24.2.1点和圆的位置关系课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.2.1 点与圆的位置关系 人教版·初中数学·九年级上册·第二十四章 学 习 目 标 1.理解并掌握点和圆的三种位置关系. 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 4.了解反证法的证明思想. 重点 掌握点和圆的三种位置关系并应用 学习准备 阅读教材P92-P95.思考下列问题： (1)由生活例子归纳,在同一平面内,点与圆有哪些围着关系,点与圆的位置关系怎样用数量体现? (2)经过平面内一点怎样作圆,能作多少个?经过平面内两点呢,他们的圆心如何确定?经过平面内三点呢,你得到什么结论? (3)谈谈三角形的外接圆与圆的内接三角形之间的关系?并思考三角形外接圆圆心在何处,如何确定一个圆的圆心? (4)什么是反证法,怎么应用反证法证明数学命题? 新知探究 活动1:探索点与圆的位置关系 通过阅读P92内容,由生活例子归纳,在同一平面内,点与圆有哪些围着关系,点与圆的位置关系怎样用数量体现? 归纳小结 点与圆的位置关系总结 (1)确定点与圆的位置关系 (2)点到圆心距离d(OP)与半径r数量关系 点P在圆内 点P在圆外 点P在圆上 d<r d=r d>r 现学现用 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 . 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 圆内 圆上 圆外 D 典例解析 例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标. 变式应用 新知探究 活动2:过不共线三点作圆 问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ 问题2：如何过两点A、B作一个圆（关键如何确定圆心）？过两点可以作多少个圆？ 问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆（关键如何确定圆心）？ 归纳小结 1.以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆. 2.作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆. 3.经过不在同一条直线A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.因此有且仅有一个圆 定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 有且仅有一个 位置关系 应用1.已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作： ⊙O使它经过点A、B、C. 新知应用 变式1:某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？ 作法： 1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2、连接BC，作线段BC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作圆。 ∴⊙O就是所求作的圆. 思考:(1)为什么以O为圆心，OB为半径作圆就过点A,B,C? (2)点O在AC的垂直平分线上吗? 应用二:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 新知应用 方法: 1、在圆弧上任取三点A、B、C; 2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心; 3、以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. 变式2:如图是一个圆心被隐藏 的圆,你能帮助找到他的圆心吗? 新知探究 活动3:三角形与圆的关系 通过以上的活动探究发现过不在同一条支线上的三点可以作圆,说明圆与三角形存在对应关系. 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 新知探究 归纳: 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. 例2：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 精例解析 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； (2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中，∠DOA＝90°，∠DAO＝30° ∴OA＝ OD ＝ ,AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度． 例3 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 精例解析 变式 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°， AB＝4，求⊙O的半径． 活动4:探究反证法 思考:通过以上的活动探究发现过不在同一条支线上的三点可以作圆,哪过在同一条支线上的三点能作一个圆吗? 新知探究 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法． 假设命题的结论不成立 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 精例解析 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 三角形的内角和为180度 ∠A+∠B+∠C>180° △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 拓展提升 拓展提升 拓展1： 拓展2： 拓展提升 拓展3： 课堂小结 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$