精品解析：陕西省西安市高陵区第四中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试题

八年级阶段诊断 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项中，不是不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线（，且k，b是常数）与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是等边三角形，D是边上的一点，于点E．若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 4．8 8. 如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. “y的2倍与8的和不小于”用不等式表示为______． 10. 如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为______． 11. 如图，这是某个表示在数轴（不完整）上的关于x的一元一次不等式的解集．若是该不等式的一个解，则m的取值范围是______． 12. 如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，则的长为________． 13. 如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 15. 如图，在中，于点，，，求证：． 16. 解不等式组： 17. 如图，在中，请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不要求写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 19. 某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 20. 如图，将沿着射线的方向平移到的位置．已知，，阴影部分的面积为． （1）梯形的面积为______． （2）求的长． 21. 如图，在中，，，现将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，求的值． 22. 如图，地面有个倒扣的簸箕，经测量，得知，，，，嘉嘉将簸箕按如图所示的方式旋转后扶起，最后平放在地面上． （1）求的长． （2）①由图可知，旋转中心为点______． ②求的大小． 23. 如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． （1）求的度数． （2）若与的周长分别为和，求的长． 24. 为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 25. 已知关于的不等式组 （1）若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由． （2）若该不等式组有解，求的取值范围． （3）若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段诊断 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项中，不是不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查不等式的定义，根据不等式的定义：用不等号（如、、、、）连接的式子是不等式，判断各选项是否含有不等号． 【分析】解：A：，含不等号，是不等式． B：，仅为多项式，不含任何不等号，不是不等式． C：，含不等号，是不等式． D：，含不等号，是不等式． 故选：B 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕着某个点旋转后能够与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它不是中心对称图形； D、它是中心对称图形． 故选：D 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 4. 若，则下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式基本性质．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解：A、∵，∴．故本选项的式子正确； B、∵，∴．故本选项的式子正确； C、∵，∴．故本选项的式子错误； D、∵，∴．故本选项的式子正确． 故选：C 5. 用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时， 第一步应假设：， 故选：D 6. 如图，直线（，且k，b是常数）与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键． 由题意知，不等式的解集为一次函数图象在x轴上方部分所对应的x的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由图象可得，不等式的解集为． 故选：A． 7. 如图，是等边三角形，D是边上的一点，于点E．若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 4．8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，由等边三角形的性质得到，进而得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 故选：B 8. 如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ，， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9. “y的2倍与8的和不小于”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】由“y的2倍与8的和不小于”，可得． 【详解】解：∵“y的2倍与8的和不小于”， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列不等式，解题的关键在于理解“不小于”的含义，从而正确地列不等式． 10. 如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 11. 如图，这是某个表示在数轴（不完整）上的关于x的一元一次不等式的解集．若是该不等式的一个解，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法． 由数轴可得不等式的解集为，再结合是该不等式的一个解，计算即可． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移以及平行四边形的判定与性质，证明出四边形是平行四边形是解决本题的关键 ． 由图形平移可得，，且，由此可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，再由即可求解 ． 【详解】解：因为直角沿边的方向平移到的位置， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为由平移可得， 且， 所以， 即，解得， 所以， 则的长为4． 故答案为：4 ． 13. 如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去括号，， 移项，， 解得：． 15. 如图，在中，于点，，，求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，直接利用可证明． 【详解】略 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，在中，请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点D即为所求． 证明：连接， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点D即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18. 如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为．已知，，，，求证：． 【答案】 证明：， ， ，， ， ，，，， ， 是直角三角形，且为直角， ． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得出结论． 【详解】略 19. 某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 【答案】 解：是等腰三角形，理由如下， ， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 根据得出，，再根据平分线得出，等量代换得出即可证明． 【详解】略 20. 如图，将沿着射线的方向平移到的位置．已知，，阴影部分的面积为． （1）梯形的面积为______． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得，即得； （2）求出，即可求出，根据平移的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：将沿着射线的方向平移到的位置， ， ， 即梯形的面积阴影部分的面积； 故答案为：； 【小问2详解】 ，， ∴由平移可得， ， ， 解得：， ． 21. 如图，在中，，，现将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理． 由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，地面有个倒扣的簸箕，经测量，得知，，，，嘉嘉将簸箕按如图所示的方式旋转后扶起，最后平放在地面上． （1）求的长． （2）①由图可知，旋转中心为点______． ②求的大小． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由含度角的直角三角形的性质可得，，即可求解； （2）由旋转的性质可直接求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， 由旋转的性质可得：， ； 【小问2详解】 ①由题意可得旋转中心为点， 故答案为：； ②，， ， 由旋转的性质可得：． 23. 如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． （1）求的度数． （2）若与的周长分别为和，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 24. 为培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读兴趣和能力，陕西某中学把一批图书分给八年级（1）班的学生阅读．如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本）．问八年级（1）班最多有多少名学生． 【答案】八年级（1）班最多有名学生 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设八年级（1）班有名学生，则这批图书有本，根据如果每人分本，还剩本；如果前面每人分本，那么最后一名学生得到的图书少于本（但至少分得本），列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设八年级（1）班有名学生，则这批图书有本， 由题意得： 解得：4， ∴八年级（1）班最少有名学生，最多有名学生， 答：八年级（1）班最多有名学生． 25. 已知关于的不等式组 （1）若，请判断是不是该不等式组的解，并说明理由． （2）若该不等式组有解，求的取值范围． （3）若该不等式组所有整数解的和为，求的取值范围． 【答案】（1） 解：若，则 解不等式组得， 不是该不等式组的解； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）求得不等式组的解集即可判断； （2）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可； （3）求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解和为，探讨得出的取值范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解不等式得，， 该不等式组有解， ， ； 【小问3详解】 若该不等式组所有整数解的和为，则整数解为、或、、、、， 或， 解得或． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $