)，F(a，b)， 所以·＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a2－c2＋9b2＝4，·＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1， 则a2＋b2＝，c2＝， 所以·＝(2a＋c，2b)·(2a－c，2b)＝4a2－c2＋4b2＝. 方法三　(基向量法) ·＝()·()＝＝4， ·＝()·()＝＝－1， 因此||2＝，||2＝， 所以·＝()·()＝. 题型二　平面向量数量积的应用 例2　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|等于(　　) A. B. C. D.1 答案　B 解析　因为(b－2a)⊥b， 所以(b－2a)·b＝0， 即b2＝2a·b， 又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4， 从而|b|＝. (2)(2024·温州模拟)平面向量a，b满足a＝(2，1)，a∥b，a·b＝－，则|b|＝　　　　　　. 答案　 解析　由题意，设b＝(2t，t)， 又a＝(2，1)， 所以a·b＝4t＋t＝5t＝－， 得t＝－， 所以|b|＝|t|＝·. 例3　(1)(2025·池州模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为|a＋b|＝， 所以(a＋b)2＝3， 所以a2＋2a·b＋b2＝3， 所以1＋2×1×2×cos〈a，b〉＋4＝3， 所以cos〈a，b〉＝－， 所以〈a，b〉＝. (2)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 答案　(－7，1)∪(1，7) 解析　由题意得(a＋b)·(a－b)>0， 即a2－b2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7<λ<7， 若a＋b＝k(a－b)(k>0)， 则解得 所以λ的取值范围是(－7，1)∪(1，7). 例4　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x等于(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　D 解析　因为b⊥(b－4a)， 所以b·(b－4a)＝0， 所以b2－4a·b＝0， 即4＋x2－4x＝0，解得x＝2. (2)(多选)(2024·淮安模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(1，3)，则下列结论正确的是(　　) A.b在a上的投影向量是(1，－2) B.|2a＋b|＝|b| C.a与b的夹角为 D.(a＋b)⊥a 答案　BD 解析　因为|a|＝，|b|＝，a·b＝1－6＝－5，所以cos〈a，b〉＝＝－，所以〈a，b〉＝，故C错误； 所以b在a上的投影向量是|b|·cos〈a，b〉·××＝－a＝(－1，2)，故A错误； 因为a＝(1，－2)，b＝(1，3)，所以2a＋b＝(3，－1)，所以|2a＋b|＝＝|b|，故B正确； a＋b＝(2，1)，所以(a＋b)·a＝2－2＝0，故D正确. 例5　(2024·郑州模拟)平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为(　　) A.a B.a C.a D.a 答案　C 解析　由|a＋b|＝ ＝ ＝＝4可得a·b＝， 而b在a上的投影向量为 a＝a＝a＝a. 题型三　平面向量的实际应用 例6　(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　) A.|F1|的最小值为|G| B.θ的范围为[0，π] C.当θ＝时，|F1|＝|G| D.当θ＝时，|F1|＝|G| 答案　ACD 解析　由题意知，F1＋F2＋G＝0， 可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得 |G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ， 所以|F1|2＝. 当θ＝0时，|F1|min＝|G|； 当θ＝时，|F1|＝|G|； 当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确； 当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误. 平面向量中的综合问题 题型一　平面向量在几何中的应用 例1　(1)设P是△ABC所在平面内一点，若·()＝2·，且－2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案　A 解析　由·()＝2·， 得·(－2)＝0， 即·[()＋()]＝0， 所以·()＝0. 设D为AB的中点，则·2＝0， 故·＝0. 由－2·， 得()·()＝－2·， 即(－2)·＝0. 设E为BC的中点，则(2－2)·＝0， 则2·＝0，故·＝0. 所以P为AB与BC的垂直平分线的交点， 所以P是△ABC的外心. (2)△ABC的外心O满足＝0，||＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　设AB的中点为D， 则＝0可化为2＝0， 即＝－， ∴O，D，C三点共线且CD⊥AB， ∴△ABC为等腰三角形， ||2＝||2＋||2， 设△ABC外接圆的半径为R， 则R2＝， 解得R＝1，CD＝1＋， ∴S△ABC＝|AB||CD|＝××. 题型二　和向量有关的最值问题 例2　已知，是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　) A. B.2 C. D.3 答案　B 解析　由题意，以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设C(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°， 可得A(1，0)，B， 由＝x(1，0)＋y＝(cos θ，sin θ)， 得x－y＝cos θ，y＝sin θ，∴y＝sin θ， ∴x＋y＝y＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋30°)， ∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°， ∴当θ＝60°时，x＋y的最大值为2，此时C为的中点，∴x＋y的最大值是2. 例3　在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6] 答案　D 解析　方法一　(坐标法) 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4). 设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)， 所以·＝x2－3x＋y2－4y ＝＋(y－2)2－. 又＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0，0)到点的距离为，所以·∈， 即·的取值范围是[－4，6]. 方法二　(极化恒等式法) 设AB的中点为M，与的夹角为θ， 由题意知AB＝5，CM＝. 