第三讲 三角形的内角（3个知识点5大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第三讲 三角形的内角 知识点梳理 知识点1 三角形内角和定理 ◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． ◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． ◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 要点诠释： 三角形的三个内角之和恒等于180°，这一结论与三角形的形状、大小无关. 知识点2 三角形内角和定理的应用： 主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 要点诠释： 1.基础角度计算 2.已知两角求第三角 ：若已知两个内角可直接求出第三个角。 3.比例分配角度 ： 4.三角形形状判定 典例精讲 题型1 三角形内角和定理的证明 例1．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 名师支招 三角形内角和定理的证明方法不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线 变式训练 1．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 2．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 3．如图，，，为三角形的内角，求： ． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 例2．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 名师支招 多角度思考 ：根据已知条件选择合适的方法（如作平行线、角平分线），避免遗漏关键步骤。 规范书写 ：明确标注已知角、辅助线及推理依据，确保逻辑清晰。 变式训练 1．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 2．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 3．如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 名师支招 优先利用角平分线性质简化计算，避免复杂角度嵌套。 变式训练 1．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 2．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，为边上的高，平分交于点，求的度数． 题型4 三角形折叠中的角度问题 例4．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 名师支招 分析已知条件 ：明确折叠前后的全等关系或角度变化。 选择辅助线 ：如作平行线、延长线或折叠线，将复杂问题简化为三角形内角和问题。 计算与验证 ：通过角度代换或等量代换求解，注意检查是否符合折叠性质。 变式训练 1．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 3．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 题型5 三角形内角和定理的应用 例5．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 名师支招 注意三角形内角和恒为180°，避免重复计算或错误应用条件。 变式训练 1．一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中的几何图形，其中，，点E，F在线段上．若，，则的度数为 ． 2．综合与实践．主题：平面镜反射光线． 阅读：科学实验证明，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等． 操作：如图1，将平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时 ． (1)①由条件可知：，依据是____________________________； ②反射光线与平行，依据是____________________________； (2)解决问题：如图2，将一束光线m射到平面镜a上，光线m被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b镜射出的光线n平行于m，且，求和的度数． 3．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】 分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系． （1）第一种：如图①，，，求证：（不需要证明）． 第二种：如图②，，，求证：（写出证明过程）． 【得出结论】 （2）由（1）我们可以得出结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为______． 【拓展应用】 （3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． （4）同一平面内，两个角的两边分别垂直，当其中的一个角为时，直接写出另一个角的度数． 创新拓展能力提升 1．请根据以下素材，回答问题． 潜望镜里的数学 素材 如图（1）展示了光的反射定律，已知镜面垂线，一束光线射到平面镜，被射后的光线为入射光线反射光线垂线夹的锐角分别为且则___________填“>”“<”或“=”）．    问题解决 思考探究 任务1 了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图（2）所示，平行放置的两面平面镜，入射光线过两次反射后，得到反射光线已知，请问进入潜望镜的光线离开潜望镜的光线否平行？请说明理由．    任务2 把两个平面镜图（3）所示位置放置，，入射光线过两次反射后，得到反射光线，已知，反射光线入射光线行但方向相反，求度数．    拓展应用 如图（4），三面平面镜，将一束光线射到平面镜，通过平面镜反射，最后从平面镜的点射出，此时入射光线反射光线平行．若，请用含式子直接表示出度数．    2．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 3．如图，，的平分线交于点，． (1)如图1，判断与是否相等，并说明理由； (2)如图2，过点作交于，连接，恰好平分，，求的度数； (3)如图3，过点作，交于点．线段上有一点，点在射线上，，且满足，求与的比值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点5大典例） 第三讲 三角形的内角（解析版） 知识点梳理 知识点1 三角形内角和定理 ◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． ◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． ◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 要点诠释： 三角形的三个内角之和恒等于180°，这一结论与三角形的形状、大小无关. 知识点2 三角形内角和定理的应用： 主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 要点诠释： 1.基础角度计算 2.已知两角求第三角 ：若已知两个内角可直接求出第三个角。 3.比例分配角度 ： 4.三角形形状判定 典例精讲 题型1 三角形内角和定理的证明 例1．阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 名师支招 三角形内角和定理的证明方法不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 变式训练 1．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； 方法二：过点C作，利用平行线的性质得到，即可求解． 【详解】证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴，即． 2．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 3．如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 例2．如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 名师支招 多角度思考 ：根据已知条件选择合适的方法（如作平行线、角平分线），避免遗漏关键步骤。 规范书写 ：明确标注已知角、辅助线及推理依据，确保逻辑清晰。 【答案】(1)平行 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 【详解】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 变式训练 1．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 2．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 3．如图，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型3与角平分线有关的三角形内角和问题 例3．在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 名师支招 优先利用角平分线性质简化计算，避免复杂角度嵌套。 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 平分， ． 故选：B． 变式训练 1．