第07讲 比例线段（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第07讲 比例线段（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 相似图形 典型例题二 比例线段 典型例题三 成比例线段 典型例题四 黄金分割 典型例题五 相似多边形 典型例题六 相似多边形的性质 典型例题七 比例的性质 典型例题八 由平行判断成比例的线段 典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值 典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题 知识点01 相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【即时训练】 2．（2025九年级上·安徽阜阳·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 知识点02 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知线段a，b，c，求作线段x，使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，，与交于点，已知，，，那么线段的长为 ． 知识点03 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，则下列各式不正确的是（  ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）在比例尺为的地图上，图上相距的A、B两地的实际距离是 ． 知识点04 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ． 知识点05平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，，直线与分别相交于点和点．若，则的长是（    ） A．4 B．6 C．1 D．2 【即时训练】 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【典型例题一 相似图形】 【例1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江西宜春·期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 【例3】（2024·新疆克孜勒苏·模拟预测）（1）计算：； （2）如图所示的两个四边形相似，则角α的度数是多少？ 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·安徽阜阳·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） (1) (2) 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，点A，B是每个小正方形边长都为1的网格中的两格点，请仅用无刻度直尺按要求在网格中画出符合条件的图形． (1)在图①中画出一个以线段为边，面积为6的； (2)在图②中的线段上确定点P，使． 【典型例题二 比例线段】 【例1】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【例3】（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为20米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走 米才理想．（结果精确到0.1米） 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 4．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，. (1)求证：是的切线； (2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由. 【典型例题三 成比例线段】 【例1】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【典型例题四 黄金分割】 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点是线段上靠近点的一个黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【例3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，试比较与的大小，并说明理由． 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，等腰直角中，，是的中线，以D为圆心，为半径画弧，交于点E．以B为圆心，为半径画弧，交于点M，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， ，点P为的黄金分割点（），那么的长度为 ． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【典型例题五 相似多边形】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·期末）“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 1．（2025·河北邢台·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝ ． 3．（24-25九年级·安徽阜阳·课后作业）如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    4．（24-25九年级上·安徽阜阳·单元测试）已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求： (1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k； (2)A′B′和BC的长； (3)D′C′∶DC． 【典型例题六 相似多边形的性质】 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，设小方形的边长为1，四边形四边形，且它们的顶点都在格点上，则它们的相似比是（    ） A． B． C．2 D．3 【例2】（23-24九年级上·安徽阜阳·单元测试）如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为 ． 【例3】 （24-25九年级上·安徽阜阳·课后作业）如图，四边形四边形，且，，，，，．求，的大小和的长．    1．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 2．（2025九年级·安徽阜阳·专题练习）如图，矩形被分割成4个矩形，其中矩形矩形矩形，，交，于点M，Q．现有以下四个判断：①；②；③B，P，D三点共线；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 4．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【典型例题七 比例的性质】 【例1】（24-25九年级上·广西北海·期中）若，则的值（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）若，则 ． 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是 ； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ． 3．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知在四边形中，点、分别在、上，．求证： (1)； (2)． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【典型例题八 由平行判断成比例的线段】 【例1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ． 【例3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝． 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段a、b、c，求作线段x，使，下列作法中（图中虚线均为平行线）不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图．在中，，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，F是边上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且，则x的值是 ． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，，，若，则 ． 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，求的长． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）一个油画架如图所示，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，点是线段上的点，点是线段上的点，，，则 ． 3．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图所示，，为的中点，求的值． 