精品解析：北京市昌平区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

昌平区2024-2025学年第二学期初一年级期末质量抽测 数学试卷 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 1. 蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故选B． 2. 如图，直线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题了平行线的性质． 先根据平行线性质得出的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵， ． ， ， ． 故选：B． 3. 一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，则这10次射击成绩的平均数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图以及平均数数．根据平均数的定义，利用图中的数据，列式计算即可． 【详解】解：根据题意： 这10次射击成绩的平均数是：， 故选：C． 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，对顶角的性质，等式的性质，平行直线的判定等知识．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，对所学知识的熟练掌握． 逐一判断各选项是否为真命题，找出假命题即可． 【详解】解：A. 对顶角相等，正确； B. 同旁内角互补时两直线平行，属于平行线判定定理，正确； C. 若，则两边平方必然相等，即，正确； D. 若，则或，故D错误； 故选：D． 5. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解本题的关键． 根据不等式的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】选项A：两边同时加1，由不等式性质1，得，成立； 选项B：两边同时减2，由不等式性质1，得，成立； 选项C：两边同时乘以，由不等式性质3，需改变不等号方向，应为，故原式不成立； 选项D：两边先除以5（正数），由性质2得，再加2由性质1得，成立； 故选：C． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．逐一验证各选项是否符合因式分解的定义即可． 【详解】选项A：是平方和，而平方差公式为，不适用于平方和，因此分解错误； 选项B：是完全平方式，应分解为，但选项B未完成分解，仍保留加法运算，不符合因式分解要求； 选项C：是多项式乘法展开的结果，等于，但题目要求因式分解，而此选项为展开过程，方向错误； 选项D：通过提取公因式2，正确分解为，符合因式分解定义； 故选：D． 7. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，理解方程的解为使得方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：将，代入方程，得： 解得：， 因此，m的值为1， 故选：A． 8. 甲，乙，丙，丁，戊五个人进行五子棋比赛，每两人都要赛一局，规定胜者得2分，平局各得1分，负者得0分．比赛结束后，甲共得4分，乙共得6分，丙共得4分，丁共得2分，那么戊得了（ ） A. 2分 B. 4分 C. 6分 D. 8分 【答案】B 【解析】 【分析】本题为逻辑推理题，解题的关键是根据乙、丙、丁的胜负情况推算出戊的得分．计算总得分后，用总分减去已知四人得分之和，得出戊的得分． 【详解】解：五个人两两比赛，共进行场，每场无论胜负或平局，总得分均为2分，故总分为分； 甲、乙、丙、丁得分分别为4、6、4、2分，总和为分； 总分减去四人得分之和，即分； 因此，戊得了4分，对应选项B． 故选：B． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 用不等式表示“的3倍大于或等于10”________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式． 根据题意列不等式即可． 【详解】解：的3倍表示，大于或等于为“”， 则不等式表示“的3倍大于或等于10”为， 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】b(a+2)（a-2） 【解析】 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式b，再对余下的多项式进行观察，可利用平方差公式继续分解． 【详解】， ， ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式的除法． 直接根据单项式的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，有一块长为32 m、宽为24 m的长方形草坪，其中有两条直道将草坪分为四块，则分成的四块草坪的总面积是________m2． 【答案】660． 【解析】 【详解】解：如图，两条直道分成的四块草坪分别为甲、乙、丙、丁， 把丙和丁都向左平移2米，然后再把乙和丁都向上平移2米，组成一个长方形，长为32－2＝30米，宽为24－2＝22米，所以四块草坪的总面积是30×22＝660（㎡）． 故答案为：660． 【点睛】本题考查了平移的应用，将草坪平移组成一个长方形是解决此题的关键． 13. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，全书采用问题集的形式，收有246个实际问题，其中“盈不足”专题中有一题如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起买东西，如果每人出8钱，会多出3钱；如果每人出7钱，又会少4钱．设人数为人，物价为钱，根据题意，可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据题意列二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为人，物价为钱， ∵每人出8钱，会多出3钱， ∴， ∵每人出7钱，又会少4钱， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 小华、小明和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是_________________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．设投中圆环内的得分为分，小圆内的得分为分，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设投中圆环内的得分为分，小圆内的得分为分， 由题意得，， 解得， 小亮的得分是． 故答案为：． 15. 某电视台要招聘一名主持人，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下： 测试项目 口才能力 主持能力 情绪和应变能力 测试成绩（分） 如果将口才能力、主持能力和情绪和应变能力的成绩按的比例确定每个人的最终成绩，则该应聘者的最终成绩是___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键，根据题意，则该应聘者的最终成绩是，即可． 【详解】解：该应聘者的最终成绩是， 故答案为：． 16. 欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为________； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤及注意事项是解题的关键． 按移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可． 【详解】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点确定相应解法是解题的关键． 根据加减消元法计算即可． 