专题05：命题（3大知识点+6大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接沪教版（2020）数学

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题05 命题 知识点一、命题的概念： 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题； 初中我们学过许多命题可以写成 “若 p，则 q”或 “如果 p，那么 q”等形式。其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。 【注意】判断一个语句是否为命题的两个要素：（1）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；（2）可以判断真假的陈述句 知识点二、命题的分类： 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 知识点三、子集与推出关系： 1、命题的表示方法： 命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； 2、推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点一、命题的概念 题型01：命题的判断 【名师点拨】说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； 【例1】（24-25高一上·上海课时练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 【跟踪训练】 1．（2024闵行区校级月考）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2.（2024普陀区校级月考）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 3．（2024上海课时作业）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【分析】根据命题的概念即得. 【解析】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 题型02：指出命题的条件和结论 【名师点拨】把一个命题改写成“若α，则β”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一。 【例2】（2024上海课时作业）命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形 2、答案：C；解析：选C.把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C. 【跟踪训练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【解题思路】将命题改写成“如果…，那么…”的形式，结合命题的相关概念即可得解. 【解答过程】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”， “如果”后面的部分是条件，即两个数只有符号不同是原命题的条件． 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【解题思路】把命题改为“若，则”的形式可得答案. 【解答过程】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 题型03：命题的改写 【名师点拨】（1）将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则；（2）命题改写中的注意点：若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式。 【例3】（2024上海课时作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解析】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）把下列命题改写成“若，则”的形式 (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【知识点】判断命题的真假、指出命题的条件和结论 【分析】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 2.（2025徐汇中学高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【解题思路】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解答过程】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 知识点二、命题的真假 题型04：命题的真假判断 【名师点拨】一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 【例4】（2024上海课时作业）给定下列命题： ①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．④命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题； 其中真命题共有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】答案：B； 解析　①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不一定成立，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题； 【例5】（2024上海课时作业）把下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断命题的真假． （1）奇数不能被2整除； （2）当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； （3）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； 【解析】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题； （2）若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题； （3）已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，是假命题； 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实根． (2)若，则． (3)若，则． 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 【分析】根据命题的定义逐项分析判断. 【解析】（1）当时，则恒成立， 所以方程有实根，是真命题． （2）例如，满足，但不成立，故是假命题． （3）对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题． 2.（2024上海课时作业）下列命题中假命题的个数为(　　) ①多边形的外角和与边数有关；②如果，那么或； ③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；④若，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例． 3.（2024上海课时作业）下列命题为真命题的序号为 是(　　) ①．若＝，则x＝y ．若x2＝1，则x＝1 ③．若x＝y，则＝ ④．若x<y，则x2<y2 3、答案：① 解析: ①正确；②中，由x2＝1，得x＝±1，所以②是假命题；③中，当x＝y<0时，结论不成立，所以③是假命题；④中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以④是假命题; 4．（2024上海课时作业）下列判断中不正确的是（　　） A．命题“若，则”的逆否命题为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知a，b，，若，则”的逆命题是真命题 D．“若，则”是假命题 【答案】C 【分析】A中,根据题意判断原命题的真假性即可; B中,写出原命题的否命题,再判断它的真假性; C中,写出原命题的逆命题,再判断它的真假性; D中,举例说明该命题是假命题即可 【详解】对于A：时， ，此时，是真命题，∴它的逆否命题也为真命题，故A正确； 对于B：“矩形的两条对角线相等”的否命题是如果四边形不是矩形,则它的对角线不相等,它是假命题,如等腰梯形的对角线相等,∴B正确； 对于C：,若,则,它的逆命题是:若,则,它是假命题,因为m=0时不成立,∴C错误； 对于D：若,则x=1时, ，所以是假命题,D正确. 故选：C 题型05：已知命题的真假求参数 【例6】（2024上海课时作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是 4、答案：；解析：因为x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，又因为a∈A是假命题，即a∉A， 所以a<－3，则； 【例7】（2024上海课时作业）若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是 ． 5、答案：； 解析　由题意知解得a<且a≠0. 【例8】（2024复兴高级中学月考）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【解析】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 2．（2024上海课时作业）若命题p：方程无实数根是假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到方程有实数根，分与两种情况，结合根的判别式求出答案. 【解析】根据题意：方程有实数根， 当时，，解得：，满足题意； 当时，，解得：，故且， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 4．（2024上师大附中月考）已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）分，两种情况讨论即可求解； （2）方程两个不相等的实数根，可利用判别式建立不等式求解． （3）求命题①、②全都是真命题时的范围为，则的补集即为所求． 【解析】（1）时，，符合题意； 当时，由求得，故的取值范围为． （2）方程两个不相等的实数根， 即或，故取值范围为． （3）设，，若命题①、②全都是真命题， 则的范围为 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围是． 知识点三、推出关系 题型06：推出关系 【名师点拨】 推出关系 如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ．它是逻辑推理的基础． 【例9】（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 【答案】满足满足 【分析】分析可知所有满足条件的元素都满足条件，结合子集关系分析得解. 【详解】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件， 所以满足满足. 故答案为：满足满足. 【例10】（2024上海课时作业）判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【答案】(1)，但 (2) (3)，但． 【知识点】指出命题的条件和结论、方程与不等式、整数与整除 【分析】对于（1），可举例分析判断；对于（2），（3）解出方程，结合举反例判断. 【详解】（1）是能被4整除的自然数，即，所以是偶数．即， 但．反例：是偶数，但不能被4整除． （2）实数满足方程，可得或，即； 同样，如果或，则有，即． （3）若，必有，即． 但满足，而不满足，即． 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 【答案】(1)真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形 (2)假命题， 两个三角形的周长相等两个三角形全等 (3)假命题， (4)真命题，平面内两条直线和均垂直于直线 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据题意，结合平行四边形的性质，全等三角形的性质，以及一元二次方程的解和平行线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）解：假命题，两个三角形的周长相等两个三角形全等. （3）解：假命题，由方程，解得或，所以命题为假命题， 即. （4）解：真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果，那么，是 命题． 【答案】假 【知识点】判断命题的真假 【分析】通过特殊值进行验证即可. 【详解】假命题；如：，此时，但是， 故答案为：假. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 【答案】且（答案不唯一） 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据条件得出同号，即可求出结果. 【详解】由，知同号，即且或且， 故答案为：且（答案不唯一） 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据集合的包含关系判断即可. 【详解】，，故命题“若α，则β”是真命题. 故答案为：真. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】判断命题的真假 【分析】解方程可得答案. 【详解】当时，解得， 故答案为：. 5.（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 6．（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题的真假、常用数集或数集关系应用 【分析】根据数集之间的关系判断真假即可. 【详解】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真 7.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ．（提示：衔接内容韦达定理） 【答案】 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【知识点】判断命题的真假、描述法表示集合 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 二、选择题 9.（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【知识点】判断命题的真假 【分析】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【详解】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、判断命题的真假 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 12．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【解题思路】根据题意，逐项判断即可. 【解答过程】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形； B是真命题，或能得到； C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差； D是假命题，不满足． 故选：D. 3、 解答题 13．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当时，方程有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知为非零自然数，当时，. 【答案】(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题． (2)若，则方程有两个不等实根，是假命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题． (4)已知为非零自然数，若，则，是假命题． 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】根据“若p，则q”的形式，即可求解，从而可判断真假. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． 因为，所以6是12和18的公约数， 所以，若一个数是6，则它是12和18的公约数是真命题. （2）若，则方程有两个不等实根， 当时，方程为，方程只有1个实根， 所以，若，则方程有两个不等实根是假命题． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质可知，若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题. （4）已知为非零自然数，若，则， 当时，满足， 所以，已知为非零自然数，若，则是假命题． 14．把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 【答案】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 【知识点】指出命题的条件和结论、命题的概念 【分析】合理断句分出，，改写成“若，则”的形式． 【详解】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 【点睛】本题考查命题的形式，属于基础题. 15.（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 16.（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题05 命题 知识点一、命题的概念： 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题； 初中我们学过许多命题可以写成 “若 p，则 q”或 “如果 p，那么 q”等形式。其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。 【注意】判断一个语句是否为命题的两个要素：（1）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；（2）可以判断真假的陈述句 知识点二、命题的分类： 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 知识点三、子集与推出关系： 1、命题的表示方法： 命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； 2、推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 知识点一、命题的概念 题型01：命题的判断 【名师点拨】说明：（1）判定一个语句是否为命题需满足两个条件：①陈述句，②可判断真假．只有这两个条件都具备，才可以称这个语句为命题； 【例1】（24-25高一上·上海课时练习）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【跟踪训练】 1．（2024闵行区校级月考）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2.（2024普陀区校级月考）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 3．（2024上海课时作业）下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 题型02：指出命题的条件和结论 【名师点拨】把一个命题改写成“若α，则β”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一。 【例2】（2024上海课时作业）命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形 【跟踪训练】 1.（24-25高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 2．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 题型03：命题的改写 【名师点拨】（1）将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则；（2）命题改写中的注意点：若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式。 【例3】（2024上海课时作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）把下列命题改写成“若，则”的形式 (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 2.（2025徐汇中学高一专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 知识点二、命题的真假 题型04：命题的真假判断 【名师点拨】一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 【例4】（2024上海课时作业）给定下列命题： ①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．④命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题； 其中真命题共有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例5】（2024上海课时作业）把下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断命题的真假． （1）奇数不能被2整除； （2）当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； （3）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）判断下列命题的真假： (1)若，则方程有实根． (2)若，则． (3)若，则． 2.（2024上海课时作业）下列命题中假命题的个数为(　　) ①多边形的外角和与边数有关；②如果，那么或； ③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；④若，则. A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2024上海课时作业）下列命题为真命题的序号为 是(　　) ①．若＝，则x＝y ．若x2＝1，则x＝1 ③．若x＝y，则＝ ④．若x<y，则x2<y2 4．（2024上海课时作业）下列判断中不正确的是（　　） A．命题“若，则”的逆否命题为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知a，b，，若，则”的逆命题是真命题 D．“若，则”是假命题 题型05：已知命题的真假求参数 【例6】（2024上海课时作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是 【例7】（2024上海课时作业）若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是 ． 【例8】（2024复兴高级中学月考）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 2．（2024上海课时作业）若命题p：方程无实数根是假命题，则实数a的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·上海虹口·期中）若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 4．（2024上师大附中月考）已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 知识点三、推出关系 题型06：推出关系 【名师点拨】 推出关系 如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ．它是逻辑推理的基础． 【例9】（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 【例10】（2024上海课时作业）判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【跟踪训练】 1．（2024上海课时作业）判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果，那么，是 命题． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 5.（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 6．（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 7.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ．（提示：衔接内容韦达定理） 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 二、选择题 9.（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 12．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 3、 解答题 13．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数； (2)当时，方程有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知为非零自然数，当时，. 14．把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 15.（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 16.（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$