精品解析：湖南省常德市汉汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期6月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知，若（i为虚数单位）是实数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 等比数列的公比为2，且满足，则的前10项和为（ ） A. 4 B. 32 C. 84 D. 128 5. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -20 B. -10 C. 10 D. 20 7 已知实数，满足，则（ ） A. 有最大值1 B. 有最小值0 C. 有最小值1 D. 有最大值0 8. 中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 设向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 是的充分条件 D. 是的必要条件 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面沿轴折起，使平面平面，则以下选项正确的为（ ） A. 折叠前的面积的最大值为 B. 折叠前平分 C. 折叠后三棱锥体积为定值 D. 折叠后异面直线所成角随的增大而增大 三、填空题 12. 甲厂生产的手机外壳有3种，颜色有4种．乙厂生产的手机形状有4种，颜色有5种，且均与甲厂生产的不同．这两厂生产的手机仅从外壳的形状和颜色看，共有__________种． 13. 如图，已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：（1）当点A在圆内且不与点重合时，点的轨迹是__________（从圆､椭圆､抛物线中选择一个填写）；（2）当__________（从>，=，<中选择一个填写）时，点的轨迹是双曲线的一支． 14. 已知函数，若函数有零点，则实数k的取值范围是_________. 四、解答题 15. 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，. （I）求证：平面； （II）求点到平面的距离. 18. 为了考查某种药物治疗效果，进行动物试验，得到如下数据： 患病 未患病 总计 服用药 10 50 未服药 总计 30 100 （1）求出表格中的值； （2）是否有的把握认为该药物有效． 附：i： ii： 0.15 005 0.025 0.005 2072 3.841 5024 7.879 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期6月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知，若（i为虚数单位）是实数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数即得解. 【详解】解：是实数，，∴， 故选：B 2. 已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，求出，求对数函数定义域得到，从而求出阴影部分表示的集合. 【详解】，解得：或，所以， 由对数函数真数大于0可得：，解得：，所以， 则， 则阴影部分表示的集合为 故选：D 3. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】确定渐近线方程，由点到线的距离公式即可求解； 【详解】由，可得渐近线方程为：，顶点坐标为， 由对称性，取顶点，渐近线， 由距离公式可得：顶点到其渐近线的距离为， 故选：A 4. 等比数列的公比为2，且满足，则的前10项和为（ ） A. 4 B. 32 C. 84 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列通项基本量的关系，结合前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，公比为2. 由得，则， 所以的前10项和为. 故选：A. 5. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案. 【详解】①当时，，此时A选项符合； ②当时，， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在在上是减函数， 如图，作出函数在上的图象， 由图可知，函数的图象在上有一个交点， 即函数在在上有一个零点， 当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故B选项符合； ③当时，， 当时，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 如图，作出函数在上的图象， 由图可知，函数的图象在上有一个交点， 即函数在在上有一个零点， 当时，，则， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故C选项符合，D选项不可能. 故选：D. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. -20 B. -10 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数． 【详解】解：， 的展开式中的系数为， 故选：C． 7. 已知实数，满足，则（ ） A. 有最大值1 B. 有最小值0 C. 有最小值1 D. 有最大值0 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，可知为上单调递增函数，原不等式可变形为，得到进而可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 令，可知为上单调递增函数， ，即， 所以，所以， 则，所以有最大值1. 故选：A. 8 中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果. 【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题. 二、多选题 9. 某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求得，，从而确定正确答案. 【详解】按照发车的序号，列举基本事件如下： ，共种， 方案一坐到“号”车，包含的基本事件有：，共种， 所以方案一坐到“号”车的概率. 方案二坐到“号”车，包含的基本事件有：，共种， 所以方案二坐到“号”车的概率. 所以、、，ACD选项正确，B选项错误. 故选：ACD 10. 设向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 是的充分条件 D. 是的必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用向量平行垂直的有关结论，确定与的充要条件，再分别判断各选项的准确性. 【详解】因为或. 所以是的充分不必要条件，也是的充分不必要条件，故A正确，B错误； 因为或. 所以是的充分不必要条件，是的既不充分又不必要条件.故C正确，D错误. 故选：AC 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面沿轴折起，使平面平面，则以下选项正确的为（ ） A. 折叠前的面积的最大值为 B 折叠前平分 C. 折叠后三棱锥体积为定值 D. 折叠后异面直线所成角随的增大而增大 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用弦长公式结合点到直线的距离运算求解；对于B：利用韦达定理证明，即可得结果；对于C：根据面面垂直的性质结合锥体的体积公式运算求解；对于D：根据题意利用结合空间向量可得，再根据复合函数单调性分析判断. 【详解】由题意可得：抛物线的焦点为，准线，则， 设直线， 联立方程，消去x得， 可得， 则， 对于选项A：因为， 点到直线的距离， 可得折叠前的面积， 所以当时，折叠前的面积的最小值为，故A错误； 对于选项B：因为， 即折叠前直线关于x轴对称，所以折叠前平分，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，则可知点A到平面的距离即为点A到x轴的距离， 的面积， 所以折叠后三棱锥体积（定值），故C正确； 对于选项D：由抛物线的性质可知：， 可得， ， 根据题中所给的空间直角坐标系，可得， 则， 可得 ， 所以， 即折叠后异面直线所成角的余弦值为， 因为在上单调递增，则在上单调递减， 且在定义域内单调递增，则在上单调递减， 所以折叠后异面直线所成角随的增大而增大，故D增大； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 三、填空题 12. 甲厂生产的手机外壳有3种，颜色有4种．乙厂生产的手机形状有4种，颜色有5种，且均与甲厂生产的不同．这两厂生产的手机仅从外壳的形状和颜色看，共有__________种． 【答案】32 【解析】 【分析】根据分步与分类求法求解即可. 【详解】由题意，共种. 故答案为：32 13. 如图，已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：（1）当点A在圆内且不与点重合时，点的轨迹是__________（从圆､椭圆､抛物线中选择一个填写）；（2）当__________（从>，=，<中选择一个填写）时，点的轨迹是双曲线的一支． 【答案】 ①. 椭圆 ②. > 【解析】 【分析】根据圆锥曲线的定义判断求解． 【详解】当点A在圆内且不与点重合时，，因此点轨迹是以为焦点，长轴长为半径的椭圆， 当点A在圆上时，点到圆心重合， 当点A在圆外时，，此时点轨迹是以为焦点，实轴长为半径的双曲线的一支． 故答案为：椭圆；． 14. 已知函数，若函数有零点，则实数k取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，函数有零点，即为的图象和直线有交点，作出直线，由图象观察，直线和曲线有交点，设直线与曲线相切的切点为，运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围． 【详解】函数f（x）=， 画出f（x）的图象， 函数有零点， 即为的图象和直线有交点， 作出直线， 由图象观察，直线和曲线有交点， 设直线与曲线相切切点 为，由于，即切线的斜率为， 又，解得， 则时，直线与曲线有交点，则， 综上，可得实数k的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题 15. 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ 【答案】点到圆心距离为时，矩形的面积最大，其最大面积是 【解析】 【分析】首先连接，设，得到，，，从而得到形的面积，再利用三角函数的性质求最大值即可. 【详解】连接，设，如图所示： 则，，且. 因为关于原点对称，所以. 设矩形的面积为，则. 因为，所以当， 即时，，此时. 故当点到圆心的距离为时，矩形的面积最大， 其最大面积是. 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，同时考查正弦二倍角公式和三角函数的最值问题，属于中档题. 16. 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项； （2）应用错位相减法求出数列的和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 设， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以，所以． 17. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，. （I）求证：平面； （II）求点到平面的距离. 【答案】（I）证明见解析；（II）. 【解析】 【分析】（I）连接，交于点，利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可得结论； （II）由线面平行关系可知所求距离即为点到平面的距离，利用体积桥可构造方程求得结果. 【详解】（I）连接，交于点，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （II）由（I）知：平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离； 三棱柱为直三棱柱，为等边三角形，， ，，，，， ； ，， ； 设点到平面的距离为， 则，解得：， 点到平面的距离为. 18. 为了考查某种药物治疗效果，进行动物试验，得到如下数据： 患病 未患病 总计 服用药 10 50 未服药 总计 30 100 （1）求出表格中的值； （2）是否有的把握认为该药物有效． 附：i： ii： 0.15 0.05 0.025 0.005 2.072 3.841 5.024 7.879 【答案】（1）； （2）有的把握认为该药物有效. 【解析】 【分析】（1）根据列联表中各个数据的关系列方程，解方程可得结论； （2）提出零假设，利用公式求，比较其与临界值大小，判断结论. 【小问1详解】 根据列联表中各个数据的关系可得 ，，，，， 解得，，，，； 所以 【小问2详解】 零假设为 ：该药物无效， 由（1）可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为该药物有效 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的减区间为,增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数即可判断单调区间； （3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可. 【小问1详解】 由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； 【小问2详解】 当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； 【小问3详解】 设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $