湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高一下学期6月月考数学试卷 一、单选题 1．设复数满足（为虚数单位），则（    ）． A．3 B．4 C． D．10 2．经过政府加大投入，一座老城被改建为一座朝气蓬勃的新城市．2021年该市人口约为20万人，2022年该市人口约为30万人，假设今后该市人口每年以从2021年到2022年人口数的增长率进行增长．若从2021年开始年后该市人口首次超过200万人，则（    ） 参考数据： A．5 B．6 C．7 D．8 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．以点为对称中心的函数是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（    ） A． B． C． D． 7．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（    ） A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75 8．在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传达的积极情绪，并且愿意为其买单．某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面．如图所示为该机构调查的2023年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是（    ）      A．2023年中国网民观看电影时超过40%的网民会关注参演人员 B．这8个方面占比的极差是31.77% C．这8个方面占比的中位数为37.69% D．2023年中国网民观看电影时至少有10.73%的网民既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观 10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的表面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆锥的表面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为 11．直三棱柱的六个顶点均位于一个半径为1的球的球面上，已知三棱柱的底面为锐角三角形，，，那么该直三棱柱的体积可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．从集合中任选两个元素，和为奇数的概率为 . 13．给出下列结论： ①若集合，，则； ②函数的图象关于原点对称； ③函数在其定义域上是单调递减函数； ④若函数在区间上有意义，且，则在区间上有唯一的零点. 其中正确的是 .（只填序号） 14．若方程在上有唯一解，则的值为 ． 四、解答题 15．已知，，是同一平面内的三个向量，其中． (1)若，且，求的值； (2)若，且与垂直，求与的夹角． 16．如图，梯形ABCD中，，，，四边形ADEF中，，，且平面平面． (1)求证:平面， (2)求证:平面平面; (3)若BE与CD所成角为求： （i）与面所成角; （ii）二面角的平面角大小. 17．设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，求点的坐标． 18．如图所示，在中，点在边上，且，，. （1）若，求的值； （2）若边上的中线，求的值. 19．某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立： (1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率 (2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B D B A ABD AD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】先求出，再求即可. 【详解】由得，则． 故选：C． 2．B 【分析】先计算出2021年到2022年人口数的增长率，从而可得从2021年开始年后该市人口数的表达式，根据题设构建不等式，利用题设中的数据可求的值. 【详解】2021年到2022年人口数的增长率为， 故从2021年开始年后该市人口数为， 令，则，故， 所以， 故的最小值为6， 故答案为：B. 3．B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】解：由得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．C 【分析】根据三角函数的对称性依次判定. 【详解】对于A选项，对称中心为，故不选A； 对于B选项，对称中心为，故不选B; 对于C选项，对称中心为，故C选项正确； 对于D选项，不是中心对称图形，故不选D. 故选：C. 5．B 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出，可得．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证出平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中， ，可得 因此 正三棱柱中，平面平面 平面平面，,平面， 直线平面，平面，可得 ，平面，平面， 平面，因此可得，即与所成角的大小为， 故选：B． 6．D 【分析】根据给定的函数图象，由函数值域、定义域分别判断A，C；探讨在上函数的最值判断B；分析函数在R上的性质判断D作答. 【详解】观察图象知，图象对应函数的定义域为R，值域为（a为正常数），函数在R上单调递增，其图象过原点， 对于A，函数的定义域为R，值域为，不符合题意，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，，当且仅当时取等号， 因此函数在上有最大值1，不符合题意，B不是； 对于C，函数有意义，，解得，即函数的定义域为，不符合题意，C不是； 对于D，函数的定义域为R，，当时，， 因为函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，因此在R上单调递增， 又，即，因此，，则函数的值域为， 所以函数符合题意，D是. 故选：D 7．B 【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出． 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：． 故选：B． 8．A 【分析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积． 【详解】解：∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，作平面，连接交与点，∵底面是正三角形，，平面 ∴，，∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，∴， 又∵，而，且，平面，∴平面， ∴平面，∴， 以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，所以. 故选：A. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 9．ABD 【分析】结合题图数据，可得A；根据极差、中位数可判断BC；由集合运算及关系可得D. 【详解】选项A：由题图可知，2023年中国网民观看电影时关注参演人员的网民占比为48.97%，超过40%，A正确； 选项B：这8个方面占比的极差是，B正确； 选项C：这8个方面占比的中位数为，C错误； 选项D：由2023年中国网民观看电影时关注剧情、情节与精神内涵价值观二者之一的占比至多， 故2023年中国网民观看电影时既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观的占比至少为 ，D正确． 故选：ABD. 10．AD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的表面积和体积公式，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积，然后由选项可得答案. 【详解】选项A. 由题意圆柱的底面直径与高均为 所以圆柱的表面积为，故选项A正确. 选项B. 由题意圆锥的底面直径和高均为. 所以圆锥的表面积为：,故选项B不正确. 选项C. 球的表面积为, 所以圆锥的表面积与球面面积不相等，故选项C不正确. 选项D. 圆柱的体积为 圆锥的体积为：,球的体积为 所以 ,故选项D正确. 故选：AD. 11．BCD 【分析】设底面外接圆的半径为，利用正弦定理求出，设直三棱柱的高为，外接球的半径为，利用勾股定理求出，在底面锐角中由正弦定理表示出、，即可求出的取值范围，从而求出的面积的取值范围，再根据柱体的体积公式求出体积的取值范围，即可得解. 【详解】设底面外接圆的半径为，则， 设直三棱柱的高为，外接球的半径为，则，则， 在锐角中，， 由正弦定理得， 则，， ； ，解得，，，， ， 所以. 故选：BCD 12．/0.6 【分析】利用组合数及古典概型求解. 【详解】当且仅当所选的两个元素恰为一奇一偶时和为奇数. 选法种数为，故所求概率为. 故答案为： 13．② 【解析】①，②函数是奇函数，图象关于原点对称，③不能说在定义域单调递减，④考虑函数即可. 【详解】①若集合，，则，原说法不正确； ②函数，，是定义在R上的奇函数，所以图象关于原点对称，原说法正确； ③函数在分别递减，不能说在其定义域上是单调递减函数，所以原说法不正确； ④若函数在区间上有意义，且， 考虑函数，在区间上零点不唯一，所以原说法不正确. 故答案为：② 【点睛】此题考查集合与函数相关概念和性质的辨析，需要熟练掌握常见概念和性质及定理. 14．/ 【分析】把方程变形（同构化），然后利用函数的单调性，化简方程，再由方程根的概念求解． 【详解】因为方程在上有唯一解， 所以 所以，其中， 设， 在上单调递增； 所以，所以 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线列方程，解方程即可； （2）根据坐标运算得到，，然后根据垂直列方程得到，最后利用数量积的公式求夹角. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由题意得，， 因为与垂直，所以， 解得， 因为，所以，， 因为，所以. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)（ⅰ）  （ⅱ） 【分析】（1）作交于，交于，结合，可得，可证明为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）由勾股定理可得，利用面面垂直的性质结合，可得平面，从而得，由平面，进而可得结论； （3）由（2）得，则，； （ⅰ）由（2）得面，则为与面所成角，进而，用直角三角形的性质求得的正弦值，进而求出角； （ⅱ）证明为二面角的平面角，再利用正切求出二面角的平面角. 【详解】（1）作交于，交于， 因为，所以，， 又因为，， 为平行四边形， 又平面，平面 平面 （2）， ， 又，，， 平面平面，平面平面 又，平面， 平面 又，平面，平面， 又，平面 平面 平面，平面平面． （3），为与所成角， 由（2）知：面 面， 在中，， ， （ⅰ）由（2）知：面，为与面所成角 面，面， 在中， ， 与面所成角为． （ⅱ）由（2）知：面 面， 由（ⅰ）知： ，平面，面 面， ，为二面角的平面角 在中， ，二面角的平面角为． 17． 【分析】由三角函数的定义可得，利用两角差的正弦、余弦公式可求得、的值，即可得出点的坐标. 【详解】由三角函数的定义可知，点的纵坐标为，即， 故．因为，则， 若，则，不符合题意； 若，则，符合题意． 故．所以． 所以． ． 而， 所以点的坐标为． 18．（1） 4     （2） 【分析】（1）先由诱导公式的值，再由正弦定理求解. (2) 延长到，使得,连接,得到平行四边形，然后在中用余弦定理可解得答案. 【详解】(1)由，. 又 由正弦定理有,所以. 所以. (2)由,所以为钝角. 又由（1）有，所以 又为边上的中线，延长到，使得,连接,如图. 则四边形为平行四边形,所以 则在中, 所以 即，即. 解得：或（舍去） 所以 【点睛】本题考查诱导公式，正弦定理和余弦定理的应用， 第（2）问还可以用向量法求解，属于中档题. 19．(1)； (2). 【分析】（1）分析试验过程，分别求出和，利用条件概率的公式直接计算； （2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一；iii. 前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 分别求概率.即可求出. 【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发； 所以. . 所以. （2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为： i. 记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为： ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为： iii. 记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 其概率为： ， 则事件彼此互斥，记， 所以 . 所以 【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$