专题08：等式的性质与方程的解集（4大知识点+10大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接沪教版（2020）数学

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题08 等式的性质 一元二次方程根与系数的关系 知识点一、等式的性质 1、定义：用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 2、性质：（1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 3、恒等式：数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 知识点二、方程的解、方程的解、方程的解集 1、含有未知数的等式称为方程. 使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解, 以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 【注意】方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合.根本概念是不一样的. 2、含参一元一次方程的解集 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 3、二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 知识点三、一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 知识点四、根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ① ；② 。 2. 根与次数的关系的常见变形 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 知识点一、等式的性质 题型01：等式的性质 【名师点拨】（1）如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c；（2）如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)； 并注意特殊等式中的“隐含”条件；如：； ； 【例1】1.如果a=b且b=c，那么a=c，体现了等式的___________ 性. 2.如果a=b，c=d，那么ac=bd是___________命题. 3.如果ac=bd那么a=b，c=d是___________命题. 4.是a=b=c的___________条件. 【例2】如果a＝b，则下列变形正确的是(　　) A．3a＝3＋b B．－＝－ C．5－a＝5＋b D．a＋b＝0 【例3】已知实数a，b满足2＋2＝0，则a＋b的值为________. 【跟踪训练】 1．下列变形中正确的是(　　) A．若ac＝bc，那么a＝b B．若＝，那么a＝b C．若|a|＝|b|，那么a＝b D．若a2＝b2，那么a＝b 2.下列命题中正确的是（ ） A.a=b，则 B.，则 C.，则 D.若，且，则 3.下列命题中正确的个数有（ ） ①如果，那么；②如果，那么an=bn；③，则a=b；④若，则a=b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02：恒等式 【例4】若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b为整数，则m的取值的集合为 【例5】(多选)下列属于恒等式的有(　　) A．(a＋b)c＝ac＋bc　　　　 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．4x＝2 020 D．(x－1)2＝0 【例6】若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是(　　) A．a＝10，b＝2 B．a＝10，b＝－2 C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2 【跟踪训练】 1.如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　) A．49 B．7 C．－7 D．7或－7 2，已知等式恒成立，则 ． 3．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 知识点二、方程的解与方程的解集 题型03：含参一元一次方程的解集 【例7】＝的解集为(　　) A．x＝－ B． C．－17 D．{－17} 【例8】设为实数，求关于的方程的解集. 【跟踪训练】 1.用适当的方法求下列方程的解集： (1)－＝1； (2)x－＝. 2.解方程t2x＋1＝x＋t(t为任意实数)． 题型04：二元一次方程组的解集 【例9】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【跟踪训练】 1.下列关于方程的解的说法中正确的是（ ） A.该方程一定有唯一解 B.该方程没有解 C.k=0时，方程有无数解 D.k≠0时，方程有唯一解 2.解关于x，y的二元一次方程组 题型05：一元二次方程的解集 【例10】一元二次方程x2－x－6＝0的解集为(　　) A．{3，－2} B．{－3,2} C．{1,5} D．{－1，－5} 【例11】求下列方程的解集： (1)x2－2x＝0； (2)x2＋2x＋1＝0； (3)x2－23x＋42＝0； (4)ax2－(a＋1)x＋1＝0. 【跟踪训练】 1.已知集合， （1）集合，且，求实数m的值； （2）集合，且Q是P的真子集，求实数a的取值范围. 2．已知集合A＝{x|x2＋(m－2)x－2m＝0}，B＝{x|mx＝2x＋1}，若B⊆A，求实数m的值． 3．方程x2＋mx＝5m＋5x(m为常数且m≠－5)的解集为________. 4．求下列方程的解集： (1)4x－3＝2(x－1)；(2)5－＝； (3)x2＋25x＋156＝0； (4)ax＝5x＋7(a为常数)． 知识点三、一元二次方程根与系数的关系 题型06：不解方程求两根之和与两根之积 【例12】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 【例13】不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【跟踪训练】 1．若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　） A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10 2．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A．﹣2 B． C． D．2 3．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 4．求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2+6x﹣6＝0； （2）3x2﹣2x+1＝0； （3）x2+x＝1； （4）5x2＝6x． 题型07：已知方程的一根求另一个根 【例14】已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【例15】写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　　 ． 