第四讲 三角形的内角（二）（2个知识点3大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点3大典例） 第四讲 三角形的内角（二）（解析版） 知识点梳理 知识点1.直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC. 定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°. 要点诠释： 两锐角互余是直角三角形固有的角度关系，其证明简洁严谨且应用广泛，是解直角三角形问题的关键基础. 知识点2.直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理应用格式： ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形. 要点诠释： 易错点提示 ①需注意区分“两角互余”与“有一个角为90°”的判定条件，前者是定理，后者是定义。 ②在证明过程中，避免混淆角的关系，确保逻辑严密。 两个角互余是直角三角形的判定定理，通过证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形，需结合具体题目条件灵活运用。 典例精讲 题型1 直角三角形两锐角互余 例1．如图，已知，． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． (1)与平行吗？请说明理由； ．理由如下： ， ∴__________，（同位角相等，两直线平行） __________．（                     ） ， __________（等量代换）， ．（                              ） (2)若平分，，，求的度数． 名师支招 两锐角互余是直角三角形固有的角度关系，其证明简洁严谨且应用广泛，是解直角三角形问题的关键基础. 【答案】(1)、、两直线平行，内错角相等、、同旁内角互补，两直线平行 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识是关键． （1）根据平行线的判定和性质证明即可； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义，直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ，（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，内错角相等） ， （等量代换）， ．（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：、、两直线平行，内错角相等、、同旁内角互补，两直线平行； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 变式训练 1．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【答案】；相等的锐角有： 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； ∴相等的锐角有：． 2．如图，在中，，，分别是，上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据直角三角形性质得，再根据得，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先求出，再根据（1）的结论得，然后根据角平分线的定义即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ； （2）解：，， 由（）可知：， ， ， 平分， ． 3．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义． （1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型2 两锐角互余的三角形是直角三角形 例2．把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 名师支招 两个角互余是直角三角形的判定定理，通过证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形，需结合具体题目条件灵活运用。 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【分析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC． 【详解】证明：（已知） 又（ 对顶角相等 ） （等量代换） 平分（已知） （ 角平分线定义 ） （已知） （ 直角三角形两个锐角互余 ） （等量代换） ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【点睛】考核知识点：对顶角性质、角平分线定义、直角三角形定义、垂直定义．理解垂直的定义和直角三角形性质是解题关键． 变式训练 1．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 2．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点和直角三角形的概念求解即可； （2）根据网格的特点求解即可． 【详解】（1）如图1所示，即为所要求作的直角三角形， （2）如图2所示，点H即为所要求作的点，    【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的概念，正确借助网格分析是解题关键． 题型3 利用三角形内角和定理推理或计算 例3．如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 名师支招 1.辅助线设计原则 简洁性 ：优先选择能快速构造平行线或直角的辅助线，如过顶点作平行线或高。 通用性 ：证明过程需适用于任意三角形，避免依赖特殊条件。 2.注意事项 证明需严格遵循平行线性质（同位角、内错角、同旁内角）。 操作时注意角度的对应关系，避免混淆内错角与同位角。 【答案】(1)，理由见解析； (2)；． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的内角和定理即可求解； （）根据（）中结论即可求解； 设，，根据（）中结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由： 连接， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：由（）得， ∵，， ∴， 故答案为：； 如图，设，， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴． 变式训练 1．如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， ； （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 2．如图，已知四边形中，点为上一点，与交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线有关计算： （1）根据，可得，再根据邻补角的性质解答，即可； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再结合角平分线的定义，可得，再由三角形的内角和定理以及解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，小明和小颖将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起． (1)操作判断 若，则_________； 若，则_________； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)拓展应用 当且点在直线的上方时，如果这两个三角尺存在一组边互相平行，则的度数为：__________________（写出所有可能的结果） 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3)或或或或 【分析】（1）根据和的度数，求得的度数，再根据和求得的度数； （2）根据∠，以及，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得的度数 【详解】（1）解：，， ， ， ； ， ． 故答案为：； （2）猜想 证明：， 又， ， 即 （3）当时， ∴， ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 当时， ∴， ∴ 当时， ∴ 故答案为：或或或或． 4．【学科融合】：如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角． 【问题初探】： (1)如图1，当两面镜子，的夹角时，若，则 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当两面镜子，的夹角，且时，入射光线经两次反射后形成反射光线，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点H，求的度数； (3)当两面镜子，的夹角时，在两面镜子中间点P处有一点光源，如图3，若从点P发射一束光射向，入射光线与镜面的夹角，反射后的光线为，再从点P发射一束光射向，若使反射后的光线，求与的夹角的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由入射角等于反射角可得，，结合三角形内角和定理可得，求出，，进而可得，即可得解； （2）由入射角等于反射角可得，，由对顶角相等，，由三角形内角和定理可得，求出，即可得解； （3）由入射角等于反射角可得，，由平行线的性质可得，由三角形内角和定理可得，最后由平角的概念计算即可得解． 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵入射角等于反射角， ∴，， ∵对顶角相等， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： ， ∵入射角等于反射角， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 创新拓展能力提升 1．如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①3；②21 【分析】本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、三角形的外角性质，得到是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题； （3）①根据，，，可以求出、，结合图形计算即可； ②连接，设，根据三角形的面积公式列出方程，求出，把代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， （2）证明：平分， ， ，， 而， ； （3）①，，， ，， ； ②如图，连接， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 解得， 四边形的面积， 故答案为：21． 2．（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数；    （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的． 【答案】（1）132；（2）或12；（3）是，，理由见解析 【分析】（1）利用同角或等角的余角相等，证明即可解决问题． （2）由题意，．分两种情形：①当时，．②当时，，分别构建方程求解即可． （3）如图，结论是定值．想办法证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）于，于， ， ，， ， ． （2）由题意，， ①当时，，则有， 解得． ②当时，， ， 解得， 综上所述，当或12时，，两个角中，一个角是另一个角的两倍． （3）如图，结论是定值．    理由：于，于， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ，， ， 是定值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 3．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E． （1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数； （2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC． 【答案】（1）∠DAE＝20°；（2）见解析 【分析】(1)首先计算出∠B，∠BAC的度数，根据AE是∠BAC的角平分线可得∠EAC=30°，再根据Rt△ADC中直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，进而可得答案； (2)过A作AD⊥BC于D，证明∠DAE=∠FEC，由三角形内角和定理得到∠EAC=90°-∠C，进而可得∠DAE=∠DAC-∠EAC，利用等量代换可得∠DAE=∠C即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C， ∴∠B＝80°， ∴∠BAC＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝50°， ∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°； （2）证明：∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠FEC＝90°， ∵∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠FEC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C， ∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C， ∴∠FEC＝∠C， ∴∠C＝2∠FEC． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形中两锐角互余等知识点，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 4．如图1，小明将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若保持三角尺BCE（其中∠EBC=45°）不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD（其中 ∠ADC=30°）绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD． （1）如图2，若∠ECD =25°，则∠ACB= ；若∠ACB=130°，则∠ECD = ． （2）①当三角尺ACD绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为 ； ②当三角尺ACD绕直角顶点C旋转到如图3的位置时，上述关系是否依然成立，请说明理由． （3）设∠BCD=α（0°＜α＜180°） ①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由． ②在旋转过程中，若AD与三角尺BCE的一条边平行，请求出α的所有可能值． 【答案】（1）155°；50°． （2）①∠ACB+∠DCE=180°．②仍成立．理由参见解析． （3）① ,．②若AD∥BC，则,若AD∥CE，则,若AD∥BE，则． 【详解】试题分析：（1）先求出∠ACE的度数，则∠ACB的度数即可求出；先求出∠ACE的度数，∠ECD即可求出．（2）①利用角的和差推出．②利用周角是360度推出．（3）①根据∠ACB与∠DCE互补建立一元一次方程求解．②分三种情况讨论．即AD∥BC、AD∥CE、AD∥BE时求出a值． 试题解析：（1）∵∠ACD=∠ECB=90°,∠DCE=25°，∴∠ACB=180°-25°=155°．∵∠ACD=∠ECB=90°，∠ACB=130°，∴∠DCE=180°-130°=50°．（2）∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=90+90=180º．∵∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB，∴∠ACB+∠DCE=180°，即∠ACB与∠DCE互补．②圆周角是360度，∠ACB+∠DCE=360-∠ACD-∠ECB=360-90-90=180º，即∠ACB与∠DCE互补．（3）①设∠ACB=4x，∠DCE=x，∵∠ACB+∠DCE=180°，∴4x+x=180°解得x=36º,当α是锐角时等于90-36=54º，当α是钝角是90+36=126º．∴α=54º,α=126º．②分三种位置关系：当AD∥BC时，D在CE右侧，此时α=∠D=30º；当AD∥CE时，逆时针旋转，△ACD在CE左侧，∠DCE=∠D=30º,α=30＋90=120º；继续逆时针旋转，当AD∥BE时，过C点做平行线可知∠DCE=30＋45=75º，α=75＋90=165º，综上所述：若AD∥BC，则,若AD∥CE，则,若AD∥BE，则． 考点：1．图形的旋转变化；2．平行线性质；3．直角三角形性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点3大典例） 第四讲 三角形的内角（二） 知识点梳理 知识点1.直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC. 定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90°. 要点诠释： 两锐角互余是直角三角形固有的角度关系，其证明简洁严谨且应用广泛，是解直角三角形问题的关键基础. 知识点2.直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理应用格式： ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形. 要点诠释： 易错点提示 ①需注意区分“两角互余”与“有一个角为90°”的判定条件，前者是定理，后者是定义。 ②在证明过程中，避免混淆角的关系，确保逻辑严密。 两个角互余是直角三角形的判定定理，通过证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形，需结合具体题目条件灵活运用。 典例精讲 题型1 直角三角形两锐角互余 例1．如图，已知，． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． (1)与平行吗？请说明理由； ．理由如下： ， ∴__________，（同位角相等，两直线平行） __________．（                     ） ， __________（等量代换）， ．（                              ） (2)若平分，，，求的度数． 名师支招 两锐角互余是直角三角形固有的角度关系，其证明简洁严谨且应用广泛，是解直角三角形问题的关键基础. 变式训练 1．直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 2．如图，在中，，，分别是，上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 3．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 题型2 两锐角互余的三角形是直角三角形 例2．把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 名师支招 两个角互余是直角三角形的判定定理，通过证明两角和为90°即可确定三角形为直角三角形，需结合具体题目条件灵活运用。 变式训练 1．如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 2．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 3．如图，在正方形网格中，点A、B、Q在格点上，请用无刻度的直尺用连线的方法画出如下图形（保留画图痕迹）．    (1)在图1中，找一个格点P，连接，使为直角三角形； (2)在图2中，找一个格点H，连接，使． 题型3 利用三角形内角和定理推理或计算 例3．如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 名师支招 1.辅助线设计原则 简洁性 ：优先选择能快速构造平行线或直角的辅助线，如过顶点作平行线或高。 通用性 ：证明过程需适用于任意三角形，避免依赖特殊条件。 2.注意事项 证明需严格遵循平行线性质（同位角、内错角、同旁内角）。 操作时注意角度的对应关系，避免混淆内错角与同位角。 变式训练 1．如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 2．如图，已知四边形中，点为上一点，与交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，，求． 3．综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，小明和小颖将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起． (1)操作判断 若，则_________； 若，则_________； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)拓展应用 当且点在直线的上方时，如果这两个三角尺存在一组边互相平行，则的度数为：__________________（写出所有可能的结果） 4．【学科融合】：如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角． 【问题初探】： (1)如图1，当两面镜子，的夹角时，若，则 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当两面镜子，的夹角，且时，入射光线经两次反射后形成反射光线，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点H，求的度数； (3)当两面镜子，的夹角时，在两面镜子中间点P处有一点光源，如图3，若从点P发射一束光射向，入射光线与镜面的夹角，反射后的光线为，再从点P发射一束光射向，若使反射后的光线，求与的夹角的度数． 创新拓展能力提升 1．如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值； ②四边形的面积是______． 2．（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数；    （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的． 3．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E． （1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数； （2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC． 4．如图1，小明将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若保持三角尺BCE（其中∠EBC=45°）不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD（其中 ∠ADC=30°）绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD． （1）如图2，若∠ECD =25°，则∠ACB= ；若∠ACB=130°，则∠ECD = ． （2）①当三角尺ACD绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为 ； ②当三角尺ACD绕直角顶点C旋转到如图3的位置时，上述关系是否依然成立，请说明理由． （3）设∠BCD=α（0°＜α＜180°） ①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由． ②在旋转过程中，若AD与三角尺BCE的一条边平行，请求出α的所有可能值． 学科网（北京）股份有限公司 $$