2.2.1有理数的乘法 导学案-2024-2025学年人教版七年级数学上册

本文围绕“有理数的乘法”展开，从生活实例引入，引导学生自主探究、合作交流得出乘法法则及倒数概念，承接有理数加减法，为后续有理数混合运算奠基，培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（运算能力）和数学语言（应用意识），通过观察算式找规律等环节渗透核心素养。 该设计亮点在于以生活情境激发兴趣，采用自主探究与合作交流相结合的教法。从学生层面看，提升其分析归纳能力；从教师层面看，提供清晰授课流程；从课堂效果看，有效突破“同号得正，异号得负”这一教学难点。

《有理数的乘法》新授课导学案（学生版） 一、学习目标 1. 理解有理数乘法法则，感受法则的合理性。 2. 能够熟练运用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算。 3. 理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数 。 4. 运用有理数乘法解决简单的实际问题。 二、学习重难点 1. 重点 有理数乘法法则的理解和运用。 求一个有理数的倒数。 2. 难点 有理数乘法法则中，对“同号得正，异号得负”的理解和运用。 三、学习过程 （一）情境引入 同学们，我们一起来看一个生活中的例子。某水库的水位变化情况，如果水位每天上升3厘米，记为 + 3厘米，那么4天后水位的变化量该如何表示呢？可以用加法表示为( + 3)+( + 3)+( + 3)+( + 3) ，那还可以用什么运算来表示呢？对，乘法，即( + 3)×4 。 那如果水位每天下降3厘米，记为-3厘米，4天后水位的变化量又该怎么表示呢？用加法是( - 3)+( - 3)+( - 3)+( - 3) ，用乘法就是( - 3)×4 。这里出现了负数与正数相乘的情况，那结果是多少呢？这就是我们今天要一起探究的有理数的乘法。 （二）自主探究 1. 观察下面的乘法算式，思考问题： 3×3 = 9 3×2 = 6 3×1 = 3 3×0 = 0 （1）这些算式有什么共同点和不同点？ （2）随着后一个乘数逐次递减1，积是怎样变化的？ （3）按照这样的规律，你能写出3×( - 1) ，3×( - 2) ，3×( - 3)的结果吗？ 2. 再观察另一组算式： 3×3 = 9 2×3 = 6 1×3 = 3 0×3 = 0 （1）这组算式又有什么特点？ （2）随着前一个乘数逐次递减1，积有什么变化规律？ （3）继续按照规律，写出( - 1)×3 ，( - 2)×3 ，( - 3)×3的结果。 3. 思考：从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，你能发现有理数乘法的规律吗？ （三）合作交流 1. 小组内交流自主探究中的发现，讨论有理数乘法的规律。 2. 尝试总结有理数乘法法则： 两数相乘，同号得____，异号得____，并把____相乘。 任何数与0相乘，都得____。 3. 思考：如何确定两个有理数相乘的积的符号和绝对值呢？小组讨论并举例说明。 （四）例题讲解 例1 计算： （1）( - 5)×( - 3) （2）( - 7)×4 （3）0×( - 6) （4）4×( - 2) 计算步骤提示： 1. 先确定积的符号，根据有理数乘法法则，同号得正，异号得负。 2. 再计算积的绝对值，把两个乘数的绝对值相乘。 （五）对应训练 1. 计算： （1）6×( - 9) （2）( - 4)×6 （3）( - 6)×( - 1) （4）( - 6)×0 （5）×（--） （6）(-)× 2. 商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？ （六）知识拓展 1. 乘积是1的两个数互为倒数。例如，2与互为倒数，-与-互为倒数。 思考： （1）0有倒数吗？为什么？ （2）正数的倒数是什么数？负数的倒数是什么数？ 2. 求下列各数的倒数： （1）- 10 （2） （3）- 0.25 （4）1 （七）课堂小结 1. 有理数乘法法则是什么？ 2. 如何确定两个有理数相乘的积的符号和绝对值？ 3. 什么是倒数？如何求一个有理数的倒数？ （八）课后作业 1. 计算： （1）( - 15)×( - 3) （2）9×(-) （3）( - 0.6)×( - 5) （4）8×( - 1.25) 2. 写出下列各数的倒数： （1）- 18 （2） （3）- 1.5 （4）2 3. 已知∣a∣ = 5 ，∣b∣ = 2 ，且a与b异号，求ab的值。 4. 某冷冻厂的一个冷库的室温是-2℃，现有一批食品需要在-28℃冷藏，如果每小时能降温4℃ ，问几小时后能降到所要求的温度？ 《有理数的乘法》新授课导学案（教师版） 一、学习目标 1. 