【跟踪训练】 1．（2024•宝安区二模）已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 2.已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0． （1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 题型08：利用根与系数的关系求代数式的值 【例16】若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）(x1－5)(x2－5)；（4）|x1－x2|. 【例17】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【跟踪训练】 1. 已知、是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 2.设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+2）（x2+2）； （2）． 3.已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 题型09：已知代数式的值求参数 【例18】已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是 【跟踪训练】 1.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，求m的值． 2．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且15，求m的值． 题型10：判别式和根与系数的关系综合问题 【例19】已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【跟踪训练】 1．已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 2．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 一、填空题 1．已知方程的两个根为，则= . 2.（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 4．若，是方程的两个根，则的值为 ． 5.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 7．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 9．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 10．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 11．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 12．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 二、选择题 13.若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 14.若关于x的方程(2＋2k)x＝1的解集为∅，则(　　) A．k＝－1 B．k＝1 C．k≠－1 D．k≠1 15．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 16.（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 3、 解答题 17.求关于x的方程的解集，其中a是常数. 18．(1)求方程x2－(k＋3)x＋3k＝0(k为常数)的解集； (2)方程ax＝3的解集A包含于方程x2＋6x＋5＝0的解集B，求a的值． 19.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 20．（2025•高密市三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜4，求k的整数值． 21.（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题08 等式的性质 一元二次方程根与系数的关系 知识点一、等式的性质 1、定义：用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 2、性质：（1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 3、恒等式：数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 知识点二、方程的解、方程的解、方程的解集 1、含有未知数的等式称为方程. 使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解, 以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 【注意】方程的解一般指能使一个含未知数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合.根本概念是不一样的. 2、含参一元一次方程的解集 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 3、二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 知识点三、一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 知识点四、根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系： 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ① ；② 。 2. 根与次数的关系的常见变形 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 ⑥ 。 知识点一、等式的性质 题型01：等式的性质 【名师点拨】（1）如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c；（2）如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)； 并注意特殊等式中的“隐含”条件；如：； ； 【例1】1.如果a=b且b=c，那么a=c，体现了等式的___________ 性. 2.如果a=b，c=d，那么ac=bd是___________命题. 3.如果ac=bd那么a=b，c=d是___________命题. 4.是a=b=c的___________条件. 【例2】如果a＝b，则下列变形正确的是(　　) A．3a＝3＋b B．－＝－ C．5－a＝5＋b D．a＋b＝0 答案　B 解析　根据等式的性质可得等式两边同乘以一个数，等式仍然成立． 【例3】已知实数a，b满足2＋2＝0，则a＋b的值为________. 【提示】注意：； 【答案】1或－3； 【解析】由2＋2＝0所以a＋2＝0且b2－2b－3＝0，解得a＝－2，b＝3或－1， 所以，a＋b＝－2－1＝－3或a＋b＝1； 【跟踪训练】 1．下列变形中正确的是(　　) A．若ac＝bc，那么a＝b B．若＝，那么a＝b C．若|a|＝|b|，那么a＝b D．若a2＝b2，那么a＝b 答案　B 解析　A中，若c＝0，则不能得到a＝b；C中，若|a|＝|b|，则a＝±b；D中，若a2＝b2，则a＝±b；B显然成立．故选B. 2.下列命题中正确的是（ ） A.a=b，则 B.，则 C.，则 D.若，且，则 3.下列命题中正确的个数有（ ） ①如果，那么；②如果，那么an=bn；③，则a=b；④若，则a=b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02：恒等式 【例4】若x2＋mx－10＝(x＋a)(x＋b)，其中a，b为整数，则m的取值的集合为 都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab； 【例5】(多选)下列属于恒等式的有(　　) A．(a＋b)c＝ac＋bc　　　　 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．4x＝2 020 D．(x－1)2＝0 解析：选AB　A、B属于恒等式；只有当x＝505时，等式4x＝2 020才成立，只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选A、B. 【例6】若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是(　　) A．a＝10，b＝2 B．a＝10，b＝－2 C．a＝－10，b＝－2 D．a＝－10，b＝2 解析：选C　因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，所以即 【跟踪训练】 1.如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　) A．49 B．7 C．－7 D．7或－7 答案　D 解析　(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7. 2，已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 3．已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【分析】结合已知等式进行变形，然后结合等式恒成立，对应项系数相等可建立关于，，的方程，从而可求． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 解得，，，， 所以． 故答案为：． 知识点二、方程的解与方程的解集 题型03：含参一元一次方程的解集 【例7】＝的解集为(　　) A．x＝－ B． C．－17 D．{－17} 【答案】B 【例8】设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【分析】方程可化为，讨论与即可求解. 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 【跟踪训练】 1.用适当的方法求下列方程的解集： (1)－＝1； (2)x－＝. [解]　(1)原方程可化为x－(0.17－0.2x)＝1，即x－＝1， 去分母，得30x－7(17－20x)＝21， 去括号，得30x－119＋140x＝21， 移项，得30x＋140x＝21＋119， 合并同类项，得170x＝140， 系数化为1，得x＝.所以该方程的解集为. (2)去小括号，得x－＝， 去括号，得x－x＋x－＝， 去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8， 移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3， 合并同类项，得x＝－5.所以该方程的解集为{－5}． 2.解方程t2x＋1＝x＋t(t为任意实数)． 解　原方程变形为(t2－1)x＝t－1. ①当t≠±1时，x＝，因此方程的解集为； ②当t＝－1时，方程无解； ③当t＝1时，方程的解集为R. 题型04：二元一次方程组的解集 【例9】设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 【跟踪训练】 1.下列关于方程的解的说法中正确的是（ ） A.该方程一定有唯一解 B.该方程没有解 C.k=0时，方程有无数解 D.k≠0时，方程有唯一解 2.解关于x，y的二元一次方程组 题型05：一元二次方程的解集 【例10】一元二次方程x2－x－6＝0的解集为(　　) A．{3，－2} B．{－3,2} C．{1,5} D．{－1，－5} 答案　　(2)A 【例11】求下列方程的解集： (1)x2－2x＝0； (2)x2＋2x＋1＝0； (3)x2－23x＋42＝0； (4)ax2－(a＋1)x＋1＝0. [解]　(1)方程可化为x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，即方程的解集为{0,2}． (2)方程可化为(x＋1)2＝0，解得x＝－1，即方程的解集为{－1}． (3)方程可化为(x－2)(x－21)＝0，解得x＝2或x＝21，即方程的解集为{2,21}． (4)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，所以x＝1； 当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说， 因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)，如图所示， 所以ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0. 所以当a＝1时，x＝1，当a≠1时，x＝或x＝1. 所以当a＝0,1时，方程的解集为{1}； 当a≠0,1时，方程的解集为. 【跟踪训练】 1.已知集合， （1）集合，且，求实数m的值； （2）集合，且Q是P的真子集，求实数a的取值范围. 2．已知集合A＝{x|x2＋(m－2)x－2m＝0}，B＝{x|mx＝2x＋1}，若B⊆A，求实数m的值． 解　当m≠2时，B＝；当m＝2时，B＝∅. 又A＝{x|(x－2)(x＋m)＝0}，当m≠－2时，A＝{2，－m}；当m＝－2时，A＝{2}． 又因为B⊆A，所以当m＝2时，B＝∅⊆A，满足条件；当m≠2时，由B⊆A得＝2或＝－m，解得m＝或m＝1. 综上，实数m的值为1,2，. 3．方程x2＋mx＝5m＋5x(m为常数且m≠－5)的解集为________. 答案　{5，－m} 解析　原方程可化为x2＋(m－5)x－5m＝0，(x－5)(x＋m)＝0，即x＝5或x＝－m，所以方程的解集为{5，－m}． 4．求下列方程的解集： (1)4x－3＝2(x－1)；(2)5－＝； (3)x2＋25x＋156＝0； (4)ax＝5x＋7(a为常数)． 解　(1)方程4x－3＝2(x－1)可化为2x＝1，即x＝，所以方程的解集为. (2)方程5－＝可化为30－2(2x＋1)＝3(1＋x)，25＝7x，即x＝，所以方程的解集为. (3)方程x2＋25x＋156＝0可化为(x＋12)·(x＋13)＝0，即x＝－12或x＝－13， 所以方程的解集为{－12，－13}． (4)方程ax＝5x＋7可化为(a－5)x＝7. 当a≠5时，x＝，方程的解集为； 当a＝5时，方程无解，此时方程的解集为∅. 综上，当a＝5时，方程的解集为∅；当a≠5时，方程的解集为. 知识点三、一元二次方程根与系数的关系 题型06：不解方程求两根之和与两根之积 【例12】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 【答案】（1）x1+x23，x1x25； （2）x1+x2，x1x2． 【分析】（1）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可； （32）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可． 【详解】（1）∵a＝1，b＝3，c＝﹣5， ∴x1+x23，x1x25； （2））∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴x1+x2，x1x2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握x1+x2，x1x2是解题的关键． 【例13】不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴， ∴一元二次方程的两个根、的符号是异号； 故选：B． 【跟踪训练】 1．若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　） A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10 【答案】A 【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，即可求出α+β的值． 【详解】∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根， ∴α+β＝7． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 2．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系，即可求出x1•x2的值． 【详解】∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1•x2． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 3．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b的取值无关，再利用根与系数的关系可得，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 4．求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2+6x﹣6＝0； （2）3x2﹣2x+1＝0； （3）x2+x＝1； （4）5x2＝6x． 【答案】（1）x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣6； （2）x1+x2，x1x2； （3）x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1； （4）x1+x2，x1x2＝0． 【分析】利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解． 【详解】（1）设x1，x2是方程x2+6x﹣6＝0的两根， 则x1+x26，x1x26； （2）设x1，x2是方程3x2﹣2x+1＝0的两根， 则x1+x2，x1x2； （3）x2+x＝1变形为x2+x﹣1＝0， 设x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根， 则x1+x21，x1x21； （4）5x2＝6x变形为5x2﹣6x＝0的两根， 设x1，x2是方程5x2﹣6x＝0的两根， 则x1+x2，x1x20． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，． 题型07：已知方程的一根求另一个根 【例14】已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】D 【分析】设方程的另一个为根为t，则利用根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5，然后解一次方程即可． 【详解】设方程的另一个为根为t， 根据根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5， 解得t＝1， 即方程的另一个根为1． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【例15】写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根与系数的关系：两根之和，两根之积，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【详解】∵﹣2+3＝1，﹣2×3＝﹣6， ∴方程为：x2﹣x﹣6＝0， 故答案为：x2﹣x﹣6＝0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【跟踪训练】 1．（2024•宝安区二模）已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可． 【详解】∵是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a， ∴a1， 解得：a＝1，即a． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2.已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0． （1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）0； （2）见解答． 【分析】（1）先把x＝﹣3代入求出m＝3，则方程变形为x2+3x＝0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到﹣3+t＝﹣3，然后解关于t的方程即可； （2）计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+8，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论． 【解答】（1）解：把x＝﹣3代入方程得9﹣3m+m﹣3＝0，解得m＝3， 方程变形为x2+3x＝0， 设方程的另一个根为t， 根据题意得﹣3+t＝﹣3，解得t＝0， 即方程的另一根为0； （2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣3） ＝（m﹣2）2+8， ∵（m﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 题型08：利用根与系数的关系求代数式的值 【例16】若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）(x1－5)(x2－5)；（4）|x1－x2|. 【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007， （1）x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018. （2）＋＝＝＝. （3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972. （4）|x1－x2|＝＝＝＝＝4. 【例17】已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【答案】A 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根， ∴，x1x2＝﹣2024，x1+x2＝1， 4049， 故选：A． 【跟踪训练】 1. 已知、是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】先利用根与系数的关系得到，． （1）利用因式分解法变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，． （1）原式； （2）原式． 2.设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+2）（x2+2）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1） （2） 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根， ∴， ∴（x1+2）（x2+2）＝2x1+2x2+x1x2+4 ； （2）∵， ∴ ． 3.已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【解答】解：∵m、n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m﹣2025＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝2025， 即m2﹣4m＝2025+m， 则m2﹣4m+n﹣2＝2025+m+n﹣2＝2025+5﹣2＝2028， 故选：B． 题型09：已知代数式的值求参数 【例18】已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是 【答案】2 ； 【解析】由题知，解得m>－1且m≠0； 因为，x1＋x2＝，x1x2＝，所以，＋＝＝＝4m，所以，m＝2或－1， 又因为m>－1且m≠0，所以，m＝2； 【跟踪训练】 1.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，求m的值． 【答案】（1）； （2）m． 【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝1﹣2m、，将（2x1+x2）（x1+2x2）＝3变形为，然后代入即可得出关于m的一元二次方程，解方程求得出m的值，结合（1）的结论即可得出m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2≥0， 即﹣4m+1≥0， 解得：m， ∴m的取值范围为m； （2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2， ∵（2x1+x2）（x1+2x2）＝3， ∴， ∴， ∴2（1﹣2m）2+m2＝3， 整理得：9m2﹣8m﹣1＝0， 解得：m1，m2＝1， 又∵， ∴m． 【点睛】本题考查了跟与系数的关系以及根的判别式，根据方程解的情况结合根的判别式找出关于m的不等式或方程是解题的关键． 2．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且15，求m的值． 【答案】（1）m； （2）2． 【分析】（1）根据根与系数的关系得到Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2+1，再由15得到（2m+1）2﹣2（m2+1）＝15，解得m1＝﹣4，m2＝2，然后利用（1）中m的取值范围确定m的值． 【解答】解；（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0， 解得m， 所以m的取值范围为m； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2+1， ∵15， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝15， ∴（2m+1）2﹣2（m2+1）＝15， 整理得m2+2m﹣8＝0， 解得m1＝﹣4，m2＝2， ∵m， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 题型10：判别式和根与系数的关系综合问题 【例19】已知，是一元二次方程的两个实数根. (1)求的值；（用表示） (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 (3) 【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得； （2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断； （3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得. 【详解】（1）因为一元二次方程， 所以，解得 由韦达定理可得 当时，，无意义； 当时， 综上，的值为 （2）由韦达定理可知 ， 令，整理得，， 由（1）可知， 所以不存在实数，使成立. （3） 因为为整数，所以必为整数，所以，即 又，所以， 因为为整数，所以，经检验时，为整数， 所以使的值为整数的实数的整数值为. 【跟踪训练】 1．已知、是关于的一元二次方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)若，求整数的值. 【答案】(1). (2)不存在，详见解析. (3)或或. 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）首先可根据判别式得出，然后根据韦达定理得出、，最后根据得出，通过计算即可得出结果； （2）根据得出，然后通过计算以及即可得出结果； （3）可将转化为，然后根据为整数以及即可得出结果. 【详解】（1）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得， ，， 因为，所以， 即，，，. （2）由（1）易知，，， 若存在实数，使成立， 则，解得， 因为，所以不存在实数使成立. （3）由（1）易知，，， 则， 因为，所以， 因为为整数，所以、、， 因为，所以或或. 2．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (2)若的值为整数，求整数的值． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)或或 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）由求出的取值范围，再列出韦达定理，由得到方程，解得即可； （2）由，代入韦达定理，得到，结合为整数，且，即可得解. 【详解】（1）因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以且，解得， 且，， 若，则，即，解得（舍去）， 即不存在实数，使成立. （2）由题意， 又当，即时，且，， 故， 由于为整数且为整数，故只能取、、，又， 则或或，解得或或， 故整数的值为或或. 一、填空题 1．已知方程的两个根为，则= . 【答案】3 【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 2.（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 3．若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 结合根与系数的关系可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2019 4．若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为是方程的根，所以，把整理可得：原式，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ， 是方程的根， ， 整理可得：， ． 故答案为：． 5.（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且，则实数 . 【答案】1 【分析】由韦达定理可得，结合的关系建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】由韦达定理，得， 有，得， 又，所以，即， 所以，解得. 故答案为：1 7．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知实数，满足，，则代数式 . 【答案】或. 【分析】分和两种情况讨论，当时，可得是方程的两个根，由根与系数的关系，可得的值，整理所求的代数式，可得其代数式的值. 【详解】解：当时，为方程的两个不等实根， 可得， 所以 ， 当时，则. 故答案为：或. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 【答案】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，， 且，即， 因为， 则，解得，即， 所以. 故答案为：30. 9．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 10．（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根，是关于的方程的两实根，则 . 【答案】3 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，解出验证即可. 【详解】因为是关于的方程的两实根， 所以由根与系数的关系得， 因为是关于的方程的两实根， 所以， 即，， 所以，解得， 经验证可得，所以， 所以. 故答案为：3. 11．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 二、选择题 13.若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．一元二次方程有两根，，则，，然后代入数值进行计算，即可求解， 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， 故选：C． 14.若关于x的方程(2＋2k)x＝1的解集为∅，则(　　) A．k＝－1 B．k＝1 C．k≠－1 D．k≠1 答案　A 解析　当2＋2k＝0时，方程的解集为∅，即k＝－1. 15．若α，β是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣2β+3的值为（　　） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】A 【解答】解：由条件可知α2+α﹣2023＝0，α+β＝﹣1， 即α2+α＝2023， ∴α2﹣α﹣2β+3 ＝α2+α﹣2α﹣2β+3 ＝α2+α﹣2（α+β）+3 ＝2023﹣2×（﹣1）+3 ＝2023+2+3 ＝2028． 故选：A． 16.（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】根据已知条件及判别式即可求解. 【详解】由，得，且， 所以 ， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等. 故选：C. 3、 解答题 17.求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析 【分析】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【详解】因为，则 当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为. 综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 18．(1)求方程x2－(k＋3)x＋3k＝0(k为常数)的解集； (2)方程ax＝3的解集A包含于方程x2＋6x＋5＝0的解集B，求a的值． 解　(1)原方程可化为(x－3)(x－k)＝0， 当k≠3时，方程的解集为{3，k}， 当k＝3时，方程的解集为{3}． (2)x2＋6x＋5＝0可化为(x＋1)(x＋5)＝0， 即x＝－1或x＝－5，所以B＝{－1，－5}． 又当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，A＝，由A⊆B，得＝－1或＝－5，即a＝－3或a＝－. 综上可得，a＝0或a＝－3或a＝－. 19.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以， 20．（2025•高密市三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜4，求k的整数值． 【答案】（1）k≤2； （2）0、1、2． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可； （2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，再利用x1+x2﹣x1x2＜4得到2﹣（k﹣1）＜4，解不等式得到k的范围，然后写出整数x即可． 【详解】（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0， 解得k≤2； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1， ∵x1+x2﹣x1x2＜4， ∴2﹣（k﹣1）＜4， 解得k＞﹣1， 而k≤2， ∴﹣1＜k≤2， ∴k的整数值为0、1、2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 21.（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知函数，设关于的方程的两实根为，方程的两实根为． (1)若，求与的关系式； (2)若均为负整数，且，求的解析式； (3)若，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意得有两个不等实根为，，根据韦达定理及可求解； （2）由（1）得，结合均为负整数可求解； （3）由韦达定理可得，结合即可证明. 【详解】（1）由题意得有两个不等实根为，， 所以． 由得，即， 所以，即． （2）由（1）得，因为均为负整数， 所以或或， 显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有，解得，． 故所求函数解析式为． （3）由题意得， 又由，得，故， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$