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题】 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·内蒙古乌海·模拟预测）如图，已知△ABC内接于⊙O，D为上一点，=，过点D作⊙O的切线，分别与AB，AC的延长线相交于点E，点F，OD与BC相交于点G，连接OC，CD，BD，则下列结论：①∠ODB+∠DOC=90°；②∠BAC=2∠CBD；③AB⋅CF=AC⋅BE；④若∠BAC=60°，则OG=DG．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） 【例3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） (1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）． (2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使． 1．（2025·上海·模拟预测）小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 探究正方形内和正方形边上的特殊点 结论1 在正方形内部有一点P，使得，连接，那么的面积可以表示为． 结论2 在正方形内部有一点P，使得，，那么． 结论3 在正方形的边、上分别有两点M、N，若，，那么． 结论4 在正方形的边、上分别有两点M、N，若和对角线平行，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，．设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有 ． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，点D、E分别在AC、BC边上． (1)如图1，若D、E分别为边AC、BC的中点，连接DE，则______； (2)如图2，若D为AC边上任意一点，，则______； (3)如图3，在图2的基础上将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，猜想的值，并证明你的结论； (4)如图4，在（3）的条件下，当将旋转，使点E在线段AD上时，若，请直接写出BE的长，不必写出求解过程． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）    【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：．    【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________．    1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川达州·期末）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，且，那么 ． 7．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，若，则的值是 ． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为 ． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）唢呐是一种中国传统双簧木管乐器，拥有其独特的气质与音色．它的外部结构因符合黄金分割比例使人产生视觉上的美感．如图，一个中号唢呐利用黄金分割法将其分为和两部分，其中点P为唢呐的黄金分割点，即．已知的长约为，则的长约为 ． 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 13．（2024九年级上·安徽阜阳·专题练习）如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·课后作业）如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 比例线段（5大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 相似图形 典型例题二 比例线段 典型例题三 成比例线段 典型例题四 黄金分割 典型例题五 相似多边形 典型例题六 相似多边形的性质 典型例题七 比例的性质 典型例题八 由平行判断成比例的线段 典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值 典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题 知识点01 相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 【即时训练】 2．（2025九年级上·安徽阜阳·专题练习）各角分别相等，各边 的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做 ． 【答案】 对应成比例 相似比 【解析】略 知识点02 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知线段a，b，c，求作线段x，使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，进而满足结论ax＝bc即可． 【详解】解：A．由题意可得，，即ax＝bc，故选项正确，符合题意； B．由题意可得，，即ac＝bx，故选项错误，不符合题意； C．由题意可得，，即ac＝bx，故选项错误，不符合题意； D．由题意可得，，即ac＝bx，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，，与交于点，已知，，，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD＝AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长． 【详解】∵AB∥CD， ∴OA：OD＝AB：CD，即OA：2＝4：3， ∴OA＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点03 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，则下列各式不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用“设法”求解更简便． 由，得，设，得出，，再代入各选项的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：，得，设，得，， A．，此选项正确，不符合题意； B．     ，此选项正确，不符合题意； C． ，此选项不正确，符合题意；     D．，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）在比例尺为的地图上，图上相距的A、B两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．比例尺就是图上距离与实地距离之比，变形计算即可． 【详解】解：图上相距的A、B两地的实际距离是： ， 故答案为： 知识点04 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 直接利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴． 故选A． 【即时训练】 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 知识点05平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，，直线与分别相交于点和点．若，则的长是（    ） A．4 B．6 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 【即时训练】 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 【典型例题一 相似图形】 【例1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列四组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的判断，根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D. 【例2】（24-25九年级上·江西宜春·期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 【答案】32 【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm， ∴相似比， ∴面积比， ∴这次复印出来的图案的面积． 故答案是：32． 【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【例3】（2024·新疆克孜勒苏·模拟预测）（1）计算：； （2）如图所示的两个四边形相似，则角α的度数是多少？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，以及相似的性质，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据实数的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可； （2）根据相似的性质求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）由题意可得： 角α的度数． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移变换、旋转变换、轴对称、相似变换的定义．由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换．解答本题的关键是掌握相似变换的概念．根据相似变换的定义解答即可． 【详解】解：结合图形可知： 选项A可以通过平移变换得到，不符合题意； 选项B图象大小发生了变换，只能通过相似变换得到，不符合题意； 选项C可以通过旋转变换得到，不符合题意；； 选项D可以通过轴对称变换得到，不符合题意；． 故选：B． 2．（2025九年级上·安徽阜阳·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可； (2)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： 【点睛】本题考查了作全等形和相似形，根据原图形，作出全等形是解决本题的关键． 4．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，点A，B是每个小正方形边长都为1的网格中的两格点，请仅用无刻度直尺按要求在网格中画出符合条件的图形． (1)在图①中画出一个以线段为边，面积为6的； (2)在图②中的线段上确定点P，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）画一个高为3，底边长为4的三角形即可； （2）连接格点EF交AB于点P，即可得到． 【详解】（1）解：如图①，△ABC即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图②，点P即为所求． ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【典型例题二 比例线段】 【例1】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【答案】B 【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 18000000厘米千米 答：两地间的实际距离是180千米． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义得到AC=AB，把AB=10cm代入计算即可． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴AC=AB， 而AB=10cm， ∴AC=×10=（5-5）cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为20米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走 米才理想．（结果精确到0.1米） 【答案】7.6 【分析】从点A走到线段AB的黄金分割点此时AP＜BP，求出BP后，再求AP即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴AP=AB-BP=（30-10）m． 即它应至少再走30-10≈7.6m才最理想． 故答案为：7.6． 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，解答本题要求同学们掌握黄金分割的定义，及黄金比值． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且． (1)求线段a、b的长； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12 (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为18，线段的长为12． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 4．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，. (1)求证：是的切线； (2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)点是线段的黄金分割点. 【分析】(1)连接，由等腰三角形性质和折叠性质证，根据矩形性质证；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由得出结论. 【详解】解：(1)证明：连接， ∵， ∴. 由折叠可知， ∴. ∴. ∴. ∵四边形是矩形， ∴. ∴.即. ∴是的切线； (2)点是线段的黄金分割点. ∵四边形是矩形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴点是线段的黄金分割点. 【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键. 【典型例题三 成比例线段】 【例1】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：D． 【例2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用该定理建立比例关系求出的长度． 先根据，利用平行线分线段成比例定理得到，再结合已知白银比和，求出，最后将与相加得到． 【详解】， ，即， ， ． 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】(1)6；4；12 (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段、b的比例中项，可得，计算即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∵， 所以， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段x是线段、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查成比例线段、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 先证明相似三角形，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答． 【详解】解：A.由作图得不到平行线，无法判断相似三角形，不符合题意； B.由图可知：,则,即，可证可得 ，即，与矛盾，不符合题意； C.由图可知：,则,又可证,则，即，与矛盾，不符合题意； D.由图可知：,则可得,即，化简得：，即，与相符，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期末）综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】（1）③④都真命题，③、④证明见解析；（2）；（3）的周长为18 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可得到结论； （2）由四个数，，，成比例，得到，求得．求得； （3）由，根据比例的性质得到．求得，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）答：③④都真命题． ③证明：， ． ， ． ④证明：， ． ． ． （2）解：四个数a，b，c，d成比例， ． ， ， ． ． （3）解：， ． ． 的周长与的周长的差为6， ． ． ． 即的周长为18． 【典型例题四 黄金分割】 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点是线段上靠近点的一个黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故答案为： ． 【例3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】根据黄金分割的定义可得，进而得出，最后根据长方形的面积公式，将和表示出来即可． 【详解】解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴，即， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值为． 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，等腰直角中，，是的中线，以D为圆心，为半径画弧，交于点E．以B为圆心，为半径画弧，交于点M，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割、勾股定理等知识，正确求出各条线段的长度是解题关键．设，则，利用勾股定理求出，从而可得的长，然后逐项判断即可得． 【详解】解：设， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，， ∴． A、，，则此项不成立，不符合题意； B、，，则此项不成立，不符合题意； C、，，则此项不成立，不符合题意； D、，，则此项成立，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， ，点P为的黄金分割点（），那么的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割比为是解题的关键． 根据题意得出，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由黄金分割的定义得到，，然后由作图可知，进行等量代换，再由两边成比例且夹角相等证明相似； （2）由得到，则，再代入数据求解． 【详解】（1）证明：∵点P是线段的黄金分割点，， ∴，， 由作图可知，， ∴，即， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． （1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为； （2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 【典型例题五 相似多边形】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断． 【详解】解：由题意得， A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似； B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； 而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·期末）“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，随机事件，根据相似多边形的性质及随机事件的定义解答即可． 【详解】解：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形， ∴任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形不一定相似， 故“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是随机事件． 故答案为：随机． 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 1．（2025·河北邢台·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可． 【详解】作AE⊥BC于E， 则四边形AECD为矩形， ∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3， ∴BE＝4， 由勾股定理得，AB＝＝5， ∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5， D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等， 故选：D． 【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长. 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝ ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，对应边成比例，列出比例式求出AD． 【详解】解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点， ∴AE＝AD，BF＝BC， ∵矩形ABCD∽矩形EABF， ∴， ∴AE•AD＝AB2=1，即AD2＝1， 解得，AD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键． 3．（24-25九年级·安徽阜阳·课后作业）如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．    【答案】 【分析】此题主要考查相似多边形相似比的性质，首先根据相似性，列出相似比的等式，即可得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， 又∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴ ． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·单元测试）已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求： (1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k； (2)A′B′和BC的长； (3)D′C′∶DC． 【答案】(1)k＝2∶3；(2)A＇B＇＝9，BC＝8；(3)3∶2． 【分析】根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可求出. 【详解】∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似， ∴AD：A′D′=4:6=2:3; （2）由（1）知AB: A′B′= AD：A′D′=2:3， ∵AB=6， ∴A′B′=9； 同理可得，BC＝8； （3）∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似， ∴D′C′∶DC= A′D′：AD=3:2. 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键． 【典型例题六 相似多边形的性质】 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，设小方形的边长为1，四边形四边形，且它们的顶点都在格点上，则它们的相似比是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形对应边的比等于相似比，得到它们的相似比是，即可求得答案． 【详解】解：四边形四边形， 与是对应边， ，， 它们的相似比是， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·安徽阜阳·单元测试）如图，菱形的面积为，对角线，交于点，点，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到菱形；点，，，分别是，，，的中点，连接，，，，得到菱形；…，依此类推，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先证明所有的菱形相似，再根据面积比等于相似的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵点，，，分别是，，，的中点， ∴，， ∴，， ∴菱形菱形， ∴菱形与菱形的面积比为：， ∴菱形的面积为， 同理：菱形的面积为， 依次类推，可知：菱形的面积为． 故答案为：． 【例3】 （24-25九年级上·安徽阜阳·课后作业）如图，四边形四边形，且，，，，，．求，的大小和的长．    【答案】，，． 【分析】由四边形四边形，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，，又由四边形的内角和等于，即可求得的度数；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形四边形， ∴ ， ∵，，， ∴ ， 解得：． ∴，，． 【点睛】此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用． 1．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 2．（2025九年级·安徽阜阳·专题练习）如图，矩形被分割成4个矩形，其中矩形矩形矩形，，交，于点M，Q．现有以下四个判断：①；②；③B，P，D三点共线；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据矩形相似从而列出比例式化简即可求得答案，通过添加辅助线，根据比例式可判定两直线平行，从而得出两角对应相等，两个三角形相似，根据对顶角相等可判断三点共线． 【详解】解：如图， 连接， 设，， 矩形矩形矩形， ，，，， ，， ，，①正确， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，②正确 ， ， ， ， ，④错误， ， B、P、D共线，③正确， 综上所述：①②③正确， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似图形的性质和判定，解题关键是掌握相似图形的性质． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 4．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积． 【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB//DE，AC//DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， 由（1）知△ABC∽△DEF， ∴∠DFE=90°，， ∴，， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 【典型例题七 比例的性质】 【例1】（24-25九年级上·广西北海·期中）若，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质，先得到，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）若，则 ． 【答案】/0.2 【分析】根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，用其中一个字母表示另一个字母，代入原式后以达到约分的目的即可． 【详解】解：设， ∴， ∴． 故答案为： 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ． （2）， ， ， ， ，，． 