第33讲 任意角与弧度制讲义-2026届高三数学一轮复习

任意角的概念 1．任意角的概念 (1)定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的终边和始边． (2)分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角． 负角：按顺时针方向旋转形成的角． 零角：射线没有任何旋转形成的角． (3)终边相同的角：一般地，角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同．任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，记为． 例：写出与的终边相同的角的集合． 【答案】 (4)象限角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 象限角集合： 第一象限角的集合： ； 第二象限角的集合： ； 第三象限角的集合： ； 第四象限角的集合： ． (5)轴线角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上的角，称之为轴线角． 轴线角集合： x轴非负半轴的集合： ； x轴非正半轴的集合： ； x轴的集合： ； y轴非负半轴的集合： ； y轴非正半轴的集合： ； y轴的集合： ； 坐标轴的集合： ． 考点一 任意角的概念 【例1】1．下列说法中，正确的是（ ） A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等 C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角 【答案】A 【解析】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确； 对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确； 对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确； 对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.故选：A. 【训练1】1．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在（ ） A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上 C．x轴上 D．y轴的非负半轴上 【答案】A 【解析】因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上.故选：A 2．时针走过2时40分，则分针转过的角度是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，由于时针都是顺时针旋转，∴时针走过2时40分，分钟转过的角度为，故选D． 3．已知角的终边关于原点对称，则间的关系为_________． 【答案】 【解析】由题意，为的奇数倍，∴. 故答案为： 考点二 找出终边相同的角 【例2】1．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与角的终边相同的角为，当时，，B正确； 经验证，其他三个选项均不合要求.故选：B 2．已知角，则与α终边相同的最大负角是______． 【答案】－120° 【解析】与角终边相同的角的集合为， 令，解得，故当时，满足条件．故答案为：－120° 【训练2】1．下列各角中，与角330°的终边相同的是(　　) A．150° B．－390° C．510° D．－150° 【答案】B 【解析】． 2．与角的终边相同的最小正角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与角终边相同角的集合为，当时，取得最小正角为.故选：D. 3．将化为（，）的形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 4．与800°角终边相同的角可以表示为（ ），． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与800°角终边相同的角可以表示为（）， 即（）．故选：C. 考点三 根据图形写出角（范围） 【例3】1．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________． 【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 【解析】终边落在阴影部分第二象限最左边的角为, 终边落在阴影部分第四象限最左边的角为.所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.故答案为：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 【训练3】1．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当k取偶数时，比如，此时；当k取奇数时，比如，此时，故选C． 2．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合．（包括边界） 【答案】 【解析】图中阴影区域内的角的集合为 3．写出角的终边在下列位置时的集合． （1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； （2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）， 角的集合为： ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．角的集合为． 考点四 轴线角 【例4】1．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z} 【答案】D 【解析】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角， 所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z},故选D. 【训练4】1．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是（ ） A．A＝B＝C B．A＝B∩C C．AB＝C D．ABC 【答案】D 【解析】因为集合A是终边在x轴的非负半轴上的角的集合，集合B是终边在x轴上的角的集合，集合C是终边在坐标轴上的角的集合，苏ABC．故选：D 考点五 角的象限问题 【例5】1．若，则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【解析】因为，所以 当时，，其终边在第三象限； 当时，，其终边在第一象限. 综上，的终边在第一、三象限. 故选：A. 2． 若角是第三象限角，则 （1）是哪个象限角？ （2）是哪个象限角？ 【答案】（1）二，四；（2）一，二，y轴正半轴； 【解析】（1）∵角是第三象限角， ∴， ∴． 若k为偶数，则为第二象限；若k为奇数，则为第四象限，故是第二或四象限角． 又， ∴的终边在第一二象限或y轴正半轴上． 【训练5】1．若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】由题知，，， 则，在第二象限，故选：B 2．若是第四象限的角,则是( ) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 3．已知是锐角，那么是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【解析】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角. 其中D选项不包括，故错误.故选：C 4．若角是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】因为是第三象限角，所以，所以， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：C． 小结：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限的一般步骤： 1．写出角的范围； 2．写出的范围； 3．根据的取值不同，求出角所在的象限。 弧度制 1．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad． (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 180°＝ ①1°＝rad　②1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 2．特殊角的弧度数 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 例：1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( ) A．40π cm2 B．80π cm2 C．40cm2 D．80cm2 【答案】B 【解析】扇形的圆心角为，∵半径等于20cm， ∴扇形的面积为． 考点一 角度与弧度互化 【例1】1．化成弧度制为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵度，∴，故选C． 2．弧度化成角度制的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B. 【训练1】1．_________弧度；弧度=________． 【答案】；80° 【解析】； 2．化成角度是（ ） A．20° B．40° C．50° D．80° 【答案】B 【解析】由题得.故选：B 3．角200°用弧度制表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以200°.故选：C. 4．角弧度，则所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】确定所在区间，对照象限角的范围可得在第三象限． 5．把角化为的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 6．把表示成，的形式，使最小的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，他都终边与终边相同，在第三象限内，的弧度为，故选D． 考点二 扇形弧长公式 【例2】1．扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，扇形的圆心角的弧度数是， ∴扇形的圆心角的弧度数.故选：D. 【训练2】1．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A．cm B．cm C．cm D． cm 【答案】A 【解析】根据弧长公式，得 (cm)．选：A 2．扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【答案】B 【解析】由扇形周长公式：，而， ∴这个扇形的周长是.故选：B 3．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为R，∴圆弧长为R．∴该圆弧所对圆心角的弧度数为＝． 3． 一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？ 