专题03：集合间的关系（5大知识点+13大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接沪教版（2020）数学

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题03 集合之间的关系 知识点一、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； 规定：∅⊆A 对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 【注意】 1、 “集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B； 2、 集合的相等与子集的关系： （1）一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”；（2）由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A；（3）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关。 知识点二、真子集 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注意】 1、 在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A； 2、 对常用的数集，有如下的包含关系：NZQR； 3、 对于集合的包含关系，有结论（1）A⊆A；（2）对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②如果AB，BC，则AC；（3）理解：∅A（A是非空集合）； 4、【以前与有些书上用得记号：AB或BA】 知识点三、文氏图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种示意图通常称为文氏图（维恩）维恩图； 【注意】表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线； 知识点四、有限集的子集个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集； 集合的子集、真子集个数的规律为：含n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉； 知识点五、由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 （1）注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论； （2）常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 考点一 子集 真子集的概念 题型01：子集、真子集的概念 【名师点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． ②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． ③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 【例1】对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论． 【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素， ∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B， 故选：C． 【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题． 【跟踪训练】 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）“∈”“⊆”的意义是一样的；(　　) （2）空集是任何集合的真子集；(　　) （3）若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中；(　　) （4）若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B；(　　) （5）若A＝B，则必有A⊆B；(　　) 1、答案：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√。 题型02：子集、真子集的确定 【例2】集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合子集的定义，即可求解. 【解答过程】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【例3】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【解答过程】 ，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 【跟踪训练】 1.集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【解题思路】根据子集概念分析即可求解. 【解答过程】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 2.已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【解题思路】根据给定条件，利用列举法表示出集合，进而求出结果. 【解答过程】由，，得， 含有数1的的子集有：，共8个， 同理含有数2、4、8的的子集都各有8个， 所以集合中的所有非空子集的元素之和为. 故选：D. 考点二 集合相等与空集 题型03：集合的相等 【例4】下列集合中表示同一集合的是（       ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．故选：B 【跟踪训练】 1．设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 2．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 3． ，集合A 与 B有什么关系? 【答案】相等 【分析】求出集合，进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 4.下列各组两个集合和表示同一集合的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故； B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故； C选项中因为，则集合，故； D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．故选：C． 题型04：根据集合相等求参数 【例5】已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，若A＝B，则（ab）2021的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【分析】由A＝B，推导出a＝﹣1，b＝1，由此能求出（ab）2021的值． 【解答】解：∵集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，A＝B， ∴， ∴a＝﹣1，b＝1， ∴（ab）2021＝（﹣1）2021＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查代数式的值的求法，考查集合相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在. 【分析】（1）中不可能等于，让另外两个元素分别等于求得检验； （2）让中元素分别等于，求得，然后检验； （3）由，令和分别求得，然后检验是否符合题意． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立. 的值为0或. （2）集合中也有三个元素：0，1，.， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， . 实数的值为. （3）， 若，则，，5，， 若，则，，，， 不存在实数，，使. 题型05：空集的概念、性质及应用 【例6】下列四个集合中，是空集的是（       ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【解析】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B． 【例7】下列关于空集∅的叙述： ①0∈∅；②∅∈{∅}；③∅＝{0}；④满足{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4}的集合A的个数是4个． 正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接根据∅中没有任何中元素，∅是{∅}的元素，且是{0}的真子集即可判断． 【解答】解：∵∅中没有任何中元素， 0∉∅，故①错误； ∅∈{∅}，故②正确； {0}≠∅，故③错误； 满足{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4}的集合A的个数是集合{3，4}的真子集的个数，有22﹣1＝3个，故④错误， 故正确的只有②． 故选：A． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、空间和单元素集合{0}关系等基础知识，是基础题． 【例8】已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____. 【答案】m≥1 【解析】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案为m≥1 【跟踪训练】 1.下列集合是空集的是（       ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集； 对D，因为，所以不存在实数，使得，所以.故选：D 2.下列命题中正确的是（       ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【答案】D 【解析】A选项，空集是其本身的子集，A错； B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错； C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错； D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D. 3.已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C. 4.设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，③{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是　①②③④　（写出所有正确命题对应的序号）． 【分析】根据元素与集合的关系即可判断出①③都正确，根据子集的定义即可判断出②④都正确，从而找出正确的命题序号． 【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}， ∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了元素与集合的关系的判断，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题． 5.已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 考点三 集合与集合间关系的判断与表示 题型06：集合间关系的判断 【名师点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． ②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． ③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 【例9】已知集合，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：D. 【例10】设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，即，而， 所以为的子集，则.故选：A 【跟踪训练】 1．已知，，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由知为集合的子集，集合为集合的所有子集构成的集合，从而确定集合与集合的关系. 【详解】由知为集合的子集， 即可取元素为， 所以是集合的一个元素，即， 故选：A 2.在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（　　） A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B 【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可． 【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}， 又A＝{1﹣2，0，2}， 所以A⊋B． 故选：C． 【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题． 3.设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（　　） A．M＝P B．P∈M C．M⫋P D．P⫋M 【分析】由函数得：P＝{y|y≥1}，M＝R，即P⫋M，得解 【解答】解：因为y＝x2+1≥1， 即P＝{y|y≥1}， M＝{x|y＝x2+1}＝R， 所以P⫋M， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题. 题型07：符号表示两个集合间的关系 【例11】有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（       ） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D 【例12】指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 【跟踪训练】 1.下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（　　） A．② B．①② C．①②③ D．①③④ 【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项． 【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确； 空集是任何非空集合的真子集，∴②正确； 0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误； 1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误； ∴正确的为①②． 故选：B． 【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义． 2，如果集合A＝{x|x∈Z且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A、B的关系是 　． 【分析】由子集的定义可判断B⊆A，再利用元素2即可判断． 【解答】解：∵x∈Z， ∴x2∈Z且x2≥0， ∴x2∈A， ∴B⊆A， 又∵2∈A，2∉B， ∴B⫋A， 故答案为：B⫋A． 【点评】本题考查了集合间关系的判断，属于基础题． 3．指出下列各组中两个集合的包含关系： （1），是8的约数； （2），； 【答案】（1）B；（2）B；（3）DBAC 【分析】（1）由题得,进而判断即可; (2)根据以对任意的，即可判断; (3)根据Venn图判断即可. 【详解】解:（1）8的约数有1，2，4，8，所以，从而有B. （2）因为中的元素都是3的倍数，中的元素都是6的倍数， 所以对任意的，. 因为，所以，从而可得，从而有， 设，则，故，但，所以B. 题型08：Venn图表示两个集合间的关系 【例13】请用文氏图表示下列集合关系： （1），． （2）是平行四边形，是菱形，是四边形，是正方形. 【答案】答案见解析 【知识点】判断两个集合的包含关系、利用Venn图求集合 【分析】根据为的真子集，得到文氏图. 【详解】（1）由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，    （2）画出Venn图如图所示，由图可知DBAC. 【例14】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（　　） A．{2，4，5} B．{1，2，5} C．{1，6} D．{1，3} 【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可． 【解答】解：由图可知B⊆A， 而{1，3}⊆{1，2，3}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键． 【跟踪训练】 1.下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 2.已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得到，即可求解. 【解答过程】， 由图可知, 所以， 故选：D. 题型09：由集合间的关系求参数范围 【名师点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． ②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【例15】设集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，若A⊇B，则m的取值范围是　 　． 【分析】B⊆A，则说明B是A的子集，然后分m≤﹣2和m＞﹣2两种情况求出m的取值范围． 【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x+1≤6}＝{x|﹣2≤x≤5}， 当m﹣1≥2m+1，即m≤﹣2时，B＝∅满足B⊆A． 当m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2时，要使B⊆A成立， 需 ，可得﹣1≤m≤2，即﹣1≤m≤2， 综上，m≤﹣2或﹣1≤m≤2时有B⊆A． 故答案为：{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 【例16】已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2≤0（m∈R）的解集为M． （1）[1，2]⊆M，求实数m的取值范围； （2）当M不为空集，且M⊆[1，4]时，求实数m的取值范围． 【分析】（1）由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定实数m的取值范围即可； （2）由题意分类讨论即可求得实数m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意[1，2]⊆M 可知，令 f（x）＝x2﹣2mx+m+2，则，解得：m≥3． （2）∵M不为空集，且M⊆[1，4]， 当△＞0 时，则，解得：， 当△＝0 时，m＝2也符合题目要求： 综上：． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 【跟踪训练】 1.设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【解题思路】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【解答过程】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 2.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 考点四 子集、真子集的个数问题 题型10：求子集、真子集的个数 【名师点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集． ②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出． ③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 假设集合A中含有n个元素，则有： ①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个． 【例17】集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．7 B．8 C．16 D．4 【答案】A 【解析】，集合含有3个元素，真子集的个数是，故选A. 【例18】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由题意可知，集合为的子集， 则满足条件的集合的个数为.故选：B. 【例19】已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（　　） A．4 B．6 C．16 D．63 【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数． 【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}， P＝{x|x，a∈M，b∈N}， ∴P＝{1，2，4，8}， ∴集合P的子集个数为：24＝16． 故选：C． 