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，连接，设，则，，设，则，表示出，，结合求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴设，则， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是 ； （2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． （1）根据比例的性质即可求解； （2）根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：（1）∵， ∴，设， ∴， 故答案为：； （2）∵线段，， 设：它们的比例中项是， ∴， ，（线段是正数，负值舍去）． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知在四边形中，点、分别在、上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】该题考查比例的合比性质的应用． （1）根据得出，即可得，再根据根据比例的合比性质即可证明； （2）根据和比例的合比性质即可证明； 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， 即． （2）证明：∵， 根据比例的合比性质，． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 【典型例题八 由平行判断成比例的线段】 【例1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式即可求得的长． 【详解】 DE∥BC， ， DB＝AE， ， ， ， AB＝5，AC＝10， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线分线段成比例定理证明即可． 【详解】证明：∵MDAB， ∴＝． ∵MNAE， ∴＝． ∴＝＝， 即＝． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题关键． 1．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段a、b、c，求作线段x，使，下列作法中（图中虚线均为平行线）不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：A、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； B、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； C、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； D、由图知，，则，即，错误，故选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图．在中，，，，点D是边上的动点，过点D作，交边于点E，F是边上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有三个，且，则x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质，运用平行线分线段成比例定理分类计算即可得到答案； 【详解】解：当平分时，符合题意，如图所示，此时四边形是正方形， ∵， ∴， ∴，解得； 如图，当时，恰好有四个位置满足， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ∴时，就满足了3个F， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出，继而可求． 【详解】解：，， ，， ，，， ， ， ． 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，是解题的关键： （1）过点作交于点，根据平行线分线段成比例，得到，两式相乘，得到，即可得证； （2）作，同（1）法可得：，结合，两式相乘即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； （2）作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 【典型例题九 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，书写汉语拼音的四线格是由等距离的四条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据了平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作最下面那条网格线的垂线，垂足为H，设与从下往上数的第二条网格线交于E， 四线格是由等距离的四条平行横线组成的， ． ， ， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，，，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键．根据平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得， 经检验，符合题意， ∴， 故答案为：10． 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）一个油画架如图所示，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，点是线段上的点，点是线段上的点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，作出辅助线是解题的关键．作交于H，根据，，得出，求出，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，求出，计算得到答案即可． 【详解】解：作交于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图所示，，为的中点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造平行线． 过点E作，交于点G，根据平行线分线段成成比例定理，可得，，设，求得，从而可得的值． 【详解】解：过点E作，交于点G，如图， ∵为的中点，且， ∴，， ∵ ， 设，则， ∴，则， ∴， ∴， 即的值为． 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【典型例题十 平行线分线段成比例多结论问题】 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，故A正确，D错误； ， ，故B正确； ，， ， ， ，故C正确； 故选：D． 【例2】（2025·内蒙古乌海·模拟预测）如图，已知△ABC内接于⊙O，D为上一点，=，过点D作⊙O的切线，分别与AB，AC的延长线相交于点E，点F，OD与BC相交于点G，连接OC，CD，BD，则下列结论：①∠ODB+∠DOC=90°；②∠BAC=2∠CBD；③AB⋅CF=AC⋅BE；④若∠BAC=60°，则OG=DG．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】利用垂径定理和圆周角定理可判断①②；根据切线的性质判断BC∥EF，利用平行线分线段成比例定理可判断③；利用圆周角定理判断△DOC是等边三角形，利用等边三角形的性质可判断④． 【详解】解：过点D作⊙O的直径DH， ∴∠HCD=90°， ∵=，DH为⊙O的直径， ∴HD⊥BC，即∠BGD=90°， ∠DBC=∠DOC， ∴∠ODB+∠DOC=∠ODB+∠DBC=90°；故①正确； ∵=，∴∠BAC=∠DOC=2∠CBD；故②正确； ∵EF是⊙O的切线，且点D为切点， ∴HD⊥EF， ∴BC∥EF， ∴，即AB⋅CF=AC⋅BE；故③正确； ∵∠BAC=60°，∠DOC=∠BAC=60°，又OC=OD， ∴△DOC是等边三角形， ∵HD⊥BC，即CG⊥OD， ∴OG=DG；故④正确． 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是需要学生灵活运用所学知识． 【例3】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） (1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）． (2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线分线段成比例定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）取格点D，连接交于点P，即可得出答案． 【详解】（1）解：为所求作的三角形； （2）解：点P即为所求作的点． ∵，，， ∴． 1．（2025·上海·模拟预测）小明对正方形展开了研究，他得出的结论中，正确的有（   ）个 探究正方形内和正方形边上的特殊点 结论1 在正方形内部有一点P，使得，连接，那么的面积可以表示为． 结论2 在正方形内部有一点P，使得，，那么． 结论3 在正方形的边、上分别有两点M、N，若，，那么． 结论4 在正方形的边、上分别有两点M、N，若和对角线平行，那么． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正方形的性及全等三角形的性质和判定可判断A，根据三角函数的定义及线段垂直平分线的性质，结合图形可判断B，根据三角函数的定义及勾股定理，面积可判断C，根据正方形的性质及平行线分线段成比例定理可判断D，从而可得答案． 【详解】解：作于， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，即， ， ， ， ， ， 故A正确； ， 在线段的垂直平分线上， ， 在线段的垂直平分线上，即点在经过、中点的直线上， 如图所示， ，当时，是等边三角形，此时，那么，B 选项不正确； 连接，作于， ，，正方形中，，， ，， ，， 设， 则，， ，， 在中，， 在中，， ， ， 即， ， ， ， 那么．C选项正确； ， ， ， ， ，D选项正确， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了与正方形有关的综合问题，涉及正方形的性质、全等三角形的性质及判定、勾股定理、解直角三角形、线段垂直平分线的性质及平行线分线段成比例定理，综合性强，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，．设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据矩形性质得到，即可得到，从而得到即可判断①②，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断③④，即可得到答案．本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是边的三等分点，点是边的中点， ， 设，则， ∴，故①正确，②错误； ∵， ∴， 同理可得：， ∵， 设，则， ∴， ∴，故③正确，④错误； 故答案为：①③ 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，点D、E分别在AC、BC边上． (1)如图1，若D、E分别为边AC、BC的中点，连接DE，则______； (2)如图2，若D为AC边上任意一点，，则______； (3)如图3，在图2的基础上将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，猜想的值，并证明你的结论； (4)如图4，在（3）的条件下，当将旋转，使点E在线段AD上时，若，请直接写出BE的长，不必写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）由勾股定理可求AC的长，由中点的定义可求AD，BE的长，即可求解； （2）由平行线分线段成比例可求解； （3）通过证明△ACD∽△BCE，由相似三角形的性质可求解； （4）由勾股定理和相似三角形的性质可求AD的长，即可求解． 【详解】（1）∵， ， ∵D、E分别为边AC、BC的中点， ， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图2，， ， ， ， ， 在图2的基础上将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度， ， ， ； （4）将△DEC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度， ∴∠ABC=∠CED=90°， ， ， ，即， ∴DE=3， ∴AD=DE+AE=， ∵， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）    【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：．    【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 【答案】[问题原型]见解析；[结论应用]（1）；（2） 【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证； [结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出，，进而得到是的中位线，即可求解； （2）根据（1）的结论得出是是的中位线，当为中点时得出的周长的最小值为，进而勾股定理即可求解． 【详解】[问题原型]证明：∵点为边的中点， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴ ∴ ∴ [结论应用]（1）根据题意可得 ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，    作点关于的对称点，连接， ∴， 当在上时，取得最小值， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则 即当顶点是 中点时，三角形的面积取得最小值， ∵根据（1）的结论得出是是的中位线，＝，且周长的最小值为， ∴的周长为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，轴对称的性质求线段的最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段满足最小与最大的乘积等于中间两数的乘积，则它们成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，不符合题意； C、，不能成比例，不符合题意； D、，能成比例，符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A、由图知，，即，故选项不符合题意； B、由图知，，即，故选项不符合题意； C、由图知，，即，故选项符合题意； D、由图知，，即，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，，与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据，得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的定义，相似三角形的判定及性质，相似多边形的性质；由位似图形的定义得四边形四边形，由相似多边形的性质得，可判定，再由相似多边形的性质即可求解；理解位似图形的定义，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形和是以点O为位似中心的位似图形， 四边形四边形，， ， ， ， ， 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川达州·期末）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点是的黄金分割点， ， ∵点是的黄金分割点， ， ， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为， 故选：B． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，若，则的值是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝ ． 【答案】/ 【分析】顶角是的等腰三角形，则两底角为，这样的三角形称为黄金三角形，又、都是黄金三角形，可证BC=BD=AD，DE=DC，利用DE=DC=AC-AD=AB-BC求解． 【详解】解：根据题意可知，BC=AB， ∵顶角是的等腰三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠C=， 又∵也是黄金三角形， ∴∠CBD=，BC=BD， ∴∠ABD=∠ABC-∠CBD==∠A， ∴BD=AD，同理可证DE=DC， ∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=． 故答案为：． 【点睛】黄金三角形是较特殊的三角形，几个黄金三角形叠合在一起，可构造出若干个等腰三角形，利用等腰三角形的边相等进行代换． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：为矩形， ， 矩形与矩形相似， ，即， 解得：， 故答案为：． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）唢呐是一种中国传统双簧木管乐器，拥有其独特的气质与音色．它的外部结构因符合黄金分割比例使人产生视觉上的美感．如图，一个中号唢呐利用黄金分割法将其分为和两部分，其中点P为唢呐的黄金分割点，即．已知的长约为，则的长约为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：点P为唢呐的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是， ， ∵，， ， 解得，． 13．（2024九年级上·安徽阜阳·专题练习）如图，点，，分别是边，，上的点，已知，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 答：的长为． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；理由见解析 (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·课后作业）如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念． （1）要求的长，只需求得的长，又，，则； （2）根据（1）所求分别求出的值即可证明结论； （3）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是的黄金分割点． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理知： ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴； （3）解：∵， ∴点M是的黄金分割点． 学科网（北京）股份有限公司 $$