理解有理数乘法法则，感受法则的合理性。 2. 能够熟练运用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算。 3. 理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数 。 4. 运用有理数乘法解决简单的实际问题。 二、学习重难点 1. 重点 有理数乘法法则的理解和运用。 求一个有理数的倒数。 2. 难点 有理数乘法法则中，对“同号得正，异号得负”的理解和运用。 三、学习过程 （一）情境引入 同学们，我们一起来看一个生活中的例子。某水库的水位变化情况，如果水位每天上升3厘米，记为 + 3厘米，那么4天后水位的变化量该如何表示呢？可以用加法表示为( + 3)+( + 3)+( + 3)+( + 3) ，那还可以用什么运算来表示呢？对，乘法，即( + 3)×4 。 那如果水位每天下降3厘米，记为-3厘米，4天后水位的变化量又该怎么表示呢？用加法是( - 3)+( - 3)+( - 3)+( - 3) ，用乘法就是( - 3)×4 。这里出现了负数与正数相乘的情况，那结果是多少呢？这就是我们今天要一起探究的有理数的乘法。 设计意图：从生活实际问题出发，引出有理数乘法的概念，激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会数学与生活的紧密联系。 （二）自主探究 1. 观察下面的乘法算式，思考问题： 3×3 = 9 3×2 = 6 3×1 = 3 3×0 = 0 （1）这些算式有什么共同点和不同点？ 参考答案：共同点是都有一个乘数是3；不同点是另一个乘数依次递减1，积也随着有规律地变化。 （2）随着后一个乘数逐次递减1，积是怎样变化的？ 参考答案：积逐次递减3 。 （3）按照这样的规律，你能写出3×( - 1) ，3×( - 2) ，3×( - 3)的结果吗？ 参考答案：根据规律，3×( - 1)= - 3 ，3×( - 2)= - 6 ，3×( - 3)= - 9 。因为后一个乘数比0小1时积是-3 ，小2时积是-6 ，小3时积是-9 。 2. 再观察另一组算式： 3×3 = 9 2×3 = 6 1×3 = 3 0×3 = 0 （1）这组算式又有什么特点？ 参考答案：特点是都有一个乘数是3，另一个乘数依次递减1 。 （2）随着前一个乘数逐次递减1，积有什么变化规律？ 参考答案：积逐次递减3 。 （3）继续按照规律，写出( - 1)×3 ，( - 2)×3 ，( - 3)×3的结果。 参考答案：( - 1)×3 = - 3 ，( - 2)×3 = - 6 ，( - 3)×3 = - 9 。规律和前面类似，前一个乘数比0小1、2、3时，积分别是-3、-6、-9 。 3. 思考：从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，你能发现有理数乘法的规律吗？ 参考答案：从符号角度看，正数乘正数积为正数，正数乘负数积为负数，负数乘正数积也为负数；从绝对值角度看，积的绝对值等于乘数绝对值的积。 （三）合作交流 1. 小组内交流自主探究中的发现，讨论有理数乘法的规律。 2. 尝试总结有理数乘法法则： 两数相乘，同号得____，异号得____，并把____相乘。 任何数与0相乘，都得____。 参考答案：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0 。 3. 思考：如何确定两个有理数相乘的积的符号和绝对值呢？小组讨论并举例说明。 参考答案：确定积的符号根据“同号得正，异号得负” ，比如( - 3)×( - 5) ，两个数都是负数，同号，所以积的符号是正；3×( - 5) ，一个正数一个负数，异号，积的符号是负。确定积的绝对值就是把两个乘数的绝对值相乘，如∣ - 3∣×∣ - 5∣ = 3×5 = 15 ，∣3∣×∣ - 5∣ = 3×5 = 15 。 （四）例题讲解 例1 计算： （1）( - 5)×( - 3) （2）( - 7)×4 （3）0×( - 6) （4）4×( - 2) 计算步骤提示： 1. 先确定积的符号，根据有理数乘法法则，同号得正，异号得负。 2. 再计算积的绝对值，把两个乘数的绝对值相乘。 参考答案： （1）( - 5)×( - 3) ，两个数同号，积的符号为正，∣ - 5∣×∣ - 3∣ = 5×3 = 15 ，所以结果是15 。 （2）( - 7)×4 ，两个数异号，积的符号为负，∣ - 7∣×∣4∣ = 7×4 = 28 ，所以结果是-28 。 （3）0×( - 6)=0 ，因为任何数与0相乘都得0 。 （4）4×( - 2) ，两个数异号，积的符号为负，∣4∣×∣ - 2∣ = 4×2 = 8 ，所以结果是-8 。 （五）对应训练 1. 计算： （1）6×( - 9) （2）( - 4)×6 （3）( - 6)×( - 1) （4）( - 6)×0 （5）×（--） （6）(- )× 参考答案： （1）6×( - 9) ，异号得负，∣6∣×∣ - 9∣ = 6×9 = 54 ，结果为-54 。 （2）( - 4)×6 ，异号得负，∣ - 4∣×∣6∣ = 4×6 = 24 ，结果为-24 。 （3）( - 6)×( - 1) ，同号得正，∣ - 6∣×∣ - 1∣ = 6×1 = 6 ，结果为6 。 （4）( - 6)×0 = 0 。 （5）×（--） ，异号得负，∣∣×∣ --∣=×= ，结果为- 。 （6）( - )× ，异号得负，∣- ∣×∣∣=×= ，结果为- 。 2. 商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？ 参考答案：每件降5元，记为-5元，售出60件，可列式为( - 5)×60 。异号得负，∣ - 5∣×∣60∣ = 5×60 = 300 ，所以销售额减少了300元。 （六）知识拓展 1. 乘积是1的两个数互为倒数。例如，2与互为倒数，-与-互为倒数 思考： （1）0有倒数吗？为什么？ 参考答案：0没有倒数。因为0乘任何数都得0，不可能等于1 。 （2）正数的倒数是什么数？负数的倒数是什么数？ 参考答案：正数的倒数是正数，因为正数乘正数才得正数1；负数的倒数是负数， 两个负数相乘才得正数1，例如 -2的倒数是- 。 2. 求下列各数的倒数： （1）- 10 （2） （3）- 0.25 （4）1 参考答案： （1）因为-10×（- ）= 1，所以 -10的倒数是- 。 （2）由于×=1，所以的倒数是。 （3）-0.25即- ，因为- ×(-4)=1，所以 -0.25的倒数是 -4。 （4）1=，因为×=1，所以1的倒数是。 设计意图：通过对倒数概念的探究和计算，加深学生对有理数乘法运算的理解，同时培养学生对数学概念的拓展和应用能力。 （七）课堂小结 1. 有理数乘法法则是什么？ 参考答案：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2. 如何确定两个有理数相乘的积的符号和绝对值？ 参考答案：根据“同号得正，异号得负”确定积的符号；把两个乘数的绝对值相乘得到积的绝对值。 3. 什么是倒数？如何求一个有理数的倒数？ 参考答案：乘积是1的两个数互为倒数。求一个非零整数的倒数，直接写成这个数分之一；求分数的倒数，将分子分母交换位置；求小数的倒数，先把小数化为分数，再求其倒数 。 设计意图：引导学生自主梳理本节课知识，形成完整的知识体系，强化重点内容，帮助学生巩固所学知识，同时培养学生的总结归纳能力。 （八）课后作业 1. 计算： （1）( - 15)×( - 3) （2）9×(-) （3）( - 0.6)×( - 5) （4）8×( - 1.25) 参考答案： （1）两数同号，积为正，∣ - 15∣×∣ - 3∣ = 15×3 = 45，结果是45。 （2）两数异号，积为负，∣9∣×∣-∣ = 9×=3，结果是 -3。 （3）两数同号，积为正，∣ - 0.6∣×∣ - 5∣ = 0.6×5 = 3，结果是3。 （4）两数异号，积为负，∣8∣×∣ - 1.25∣ = 8×1.25 = 10，结果是 -10。 2. 写出下列各数的倒数： （1）- 18 （2） （3）- 1.5 （4）2 参考答案： （1）因为-18×(- ) = 1，所以 -18的倒数是- 。 （2）由于×=1，所以的倒数是。 （3）-1.5即- ，因为- ×(- ) = 1，所以 -1.5的倒数是- 。 （4）2=，因为×=1，所以2的倒数是。 3. 已知∣ a∣ = 5 ，∣ b∣ = 2 ，且a与b异号，求ab的值。 参考答案： 因为∣ a∣ = 5，所以a = ±5；因为∣ b∣ = 2，所以b = ±2。 又因为a与b异号，当a = 5时，b = - 2，ab = 5×(-2)= - 10；当a = - 5时，b = 2，ab = (-5)×2 = - 10。所以ab的值为 -10。 4. 某冷冻厂的一个冷库的室温是-2℃，现有一批食品需要在-28℃冷藏，如果每小时能降温4℃ ，问几小时后能降到所要求的温度？ 参考答案： 首先计算需要降低的温度：- 2 - (-28)= - 2 + 28 = 26℃。 每小时降温4℃，则降到所需温度的时间为26÷4 = 6.5（小时）。 设计意图：通过课后作业，进一步巩固学生对有理数乘法运算、倒数概念的掌握，提高学生运用所学知识解决实际问题和综合计算的能力，同时便于教师了解学生的学习情况，进行针对性的辅导 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$