【答案】π－2 【解析】扇形的圆心角为θ rad，则扇形的周长是2r＋rθ．依题意：2r＋rθ＝πr，∴θ＝(π－2)rad． 考点三 扇形面积公式 【例3】1．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________． 【答案】 【解析】由弧长公式可得，所以扇形面积为，故答案为： 2．已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【答案】 【解析】扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α·2． ＝α·＝·≤，当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值． 【训练3】1．已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设扇形半径为，则，，所以扇形的面积．故选：B． 2．若扇形的面积是cm2，它的周长是cm，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设扇形的半径为，圆心角为，由题意得，解得或（舍去， 扇形圆心角的弧度数为，故选：A． 3．在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________． 【答案】 【解析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为， 则，，因为，即，即， 所以.故答案为： 4．若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是_______． 【答案】2 【解析】设扇形的圆心角弧度数为，半径为，则，， 当且仅当，解得时，扇形面积最大. 此时.故答案为：2. 5．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R．若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； 【答案】(cm)；(cm2) 【解析】设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝(cm)， S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ＝π－＝(cm2)． 6．已知扇形AOB的周长为8． (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB． 【答案】(1)；6；(2)4；4sin 1 【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， (1)由题意可得解得或∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r≤()2＝×()2＝4， 当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴r＝2，∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 任意角的概念 1．任意角的概念 (1)定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的终边和始边． (2)分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角． 负角：按顺时针方向旋转形成的角． 零角：射线没有任何旋转形成的角． (3)终边相同的角：一般地，角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同．任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，记为． 例：写出与的终边相同的角的集合． (4)象限角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 象限角集合： 第一象限角的集合： ； 第二象限角的集合： ； 第三象限角的集合： ； 第四象限角的集合： ． (5)轴线角：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上的角，称之为轴线角． 轴线角集合： x轴非负半轴的集合： ； x轴非正半轴的集合： ； x轴的集合： ； y轴非负半轴的集合： ； y轴非正半轴的集合： ； y轴的集合： ； 坐标轴的集合： ． 考点一 任意角的概念 【例1】1．下列说法中，正确的是（ ） A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等 C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角 【训练1】1．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在（ ） A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上 C．x轴上 D．y轴的非负半轴上 2．时针走过2时40分，则分针转过的角度是　　 A． B． C． D． 3．已知角的终边关于原点对称，则间的关系为_________． 考点二 找出终边相同的角 【例2】1．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 2．已知角，则与α终边相同的最大负角是______． 【训练2】1．下列各角中，与角330°的终边相同的是(　　) A．150° B．－390° C．510° D．－150° 2．与角的终边相同的最小正角是（ ） A． B． C． D． 3．将化为（，）的形式是（ ） A． B． C． D． 4．与800°角终边相同的角可以表示为（ ），． A． B． C． D． 考点三 根据图形写出角（范围） 【例3】1．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________． 【训练3】1．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A． B． C． D． 2．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合．（包括边界） 3．写出角的终边在下列位置时的集合． （1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； （2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 考点四 轴线角 【例4】1．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z} 【训练4】1．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是（ ） A． A＝B＝C B．A＝B∩C C．AB＝C D．ABC 考点五 角的象限问题 【例5】1．若，则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．若角是第三象限角，则 （1）是哪个象限角？ （2）是哪个象限角？ 【训练5】1．若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．若是第四象限的角,则是( ) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 3．已知是锐角，那么是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 4．若角是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 小结：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限的一般步骤： 1．写出角的范围； 2．写出的范围； 3．根据的取值不同，求出角所在的象限。 弧度制 1．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad． (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 180°＝ ①1°＝rad　②1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 2．特殊角的弧度数 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 例：1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( ) A．40π cm2 B．80π cm2 C．40cm2 D．80cm2 考点一 角度与弧度互化 【例1】1．化成弧度制为（ ） A． B． C． D． 2．弧度化成角度制的结果为（ ） A． B． C． D． 【训练1】1．_________弧度；弧度=________． 2．化成角度是（ ） A．20° B．40° C．50° D．80° 3．角200°用弧度制表示为（ ） A． B． C． D． 4．角弧度，则所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．把角化为的形式为（ ） A． B． C． D． 6．把表示成，的形式，使最小的值是（ ） A． B． C． D． 考点二 扇形弧长公式 【例2】1．扇形的弧长是6，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【训练2】1．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A．cm B．cm C．cm D． cm 2．扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 3．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A． B． C． D． 4．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？ 考点三 扇形面积公式 【例3】1．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________． 2．已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【训练3】1．已知扇形的周长为，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（ ） A． B． C． D． 2．若扇形的面积是cm2，它的周长是cm，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B． C．或 D．或 3．在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________． 4．若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是_______． 5．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R．若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； 6．已知扇形AOB的周长为8． (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$