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可；根据及三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出的度数； （2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用、表示出的度数，再根据直角三角形的性质用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 2．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，为边上的高，平分交于点，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是关键．先求出，根据角平分线得到，由即可得到的度数． 【详解】解：∵为边上的高，， ∴， ∵平分交于点 ∴， ∵， ∴． 题型4 三角形折叠中的角度问题 例4．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 名师支招 分析已知条件 ：明确折叠前后的全等关系或角度变化。 选择辅助线 ：如作平行线、延长线或折叠线，将复杂问题简化为三角形内角和问题。 计算与验证 ：通过角度代换或等量代换求解，注意检查是否符合折叠性质。 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 变式训练 1．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，补角的概念的运用，根据折叠可得，由三角形内角和定理可得，则，再根补角的性质可得，即可求解． 【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 2．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠可知：， 当时，则 ∴ 故答案为：． 题型5 三角形内角和定理的应用 例5．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，由题意可得，进而根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴．名师支招 注意三角形内角和恒为180°，避免重复计算或错误应用条件。 变式训练 1．一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中的几何图形，其中，，点E，F在线段上．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，再由平行线的性质可得的度数，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．综合与实践．主题：平面镜反射光线． 阅读：科学实验证明，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等． 操作：如图1，将平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时 ． (1)①由条件可知：，依据是____________________________； ②反射光线与平行，依据是____________________________； (2)解决问题：如图2，将一束光线m射到平面镜a上，光线m被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b镜射出的光线n平行于m，且，求和的度数． 【答案】(1)①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行 (2)， 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定及三角形内角和是解题的关键． （1）①由题意及图可直接进行求解；②证明，根据平行线的判定定理可直接进行求解； （2）如图所示，由光线反射性质可得度数，度数，由平行线的性质求出度数，得度数 ，由三角形内角和可直接进行求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 依据是两直线平行，同位角相等； ②∵， ∴， ∴反射光线与平行， 依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行 （2）解：如图，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】 分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系． （1）第一种：如图①，，，求证：（不需要证明）． 第二种：如图②，，，求证：（写出证明过程）． 【得出结论】 （2）由（1）我们可以得出结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为______． 【拓展应用】 （3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． （4）同一平面内，两个角的两边分别垂直，当其中的一个角为时，直接写出另一个角的度数． 【答案】（）证明见解析；（）相等或互补；（）两个角为，或，；（）或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，探究应用类题型，读懂题意，分析情况，熟练掌握相关几何性质求证是解题的关键． （）根据平行线的性质即可求证； （）通过（）的推理即可得出结论； （）设其中一个角为，则另一个角为，利用（）的结论即可求解； （）根据题意画出图形即可求解． 【详解】（）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （）解：由（）我们可以得出结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为：相等或互补， 故答案为：相等或互补； （）解：设其中一个角为，则另一个角为， ∴当， 解得：， 此时两个角为，； 当， 解得：， 此时两个角为，； 综上可知：两个角为，或，； （）解：如图， ∵，， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 创新拓展能力提升 1．请根据以下素材，回答问题． 潜望镜里的数学 素材 如图（1）展示了光的反射定律，已知镜面垂线，一束光线射到平面镜，被射后的光线为入射光线反射光线垂线夹的锐角分别为且则___________填“>”“<”或“=”）．    问题解决 思考探究 任务1 了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图（2）所示，平行放置的两面平面镜，入射光线过两次反射后，得到反射光线已知，请问进入潜望镜的光线离开潜望镜的光线否平行？请说明理由．    任务2 把两个平面镜图（3）所示位置放置，，入射光线过两次反射后，得到反射光线，已知，反射光线入射光线行但方向相反，求度数．    拓展应用 如图（4），三面平面镜，将一束光线射到平面镜，通过平面镜反射，最后从平面镜的点射出，此时入射光线反射光线平行．若，请用含式子直接表示出度数．    【答案】素材：；任务1：进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线平行．理由见解析；任务2：；拓展： 【分析】本题平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是理解光的反射定律中入射角与反射角的关系，并能据此结合几何知识进行角度的推导和判断两直线的位置关系． 素材：根据光的反射定律得出入射角与反射角相等，从而确定两个角的关系； 任务1：根据，得出，证明，得出，即可证明结论； 任务2：根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，最后根据三角形内角和求出结果即可； 拓展应用：如图，过点作，过点作，得到再利用光的反射定律和平行线的性质来找出角度之间的关系，并用含的式子表示出的度数． 【详解】解：素材：； 由题意知，， ， ， 故答案为：； 任务1：进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线平行．理由： ， ， ， ， ，即， ； 任务2：， ， ， ， ， ， ， ，即； 拓展应用：如图，过点作，过点作， 入射光线与反射光线平行， ， ， ． 2．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 3．如图，，的平分线交于点，． (1)如图1，判断与是否相等，并说明理由； (2)如图2，过点作交于，连接，恰好平分，，求的度数； (3)如图3，过点作，交于点．线段上有一点，点在射线上，，且满足，求与的比值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3)与的比值为或3． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据得，再根据平分得，由此即可得出答案； （2）根据角平分线定义得，根据得，再根据恰好平分及得，然后根据即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点M都在线段上时，设，则，，设，则，，根据及（1）的结论得，由三角形内角和定理可得出，则，，据此可得出与的比值；②当点M在的延长线上时，设，则，，设，则，据此可得出与的比值，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴； （2）解：∵的平分线交于点F，， ∴， ∵， ∴， ∵，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意有以下两种情况： ①当点M在线段上时，如图3①所示： 设，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点M在的延长线上时，如图3②所示： 设，则， ∴， 设，则， 同理可得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：与的比值为或3． 学科网（北京）股份有限公司 $$