【详解】解：， ，得， ， 把代入②，得， ， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及乘法公式，单项式乘多项式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据整式的乘法化简，由得到，再代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 原式． 20. 解不等式组：并在数轴上表示解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得：． 解不等式②得：． 所以这个不等式组的解集是． 数轴表示如下： 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则是关键． （1）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 完成下列证明． 已知：如图，为上一点，交于点，点，分别在、上，． 求证：． 证明： （已知）， ① （② ）． （已知）， ③ （④ ）． （⑤ ）． 【答案】①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，根据平行线的判定和性质，填写各步骤的结论和依据即可，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行． 23. 数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1， 的正方形 正方形 的长方形 边长为1的正方形数量：4 边长为2的正方形数量：1 正方形总数：5 边长为1的正方形数量：① 边长为2的正方形数量：4 边长为3的正方形数量：1 正方形总数：② 边长为1的正方形数量：12 边长为2的正方形数量：③ 边长为3的正方形数量：2 正方形总数：④ （1）数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________； （2）已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）． 【答案】（1）①9；②14；③6；④20 （2）3；8（或2；15答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意数出对应图形中对应边长的正方形个数即可得到答案； （2）在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……，则不妨设，然后讨论m的值，再建立关于n的方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在的正方形中，边长为1的正方形有9个， ∴在的正方形中正方形总数为个； 在的长方形中，边长为2的正方形有6个， ∴在的长方形中正方形总数为个； 【小问2详解】 解：在长方形网格中的，边长为1的正方形个数为，边长为2的正方形个数为，边长为3的正方形个数为……， 不妨设， 当时，正方形总数为，则，解得； 当时，正方形总数为，则，解得； 当时，正方形总数为，则，解得，不符合题意； 当时，正方形总数为，不符合题意； 随着m的最大，正方形的总数增大， ∴当时，正方形总数一定比44多， 综上所述，，或，． 24. 2025年3月，某校举办首届“数学节”，开展数学素养竞赛、创意展示等活动．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现从七年级随机抽取了20名学生成绩（单位：分），对数据进行整理、描述和分析．过程如下： a．20名学生的数学素养竞赛分数： 66 70 71 78 71 78 75 78 58 80 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 b．整理、描述数据： 分数 人数 1 2 9 1 c．20名学生的数学素养竞赛分数扇形统计图： d．20名学生的数学素养竞赛分数的平均数、中位数和众数： 平均数 中位数 众数 77.5 请根据所给信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）在扇形统计图中，“”的扇形的圆心角等于________度； （3）若该校七年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？ 【答案】（1）7；79；80 （2）36 （3）该校七年级获得“数学之星”称号的学生约有100人 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，样本估计总量，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）将题干所提供的数据重新排列，再进一步求解即可； （2）用乘以的人数所占比例即可； （3）用总人数乘以样本中收成绩不低于80分的学生人数占总人数的比例即可． 【小问1详解】 解：（1）由题意知， 将数据重新排列为58、63、66、70、71、71、75、78、78、78、80、80、80、80、85、85、86、87、89、90，所以这组数据的中位数，众数， 故答案为：7、79、80； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“”所在的扇形的圆心角等于， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：估计七年级收成绩不低于80分的学生的学生总人数为 （人， 答：估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有100人． 25. 学校为加强学生的体育锻炼，开展了系列体育比赛．在某次投篮比赛中，积分规则为：每组投10次，每投进1球得3分，未投进则扣1分． （1）奋进组投进9个球，得分为________分； （2）务实组总共得22分，则该小组投进了多少个球，未投进多少个球？ 【答案】（1）26 （2）务实组投进了8个球，未投进2个球 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据每组投10次，每投进1球得3分，未投进则扣1分，列式计算即可； （2）设务实组投进了x个球，未投进y个球，根据每组投10次，务实组总共得22分，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，奋进组投进9个球，得分为（分）， 故答案为：26； 【小问2详解】 解：解：设务实组投进了个球，未投进个球，依题意，得： 解得： 答：务实组投进了8个球，未投进2个球． 26. 通过小学的学习，我们知道三角形内角和是．小燕在学习了平行线的相关定理之后，证明了这个结论，她想到了两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 已知：如图，三角形． 求证：． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 方法一：过点作，根据平行线的性质得到，．再根据平角定义得出，然后等量代换即可得出结论； 方法二：过点作．根据平行线的性质得到，，然后等量代换即可得出结论． 【详解】证明：方法一： 过点作， ， ，．（两直线平行，内错角相等） 点，，在同一条直线上， ．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 过点作． ， ，（两直线平行，内错角相等） ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ． 即三角形的内角和为． 27. 阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1） （2）1，2 （3） （4） （5）1，7，13，29 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，数形结合思想和多项式乘以多项式法则是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于四个小长形面积和，列式即可； （2）根据，得到，，解之即可求解； （3）根据即可求解； （4）设，根据，得，，解之即可求解； （5）设，得，，，再根据a、b、m、n为整数，求解即可． 【详解】解：（1）由图可得， 故答案为：； （2）∵， ∴，， 解得：或， ∵ ∴， 故答案：1；2． （3）∵ ∴ 故答案为：； （4）设， 则 ∴，， 解得：，， 故答案为：； （5）设 ∴，，， ∵a、b、m、n为整数， ∴或或或或或或或或或或或， ∵k为正整数， ∴． ∴正整数的值为1，7，13，29． 28. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． （1）如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． （2）如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． （3）如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）15，5 （2）18， （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意列出关系式是关键． （1）依据题意可得，，则，即可判断得解； （2）依据题意，由，则，故，，进而计算可以得解； （3）依据题意，可得，，，从而可得，，进而计算可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意可得，． 又， ， ； ． ，即“幻方和”是“中心数”的3倍． ． 故答案为：15，5． 【小问2详解】 解：由题意，， ． ，． ，． ． 故答案为：18，． 【小问3详解】 解：． 证明：，① ，② ，③ ①②③，得 ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ⑤⑥⑦，得 ，⑧ ④⑧，得 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2024-2025学年第二学期初一年级期末质量抽测 数学试卷 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 1. 蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，则这10次射击成绩的平均数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 若，则 D. 若，则 5. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（ ） A B. C. D. 7. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 8. 甲，乙，丙，丁，戊五个人进行五子棋比赛，每两人都要赛一局，规定胜者得2分，平局各得1分，负者得0分．比赛结束后，甲共得4分，乙共得6分，丙共得4分，丁共得2分，那么戊得了（ ） A. 2分 B. 4分 C. 6分 D. 8分 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 用不等式表示“的3倍大于或等于10”________． 10 因式分解：______． 11 计算：________． 12. 如图，有一块长为32 m、宽为24 m的长方形草坪，其中有两条直道将草坪分为四块，则分成的四块草坪的总面积是________m2． 13. 《九章算术》是中国古代一部重要数学著作，全书采用问题集的形式，收有246个实际问题，其中“盈不足”专题中有一题如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起买东西，如果每人出8钱，会多出3钱；如果每人出7钱，又会少4钱．设人数为人，物价为钱，根据题意，可列方程组为________． 14. 小华、小明和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是_________________分． 15. 某电视台要招聘一名主持人，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下： 测试项目 口才能力 主持能力 情绪和应变能力 测试成绩（分） 如果将口才能力、主持能力和情绪和应变能力的成绩按的比例确定每个人的最终成绩，则该应聘者的最终成绩是___________分． 16. 欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为________； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是________． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分） 17. 解不等式：． 18. 解方程组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组：并数轴上表示解集． 21. 计算： （1） （2） 22. 完成下列证明． 已知：如图，为上一点，交于点，点，分别在、上，． 求证：． 证明： （已知）， ① （② ）． （已知）， ③ （④ ）． （⑤ ）． 23. 数学小组活动中，某同学发现了数正方形的规律，如图，每个小正方形的边长为1， 的正方形 的正方形 的长方形 边长为1的正方形数量：4 边长为2的正方形数量：1 正方形总数：5 边长为1的正方形数量：① 边长为2的正方形数量：4 边长为3的正方形数量：1 正方形总数：② 边长为1的正方形数量：12 边长为2的正方形数量：③ 边长为3的正方形数量：2 正方形总数：④ （1）数一数，填写以上空白处的数量：①________，②________，③________，④________； （2）已知长方形网格中的正方形总数为44，写出一组符合条件的，的值________，________（其中，）． 24. 2025年3月，某校举办首届“数学节”，开展数学素养竞赛、创意展示等活动．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现从七年级随机抽取了20名学生成绩（单位：分），对数据进行整理、描述和分析．过程如下： a．20名学生的数学素养竞赛分数： 66 70 71 78 71 78 75 78 58 80 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 b．整理、描述数据： 分数 人数 1 2 9 1 c．20名学生的数学素养竞赛分数扇形统计图： d．20名学生的数学素养竞赛分数的平均数、中位数和众数： 平均数 中位数 众数 77.5 请根据所给信息，解答下列问题： （1）________，________，________； （2）在扇形统计图中，“”的扇形的圆心角等于________度； （3）若该校七年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？ 25. 学校为加强学生的体育锻炼，开展了系列体育比赛．在某次投篮比赛中，积分规则为：每组投10次，每投进1球得3分，未投进则扣1分． （1）奋进组投进9个球，得分为________分； （2）务实组总共得22分，则该小组投进了多少个球，未投进多少个球？ 26. 通过小学的学习，我们知道三角形内角和是．小燕在学习了平行线的相关定理之后，证明了这个结论，她想到了两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 已知：如图，三角形． 求证：． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 27. 阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 28. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． （1）如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． （2）如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． （3）如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $