事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 课件-2026届高三数学一轮复习

事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 课 标 解 读 1.了解两个随机事件独立性的含义,能利用独立性计算概率. 2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. 3.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率. 4.会利用全概率公式计算概率. 知识梳理 1.事件的相互独立性 事件A与事件B相互独立 P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立,则A与与B,也都相互独立 [教材知识深化] 1.必然事件Ω,不可能事件⌀都与任意事件相互独立. 2.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立. 3.事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B). 4.若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2.条件概率 条件概率 的定义 当P(A)=0时,我们不定义条件概率 设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=　　　　为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率  条件概率 的性质 设P(A)>0, 则(1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　　　　　　　;  (3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A) P(B|A)+P(C|A) 微思考　P(B|A)与P(A|B)表示的意思相同吗? 提示 不同.P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率; 而P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率. 另外从计算公式上看,P(B|A)=,P(A|B)= 3.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且 P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有　　　　　 　　　.我们称这个公式为全概率公式. 指的是对目标事件B有贡献的全部原因  P(B)=P(Ai)P(B|Ai) 自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)相互独立事件是互斥事件.(　　) (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　　) (3)抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第2枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立.(　　) (4)若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).(　　) × × √ √ 2.(人教A版选择性必修第三册7.1.2节例4改编)某社区有智能餐厅A、人工餐厅B,居民甲第1天随机地选择一餐厅用餐,如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.7;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.居民甲第2天去A餐厅用餐的概率为(　　) A.0.75 B.0.7 C.0.56 D.0.38 A 解析 设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥, 根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.8, 则P(A2)=P(A1)·P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75. 3.(人教B版选择性必修第二册4.1.1节练习A第4题改编)已知一种节能灯使用寿命超过10 000 h的概率为0.95,而使用寿命超过12 000 h的概率为0.9.则已经使用了10 000 h的这种节能灯,使用寿命能超过12 000 h的概率为 　　　　　. 　 解析 由题意,设该节能灯使用寿命超过10 000 h为事件A, 则事件A的概率为P(A)=0.95, 设该节能灯使用寿命超过12 000 h为事件B, 则事件B的概率为P(B)=0.9,则P(AB)=0.9. 又由条件概率的计算公式可得P(B|A)= 二、连线高考 4.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 B 解析 由已知得P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=, P(甲丙)=0,P(甲丁)=,P(乙丙)=,P(丙丁)=0. 由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=, 根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B. 5.(2020·天津,13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是 否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　　. 　 解析 两球都落入p1=, A=“两球至少一个落入盒子”对立事件为=“两球都未落入”, P()=,则P(A)=1-P()= 考点一　相互独立事件的概率 例1(2024·江苏淮安模拟)象棋作为中华民族的传统文化瑰宝,是一项集科学竞技、文化于一体的智力运动,可以帮助培养思维能力、判断能力和决策能力.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛,参与比赛的40名同学分为10组,每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表. 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 规定:每场比赛获胜的同学得3分,输的同学不得分,平局的2名同学均得1分,三轮比赛结束后以总分排名,每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况,则以抽签的方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面),且抽签时每人胜利的概率均为,假设甲、乙、丙3名同学水平相当,彼此间胜、负、平的概率均为,丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率; (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平,且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局,求甲同学能获得奖励的概率. 解 (1)丁同学总分为5分,则丁同学三轮比赛结果为一胜两平, 设Ak=“第k(k=1,2,3)轮比赛丁同学胜”,Bk=“第k(k=1,2,3)轮比赛丁同学平”, M=“丁同学三轮比赛结果为一胜两平”, 则P(M)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=3×()2, 即丁同学的总分为5分的概率为 (2)由于丁同学获得两胜一平,且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局,则在第二、三轮比赛中,丁同学对战乙、甲同学均获胜,故丁同学的总分为7分,且同丁同学比赛后,甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分,若甲同学获得奖励,则甲最终排名为第二名. ①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜,则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何,甲同学的总分为6分,排第二名,可以获得奖励,此时的概率为 ②若第一轮比赛中甲同学获胜,第二轮比赛中甲、丙2名同学平局,第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜,甲同学的总分为4分,排第二名,可以获得奖励,此时的概率为()= ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局,第二轮比赛中甲同学获胜,第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时,甲同学的总分为4分,排第二名,可以获得奖励,此时的概率为; 第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时,甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分,需要进行抽签来确定排名,当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名,可以获得奖励,此时的概率为(1-) 综上,甲同学能获得奖励的概率为 [对点训练1](2020·全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 解 (1)甲连胜四场的概率为 (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为; 乙连胜四场的概率为; 丙上场后连胜三场的概率为 所以需要进行第五场比赛的概率为1- (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 因此丙最终获胜的概率为 考点二　条件概率 例2 某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛,已知甲同学被选出,则乙同学也被选出的概率为(　　) A. B. C. D. A 解析 (方法一　缩样法)根据题意可知,相当于求从除甲以外的5人中选3人的概率,所以P= (方法二　基本事件法)设“甲同学被选出”记为事件A,“乙同学被选出”记为事件B,则n(AB)==6,n(A)==10,所以P(B|A)= (方法三　定义法)设“甲同学被选出”记为事件A, “乙同学被选出”记为事件B, 则P(AB)=,P(A)= 所以P(B|A)= 规律方法 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A) 样本 点法 借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点个数n(A),再求事件AB包含的样本点个数n(AB),得P(B|A)= 缩样法 缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简 [对点训练2](2023·全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰, 50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 (　　) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 A 解析 由题意可知,既爱好滑冰又爱好滑雪的同学占60%+50%-70%=40%.设事件A为“该同学爱好滑雪”,事件B为“该同学爱好滑冰”,则所求概率为P(B|A)==0.8.故选A. 考点三　全概率公式 例3(1)(2024·云南昆明三模)在定点投篮练习中,小明第一次投篮命中的概率为,第二次投篮命中的概率为,若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p,在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是p,则p=(　　) A. B. C. D. B 解析 设事件A=“小明第一次投篮命中”,事件B=“小明第二次投篮命中”, 则P(A)=,P(B)=,P(B|A)=p,P(B|)=p, 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=p+(1-)p=,解得p= (2)(2024·上海,8)小王参加知识竞赛,题库中A组题有5 000道,B组题有4 000道,C组题有3 000道.已知小王做对这3组题的概率依次是0.92,0.86,0.72,则 随机从题库中抽取一道题,小王做对的概率是　　　　　. 　 解析 由题意可知,A组题占比为,B组题占比为,C组题占比为, 设所求概率为P,则P=0.92+0.86+0.72= [对点训练3](2024·山东临沂一模)长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中,大约有的学生每天玩手机超过1 h,这些学生的近视率约为,其余学生的近视率约为,现从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是(　　) A. B. C. D. C 解析 设事件A=“任意调查一名学生,每天玩手机超过1 h”,B=“任意调查一名学生,该学生近视”,则P(A)=,P(B|A)=,所以P()=1-P(A)=,P(B|)=, 则P(B)=P(A)P(B|A)+P(B|)P()= E(Y)<E(X)=E(Z),即种植甲、丙的获利的期望值比乙更高,不考虑推广乙, 又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4, D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3, D(X)>D(Z),故种植丙时获利的稳定性更好,因此,农作物丙最适合在该地区推广种植. $$