【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【例20】已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　） A．4 B．8 C．7 D．16 【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}， B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}， ∴满足A⊆C⊆B的集合C有： {1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}， 共8个． 故选：B． 【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用． 【跟踪训练】 1.已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 【答案】6 【知识点】列举法求集合中元素的个数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 2.已知整数集合，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 【答案】31 【分析】根据集合，利用韦达定理，可求出集合M，进而根据已知中集合A满足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于A，或同不属于A，进而得到满足条件的集合A的个数． 【详解】由， 知的整数解，只能是36的约数， 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 故集合 由集合A满足条件：①；②若，则， 即集合中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不属于集合A，共有5对相反数， 得这样的非空集合共有个. 故答案为：31 题型11：由集合子集、真子集的个数求参数 【例21】已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为（　　） A． B．0 C．或0 D．无解 【分析】由集合子集的性质可知集合A中的元素只有一个，然后分别对a＝0与a≠0讨论即可求解． 【解答】解：由集合子集的性质可知集合A中的元素只有一个， 则当a＝0时，方程﹣3x+2＝0，解得x，满足题意， 当a≠0时，方程ax2﹣3x+2＝0只有一个解， 只需△＝9﹣8a＝0，解得a， 综上，满足题意的实数a的值为0或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程以及集合的子集的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝　 　． 【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a的值． 【解答】解：∵集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，且A的子集个数为2个， ∴（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解， 当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，解得x， 当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根， △＝9+8（a﹣1）＝0，解得a． ∴实数a的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 考点六 综合提升 题型12：集合间关系中的新定义问题 【例22】已知非空集合A，若对于任意x∈A，都有，则称集合A具有“反射性”．则在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为　 　． 【分析】利用列举法能求出在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数． 【解答】解：在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合有： {1，4}，{2}，{1，2，4}， ∴在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【跟踪训练】 1.设集合，若非空集合同时满足：①，②，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为______. 【答案】8 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】①当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为：,, ②当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为： ③当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为： 的所有好子集的个数为8． 故答案为：8． 2.若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数是__． 【答案】 【分析】首先列出满足“伙伴关系集合”的元素有1，-1，“2和”，“3和”，“4和”五种可能，它们自由组合形成的非空集合即为所求结果. 【详解】因为；；；；； 即满足“伙伴关系集合”的元素有1，-1，“2和”，“3和”，“4和”五种可能； 这样所求集合即为这“五种元素”组成集合的非空子集； 所以，满足条件的集合个数为个. 故答案为： 3.若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的新定义先确定集合，而要想取得最大值，则要最小，从而确定，即可求解 【详解】因为， 所以为 又且为互斥集， 所以为， 要想取得最大值， 则要最小，此时， 不妨令，则， 故选：C 题型13：综合提升 【例23】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据B⊆A分或两种情况进行解答即可； （2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围； （2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m的范围． 【详解】（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}， 由B⊆A得或， 即或m+1＞2m﹣1， 解得2≤m≤3或m＜2， 所以实数m的取值范围是； （2）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A⊆B得， 解得3≤m≤4， 所以实数m的取值范围是[3，4]； （3）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}， 由A＝B得，无解， 所以实数． 【例24】已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数． （1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围． （2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围． 【分析】（1）利用△＜0即可求出m的取值范围； （2）函数f（x）＝x2﹣2mx+1，利用二次函数根的分布列出不等式组，解出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵y≤0的解集为空集， ∴△＝（﹣2m）2﹣4＜0， 解得：﹣1＜m＜1， 所以m的取值范围为：（﹣1，1）． （2）设函数f（x）＝x2﹣2mx+1， ∵A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集， ∴，解得：， 所以m的取值范围为：[，+∞）． 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式，考查了集合间的基本关系，以及二次函数根的分布问题，是中档题． 一、填空题 1．（2024高一上·上海长宁·期末）用符号“”“”或“”填空： ． 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由集合间的关系即可求. 【详解】a为集合的其中一个元素，故. 故答案为：. 2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 （用⊆、⊂、＝来表示） 【答案】＝ 【知识点】判断两个集合的包含关系、求二次函数的值域或最值、描述法表示集合 【分析】根据配方法求出一元二次函数的值域，进而判定两集合的关系． 【详解】因为， 且， 所以， 即集合A与集合B之间的关系是＝. 故答案为：＝． 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】解绝对值不等式得到，配方得到，得到，得到答案. 【详解】，解得，又，故， 因为，又，所以， 故答案为：. 4．（2024延安中学高一月考）集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】6 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据已知中M满足条件，列举出所有满足条件的集合M，可得答案 【详解】若集合， 则M可能为： 共6个， 故答案为：6 6．（2022秋•奉贤区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　　． 【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解． 【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，A⊆B， 则a≥3， 故实数a的取值范围是[3，+∞）． 故答案为：[3，+∞）． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则实数m＝ ． 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用集合间的包含关系，对两集合中的元素进行分类讨论即可得出结果. 【详解】根据题意若满足可知或， 解得或或； 经检验时，集合中，不合题意，舍去； 所以可得或. 故答案为：或. 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合. 故答案为： 9．（2022·上海·高一专题练习）下列说法中，正确的有________ （1）空集是任何集合的真子集 （2）若，，则 （3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 （4）若不属于的元素一定不属于，则 【答案】（2）（4） 【分析】根据集合子集、真子集、包含关系可判断（1）（2）（3），画韦恩图可判断（4），进而可得正确答案. 【详解】对于（1）：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）错误； 对于（2）：子集具有传递性，若，，则，故（2）正确； 对于（3）：若一个集合是空集，则它没有真子集，故（3）错误； 对于（4）：任何不属于的元素一定不属于，则由韦恩图可知（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 10．（2021秋·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知集合，，若，则实数______． 【答案】1 【分析】由题得，解出值检验即可. 【详解】由题知,若,则或, 当时,方程无解; 当时,, 解得:, 此时,,符合题意,所以. 故答案为：1. 11．（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）满足的集合的个数为_________ 【答案】7 【分析】根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 【详解】因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 故答案为：7 12．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数组成的集合是___________ 【答案】 【分析】根据集合的子集的个数得到集合中只有一个元素，然后分和两种情况求解即可. 【详解】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 当时，，只有一个解，满足要求； 当时，，解得，所以或0. 故答案为：. 二、选择题 13．（2022•杨浦区校级开学）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∈B D．A⊆B 【分析】根据已知求出集合A，然后根据集合的包含关系即可判断求解． 【解答】解：因为集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}， 所以集合A＝{0，1，2，3，4}，又B＝{0，1，2，3，4，5}， 所以A⊆B， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的包含关系的应用，考查了学生的求解能力，属于基础题． 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列关系式错误的个数为：（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可． 【详解】对①：空集不含任何元素，故①错误； 对②：空集是任何集合的子集，故②正确； 对③：是自然数，故③正确； 对④：，故错误，故④错误； 故错误的个数为． 故选：B． 15．（2024七宝中学高一月考）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 16．（2024复旦附中高一月考）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解题思路】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【解答过程】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 3、 解答题 17．（2024复兴高级中学高一月考）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 【解题思路】根据两个集合中的元素，即可判断. 【解答过程】（1）集合的每个元素都是集合的元素，所以； （2）集合的每个元素都是集合的元素，所以； （3）集合，的元素相同，故. 18．（2024徐汇中学高一月考）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【解答过程】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 19．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 20．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数、空集的性质及应用 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 21．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和. 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、空集的概念以及判断、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围； （2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值． 【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题03 集合之间的关系 知识点一、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； 规定：∅⊆A 对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 【注意】 1、 “集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B； 2、 集合的相等与子集的关系： （1）一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”；（2）由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A；（3）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关。 知识点二、真子集 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注意】 1、 在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A； 2、 对常用的数集，有如下的包含关系：NZQR； 3、 对于集合的包含关系，有结论（1）A⊆A；（2）对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；②如果AB，BC，则AC；（3）理解：∅A（A是非空集合）； 4、【以前与有些书上用得记号：AB或BA】 知识点三、文氏图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种示意图通常称为文氏图（维恩）维恩图； 【注意】表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线； 知识点四、有限集的子集个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集； 集合的子集、真子集个数的规律为：含n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉； 知识点五、由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 （1）注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论； （2）常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 考点一 子集 真子集的概念 题型01：子集、真子集的概念 【名师点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． ②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． ③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 【例1】对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（　　） A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A 【跟踪训练】 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）“∈”“⊆”的意义是一样的；(　　) （2）空集是任何集合的真子集；(　　) （3）若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中；(　　) （4）若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B；(　　) （5）若A＝B，则必有A⊆B；(　　) 题型02：子集、真子集的确定 【例2】集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【例3】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 2.已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 考点二 集合相等与空集 题型03：集合的相等 【例4】下列集合中表示同一集合的是（       ）． A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1．设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 2．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 3． ，集合A 与 B有什么关系? 4.下列各组两个集合和表示同一集合的是（       ） A． B． C． D． 题型04：根据集合相等求参数 【例5】已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{a2，0，﹣1}，B＝{a，b，0}，若A＝B，则（ab）2021的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 2.已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 题型05：空集的概念、性质及应用 【例6】下列四个集合中，是空集的是（       ） A． B．，且 C． D． 【例7】下列关于空集∅的叙述： ①0∈∅；②∅∈{∅}；③∅＝{0}；④满足{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4}的集合A的个数是4个． 正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例8】已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____. 【跟踪训练】 1.下列集合是空集的是（       ） A．或 B． C． D． 2.下列命题中正确的是（       ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 3.已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，③{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是　①②③④　（写出所有正确命题对应的序号）． 5.已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 考点三 集合与集合间关系的判断与表示 题型06：集合间关系的判断 【名师点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． ②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． ③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． 【例9】已知集合，则下列关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【例10】设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知，，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2.在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（　　） A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B 3.设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（　　） A．M＝P B．P∈M C．M⫋P D．P⫋M 题型07：符号表示两个集合间的关系 【例11】有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（       ） A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【例12】指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【跟踪训练】 1.下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（　　） A．② B．①② C．①②③ D．①③④ 2，如果集合A＝{x|x∈Z且x≥0}，B＝{y|y＝x2，x∈Z}，则集合A、B的关系是 　． 3．指出下列各组中两个集合的包含关系： （1），是8的约数； （2），； 题型08：Venn图表示两个集合间的关系 【例13】请用文氏图表示下列集合关系： （1），． （2）是平行四边形，是菱形，是四边形，是正方形. 【例14】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（　　） A．{2，4，5} B．{1，2，5} C．{1，6} D．{1，3} 【跟踪训练】 1.下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   2.已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型09：由集合间的关系求参数范围 【名师点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． ②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【例15】设集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，若A⊇B，则m的取值范围是　 　． 【例16】已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2≤0（m∈R）的解集为M． （1）[1，2]⊆M，求实数m的取值范围； （2）当M不为空集，且M⊆[1，4]时，求实数m的取值范围． 【跟踪训练】 1.设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 2.已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 考点四 子集、真子集的个数问题 题型10：求子集、真子集的个数 【名师点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集． ②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出． ③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 假设集合A中含有n个元素，则有： ①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个． 【例17】集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　) A．7 B．8 C．16 D．4 【例18】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（       ） A． B． C． D． 【例19】已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（　　） A．4 B．6 C．16 D．63 【例20】已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　） A．4 B．8 C．7 D．16 【跟踪训练】 1.已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 2.已知整数集合，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 题型11：由集合子集、真子集的个数求参数 【例21】已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为（　　） A． B．0 C．或0 D．无解 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝　 　． 考点五 综合提升 题型12：集合间关系中的新定义问题 【例22】已知非空集合A，若对于任意x∈A，都有，则称集合A具有“反射性”．则在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为　 　． 【跟踪训练】 1.设集合，若非空集合同时满足：①，②，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为______. 2.若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数是__． 3.若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型13：综合提升 【例23】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}． (1)若B⊆A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求实数m的取值范围． 【例24】已知y＝x2﹣2mx+1，m为常数． （1）若y≤0的解集为空集，求m的取值范围． （2）若A＝{x|1≤x≤2}是B＝{x|x2﹣2mx+1≤0}的子集，求m的取值范围． 一、填空题 1．（2024高一上·上海长宁·期末）用符号“”“”或“”填空： ． 2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 （用⊆、⊂、＝来表示） 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 4．（2024延安中学高一月考）集合的所有真子集为 ． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，则满足条件的集合的个数是 . 6．（2022秋•奉贤区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　　． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则实数m＝ ． 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 9．（2022·上海·高一专题练习）下列说法中，正确的有________ （1）空集是任何集合的真子集 （2）若，，则 （3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 （4）若不属于的元素一定不属于，则 10．（2021秋·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知集合，，若，则实数______． 11．（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）满足的集合的个数为_________ 12．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）已知集合有且仅有两个子集，则满足条件的实数组成的集合是___________ 二、选择题 13．（2022•杨浦区校级开学）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则A，B间的关系为（　　） A．A＝B B．B⊆A C．A∈B D．A⊆B 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列关系式错误的个数为：（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024七宝中学高一月考）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 16．（2024复旦附中高一月考）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3、 解答题 17．（2024复兴高级中学高一月考）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 18．（2024徐汇中学高一月考）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 20．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 21．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$