24.2.1 点和圆的位置关系 课件-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第1课时 点和圆的位置关系 1 课堂讲解 点与圆的位置关系 确定圆的条件 三角形的外接圆 反证法 2 课时流程 逐点 导讲练 课堂小结 课后作业 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 1 知识点 点与圆的位置关系 探究： 1. 请你在练习本上画一个圆，然后任意做一些点，观察这些点和圆的位置关系. 2. 量一量这些点到圆心的距离，你发现了什么？ O B A C 点A在圆内； 点B在圆上； 点C在圆外 问题２：设⊙O半径为r , 说出来点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系： 问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ OA<r OB =r OC >r 探究发现 O A B C r 探究发现 问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？ 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有： 点P在圆内 d ＜ r ； 点P在圆外 d ＞ r . 点P在圆上 d = r ； A P P P O 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？ 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好. 2. 已知圆的半径等于5厘米，点到圆心的距离是: A、8厘米 B、4厘米 C、5厘米 请你分别说出点与圆的位置关系. 随堂演练 1. ⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与圆O的位置关系为(　　) A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 B 分析：要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求出相关点到圆心的距离． 例1 已知⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4cm，QD＝5cm，RD＝3cm， 那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？ 典例分析 总 结 判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅助方法． 2 知识点 确定圆的条件 过一个已知点A如何作圆？ 过点A所作圆的圆心在哪里？半径多大？ 可以作几个这样的圆？ A 探 究（一） 过已知两点A、B如何作圆？ 圆心与A、B两点的距离怎样？能用式子表示吗？ 圆心在哪里？过点A、B两点的圆有几个？ 探 究（二） A B 探 究（三） 过同一平面内三个点情况会怎样呢？ 1.不在同一直线上的三点A、B、C. 定理：过不在同一直线上的三点确定一个圆. 2.过在同一直线上的三点A、B、C 可以作几个圆？ 不能作出 例2 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外， 过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 C 分析：在4个点中取3个点确定一个圆，关键是 这3个点要不在同一直线上，因此本题的实质是在A，B，C 中找2个点与点D 确定圆．根据题意得出：点D，A，B；点D，A，C；点D，B，C 可以分别确定一个圆．故过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是3.故选C. 总 结 确定一个圆的条件： (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆． (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 3 知识点 三角形的外接圆 试一试： 任意画一个三角形，然后再画出经过三个顶点的圆. A B C O 　 经过三角形的三个顶点可以作一个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． 分析：要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需要以AB为边与⊙O的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有两个切入点． 方法一：如图1，连接OA，OB，利用圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用勾股定理求出半径； 方法二：如图2，作直径AD，连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，得∠D＝∠C＝45°，再利用勾股定理可求出半径． 例3 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径． 图 1 解：方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r， ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°. ∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42. 解得r1＝ ，r2＝－ (不符合题意，舍去)． ∴⊙O的半径为 . 图 2 方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径为r. ∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°. 又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°， ∴BD＝AB＝4. 在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2， 即42＋42＝(2r)2， 解得r1＝ ，r2＝－ (不符合题意，舍去)． ∴⊙O的半径为 . 总 结 求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长． 1.课堂作业: 完成教材P95 练习1 P101第1、7题 2.家庭作业: 完成《基础训练》P108-110对应习题 $$