由极化恒等式得·＝()2－－2·＋1－5cos θ－＝1－5cos θ， 因为cos θ∈[－1，1]， 所以·的取值范围是[－4，6]. 例4　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A.[－1，＋1] B.[－1，] C.[，＋1] D.[2－，2＋] 答案　A 解析　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1. 四心问题 典例　奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题错误的是(　　) A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0 C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝∶2∶1 D.若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos∠AMB＝－ 答案　C 解析　对于A，取BC的中点D，连接MD，如图， 由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则＝0， 所以2＝－， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以M为△ABC的重心，故A正确； 对于B，由M为△ABC的内心，则可设其内切圆半径为r， 则有SA＝BC·r，SB＝AC·r，SC＝AB·r， 所以r·BC·r·AC·r·AB·＝0， 即BC·＋AC·＋AB·＝0，故B正确； 对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R， 又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°， 则有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°， 所以SA＝R2·sin ∠BMC＝R2·sin 90°＝R2， SB＝R2·sin ∠AMC＝R2·sin 120°＝R2， SC＝R2·sin ∠AMB＝R2·sin 150°＝R2， 所以SA∶SB∶SC＝2∶∶1，故C错误； 对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E， 由M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则SA∶SB∶SC＝3∶4∶5， 又S△ABC＝SA＋SB＋SC，则＝4，＝3， 设MD＝x，MF＝y，x，y>0， 则AM＝3x，BM＝2y， 所以cos∠BMD＝＝cos∠AMF＝， 即3x2＝2y2，， 所以cos∠BMD＝，所以cos∠AMB＝cos(π－∠BMD)＝－，故D正确. 复　数 题型一　复数的概念 例1　(1)(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为(　　) A.2i B.－2i C.2 D.－2 答案　D 解析　由z＝i＋2i2＋3i3可得z＝－2－2i，故z的虚部为－2. (2)(2024·银川模拟)已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.1或－1 D.2 答案　B 解析　因为z＝m2－1＋(m＋i2)·i＝m2－1＋(m－1)·i， 若复数z表示纯虚数，则解得m＝－1. (3)(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于(　　) A. B.4 C. D. 答案　D 解析　由题意得，＝1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根， 由根与系数的关系得1＋2i＋1－2i＝－a，(1＋2i)(1－2i)＝b， 故a＝－2，b＝1－4i2＝1＋4＝5， 故|a＋bi|＝|－2＋5i|＝. 题型二　复数的四则运算 例2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若＝1＋i，则z等于(　　) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 答案　C 解析　因为 ＝1＋＝1＋i， 所以z＝1＋＝1－i. (2)设复数z＝，则z等于(　　) A.1 B.－1 C.i D.－i 答案　C 解析　∵＝i， ∴z＝i2 025＝i4×506＋1＝i. (3)(2024·南阳模拟)已知复数z满足＝2i，则z·＝　　　　　　. 答案　5 解析　因为＝2i， 所以z－3＝2i(z－i)＝2＋2iz， 所以z＝＝1＋2i， 所以＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5. 题型三　复数的几何意义 例3　(1)(2024·西宁模拟)已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于(　　) A.－2 B.－ C.2 D. 答案　A 解析　由题意|z|＝＝5， 得5a2－2a－24＝0，解得a＝－2或a＝， 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以故a<0，故a＝－2. (2)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　B 解析　方法一　由|z－i|＝|z＋2－i|，得复数z在复平面内对应的点Z到点(0，1)与点(－2，1)的距离相等，则点Z在直线x＝－1上. |z－3＋i|表示点Z与点(3，－)的距离，过点(3，－)作直线x＝－1的垂线，垂足为P(图略)，当点Z与点P重合时，|z－3＋i|取得最小值4. 方法二　因为z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z－i＝a＋(b－1)i， z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i， 由|z－i|＝|z＋2－i|，可得， 解得a＝－1，则z＝－1＋bi， 所以z－3＋i＝－4＋(b＋)i， 因此|z－3＋i|＝≥4， 当且仅当b＝－时，等号成立， 故|z－3＋i|的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量的概念及线性运算 题型一　平面向量的基本概念 例1　(1)下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中，一定有 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 (2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 题型二　平面向量的线性运算 例2　若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 例3　(2025·成都模拟)在△ABC中，＋2＝0，则等于(　　) A. B. C. D. 题型三　共线定理及其应用 例4　(1)(2024·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.＝－2 B.λμ＝－2 C.＝2 D.λμ＝2 (2)如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　　　　. 典例　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A.1 B. C. D. 答案　B (2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为　　　　　　. 平面向量基本定理及坐标表示 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　) A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋b C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)在平行四边形ABCD中，(3，7)，(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A. B. C. D. (2)如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则等于(　　) A.2a＋b B.－2a－b C.－3a＋b D.3a－b (2)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若λ＋μ(λ，μ∈R)，则　　　　. 题型三　向量共线的坐标表示 例3　(1)(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，m)，b，若a∥b，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.9 D.－9 (2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  平面向量的数量积 题型一　平面向量数量积的基本运算 例1　(1)(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　) A.与圆C的半径有关 B.与圆C的半径无关 C.与弦AB的长度有关 D.与点A，B的位置有关 (2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝，则·＝　　　　　　. 典例　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是　　　　　　. 题型二　平面向量数量积的应用 例2　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|等于(　　) A. B. C. D.1 (2)(2024·温州模拟)平面向量a，b满足a＝(2，1)，a∥b，a·b＝－，则|b|＝　　　　　　. 例3　(1)(2025·池州模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. (2)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 例4　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x等于(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 (2)(多选)(2024·淮安模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(1，3)，则下列结论正确的是(　　) A.b在a上的投影向量是(1，－2) B.|2a＋b|＝|b| C.a与b的夹角为 D.(a＋b)⊥a 例5　(2024·郑州模拟)平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为(　　) A.a B.a C.a D.a 题型三　平面向量的实际应用 例6　(多选)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　) A.|F1|的最小值为|G| B.θ的范围为[0，π] C.当θ＝时，|F1|＝|G| D.当θ＝时，|F1|＝|G| 平面向量中的综合问题 题型一　平面向量在几何中的应用 例1　(1)设P是△ABC所在平面内一点，若·()＝2·，且－2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答 (2)△ABC的外心O满足＝0，||＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 题型二　和向量有关的最值问题 例2　已知，是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　) A. B.2 C. D.3 例3　在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　) A.[－5，3] B.[－3，5] C.[－6，4] D.[－4，6] 例4　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A.[－1，＋1] B.[－1，] C.[，＋1] D.[2－，2＋] 四心问题 典例　奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题错误的是(　　) A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0 C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝∶2∶1 D.若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos∠AMB＝－ 复　数 题型一　复数的概念 例1　(1)(2024·白山模拟)复数z＝i＋2i2＋3i3，则z的虚部为(　　) A.2i B.－2i C.2 D.－2 (2)(2024·银川模拟)已知复数z＝m2－1＋(m＋i2)·i(m∈R)表示纯虚数，则m等于(　　) A.1 B.－1 C.1或－1 D.2 (3)(2025·晋中模拟)已知复数z＝1－2i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，则|a＋bi|等于(　　) A. B.4 C. D. 题型二　复数的四则运算 例2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)若＝1＋i，则z等于(　　) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i (2)设复数z＝，则z等于(　　) A.1 B.－1 C.i D.－i (3)(2024·南阳模拟)已知复数z满足＝2i，则z·＝　　　　　　. 题型三　复数的几何意义 例3　(1)(2024·西宁模拟)已知复数z＝(a－1)－2ai(a∈R)，且|z|＝5，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则a等于(　　) A.－2 B.－ C.2 D. (2)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 学科网（北京）股份有限公司 $$