5.2 等比数列（精练）（题组版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

5.2 等比数列（精练题组版） 题组一 等比数列基本量的计算 1．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（2025·河南开封·二模）已知是等比数列的前项和，且，，则公比（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 6．（2025·湖南岳阳·三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 题组二 等比数列的证明或判断 1．（2025广东广州·期末）（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 2．（2024·贵州黔南·一模）（多选）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，，则 C．数列为等比数列 D．若，则数列的公比为2 3．（2024·浙江宁波·一模）（多选）已知数列，都是正项等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 4．（24-25高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知等比数列中，满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列 5．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 6（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式以及； 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记，求证：是等比数列； 10．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足，，记，写出，，并证明数列为等比数列； 12．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且，证明：为等比数列，并求数列的通项公式； 13（2024·山西临汾·一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 题组三 等比中项 1．（2025·河南·一模）若成等比数列，则（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 2．（2025·广西桂林·一模）已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（2025·四川）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025四川）在等比数列中， 是方程的根，则 A． B．2 C．1 D． 6．（23-24 湖南）各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．9 B．10 C．11 D． 7．（2025河南）已知数列是正项等比数列，若，则等于（    ）． A．34 B．32 C．30 D．28 8．（24-25 ·内蒙古）在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A． B． C．4 D．9 9．（23-24山东）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 10．（2024·湖南株洲·一模）在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题组四 等比数列的简单应用 1．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 2．（23-24 重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 3．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（    ）(参考数据： A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 6．（2024湖北）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（    ）元（参考数据：，） A．35200 B．43200 C．30000 D．32000 7．（2025·四川）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 题组五 等比数列片段和的性质 1．（2025广西）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ） A．900 B．1200 C． D． 2．（2023·浙江·一模）已知是等比数列的前项和，且，，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 3．（2025河北）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东）已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（    ） A．24 B．30 C．42 D．48 5（2025福建厦门·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则=（    ） A．2 B． C． D．3 6．（2026北京）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．9 题组六 等比数列前n项和的特征 1.（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 题组七 等比数列奇数项（或偶数项）的和 1.（2025安徽）等比数列共有项，其中，偶数项和为，奇数项和为，则 A． B． C． D． 2．（2024·浙江）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 5．（2025山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 6．（2025福建）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 7．（2025湖南）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 8．（2025·江西南昌·阶段练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为 . 题组八 等比数列前n项和的最值 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）（多选）设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·二模）（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高三上·湖南邵阳·期中）（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，并满足，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D．是数列中的最大项 4．（2025福建）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最小项 D．当时，的最小值为4045 5．（2025·辽宁）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2 等比数列（精练题组版） 题组一 等比数列基本量的计算 1．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由等比数列公式可得：， 所以，故选：A. 2．（2025·河南开封·二模）已知是等比数列的前项和，且，，则公比（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题可知，，故，故.故选：C. 3．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，所以， 设等比数列的公比为q，由题意知，，所以， 化简，得，解得或舍去，所以故选： 5．（2024·四川凉山·三模）已知是等比数列的前项和，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【解析】由可得， 则，化简可得，解得或， 故选：D. 6．（2025·湖南岳阳·三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】由题意，设正项等比数列的公比为，其中， 由等比数列的性质可知，由题干可得，即， 若，则，不合题意，故， 所以， 解得或（舍去），故. 故选：C. 7．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的公比为，则， 显然，则，即， 因为，则，则. 故选：A． 题组二 等比数列的证明或判断 1．（2025广东广州·期末）（多选）已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【解析】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于C，，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 2．（2024·贵州黔南·一模）（多选）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，，则 C．数列为等比数列 D．若，则数列的公比为2 【答案】ACD 【解析】对于A，令等差数列公差为，则，， 为常数，数列为等差数列，A正确； 对于B，等差数列中，成等差数列，则，解得，B错误； 对于C，令等比数列的公比为，则，为常数，数列为等比数列，C正确； 对于D，等比数列的公比为，由，得， 则，而，解得，D正确. 故选：ACD 3．（2024·浙江宁波·一模）（多选）已知数列，都是正项等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】BC 【解析】因为数列，都是正项等比数列， 所以设数列，的公比分别为，，且，，且对任意的正整数有，成立； 对于A，不妨设， ，满足，都是正项等比数列， 此时，因为，， 所以，此时不是等比数列，故A不正确； 对于B，因为，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C，因为，所以数列是等比数列，故C正确； 对于D，设，，满足，都是正项等比数列， 此时，，， 所以，，所以，此时数列不是等比数列，故D不正确； 故选：BC. 4．（24-25高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知等比数列中，满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列 【答案】AC 【解析】等比数列中，满足，则，有， 由，，数列是首项为2公比为4的等比数列，故A选项正确； 而，结合指数函数性质可知，数列是递减数列，故B选项错误； 又，，， 故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C选项正确； 数列中，，，， ，故D选项错误. 故选：AC. 5．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AB 【解析】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 6（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式以及； 【答案】(1)证明见解析(2)， 【解析】（1）证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则，即，①则，② ②①得：，即， 可得，又，是等比数列． （2）由（1）知，则． 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列满足，，记， (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）因为，，，所以， 即，又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，所以. 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； 【答案】证明见解析， 【解析】因为 ， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ，也符合上式． 综上所述， 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记，求证：是等比数列； 【答案】证明见解析 【解析】由已知，，，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. 10．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，， (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：因为， 所以当，时，， 即 又时，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列． （2）由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 11．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列满足，，记，写出，，并证明数列为等比数列； 【答案】(1)，，证明见解析 【解析】显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． 12．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且，证明：为等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】证明见解析； 【解析】当时，，又，所以， 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． 13．（2024·山西临汾·一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】证明见解析， 【解析】因为， 又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 题组三 等比中项 1．（2025·河南·一模）若成等比数列，则（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】根据等比中项的概念可得，.故选：C. 2．（2025·广西桂林·一模）已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】，，故选：C. 3．（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】因为是方程的两个根，所以， 又因为在等比数列中，，又因为是正项等比数列，所以， 所以，故选:B. 4．（2025·四川）在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以∴.故选：A 5．（2025四川）在等比数列中， 是方程的根，则 A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】因为是方程的根，所以或， 则，，则.故选A. 6．（23-24 湖南）各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】B 【解析】在各项均为正数的等比数列中，， 因为，所以 所以， 故选：B. 7．（2025河南）已知数列是正项等比数列，若，则等于（    ）． A．34 B．32 C．30 D．28 【答案】A 【解析】在正项等比数列中，由，得，即． ∴． 故选：A. 8．（24-25 ·内蒙古）在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【解析】由题得， 因为，是函数的极值点，则，是方程的两根， 所以从而可得，又因为等比数列，可得，且，所以. 故选：B. 9．（23-24山东）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【解析】由是等比数列可得，因为，所以可得， 所以故， 故选：B 10．（2024·湖南株洲·一模）在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，则 ， 若，则， 所以， 所以，这与矛盾，故， 所以， 即，，当且仅当时取等号， 所以B的取值范围是．故选：B. 题组四 等比数列的简单应用 1．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，， 则，令， 则，， 因此当时，；当时，，即最大， 所以当最大时，. 故选：B 2．（23-24 重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【答案】A 【解析】设1微尘为， 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度， 构成了公比为7的等比数列， 所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为， 1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为， 因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确； 因为，所以1指节是羊尘，BD不正确； 故选：A. 3．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（    ）(参考数据： A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元 【答案】B 【解析】设每月需还款万元， 第一期还款后，还欠银行万元， 第二期还款后，还欠银行万元， 设第期还款后，还欠银行万元，则，且， 所以是公比为1.005的等比数列，所以. 令，解得，即每月大约需还款7165元. 故选：B. 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为， 故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形， 所以斜边长为. 故选：A． 5．（2025·山东）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解析】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则是以2为公比的等比数列， ，，解得，所以，． 故选：C． 6．（2024湖北）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（    ）元（参考数据：，） A．35200 B．43200 C．30000 D．32000 【答案】D 【解析】设2022年6月底小王手中有现款为元， 设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为， 则，即， 所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列， ∴，即， 年所得收入为元. 故选：D. 7．（2025·四川）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可知，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列， 故令，即， 即有7种边长不同的正方形， 又因为正方形的边长构成以8为首项，为公比的等比数列， 故边长为8的正方形有1个，边长为的正方形有2个， 边长为4的正方形有4个，边长为的正方形有8个， 边长为2的正方形有16个，边长为的正方形有32个， 边长为1的正方形有64个， 这127个正方形的周长之和为 ， 故选：A 8．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 【答案】B 【解析】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以. 故选： 题组五 等比数列片段和的性质 1．（2025广西）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ） A．900 B．1200 C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，因为，， 所以，， 得，所以， 所以， 所以． 故选：． 2．（2023·浙江·一模）已知是等比数列的前项和，且，，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【解析】因为是等比数列，是等比数列的前项和， 所以成等比数列，且，所以， 又因为，，所以，即，解得或， 因为，所以，故选：C． 3．（2025河北）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得为等比数列又故选：． 4．（2025·广东）已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（    ） A．24 B．30 C．42 D．48 【答案】C 【解析】根据题意，等比数列{an}中，S4、（S8﹣S4）、（S12﹣S8）成等比数列 而S4＝6，S8＝18，即6、12、（S12﹣18）为等比数列 则有6×（S12﹣18）＝122，解得：S12＝42 故选：C 5（2025福建厦门·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则=（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】等比数列的前n项和为，则成等差数列， ，即，故，故，故. 故选：B. 6．（2026北京）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．9 【答案】B 【解析】设数列的公比为， 若，则由题意知，，成等比数列， 则，又，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，即，时等号成立， 则的最小值为.当时，由，可得，所以，故的最小值为.故选：B. 题组六 等比数列前n项和的特征 1.（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【解析】设公比为， 当时，不符合题意； 当时， 又， 所以，解得. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 题组七 等比数列奇数项（或偶数项）的和 1.（2025安徽）等比数列共有项，其中，偶数项和为，奇数项和为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知 ，可得，又因为 所以  ， ，解得 ，故选B. 2．（2024·浙江）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为，则,所以，结合等比数列求和公式有：，解得n=4， 即这个等比数列的项数为8.本题选择C选项. 3．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【解析】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【解析】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 5．（2025山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【解析】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 6．（2025福建）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 7．（2025湖南）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 【答案】10 【解析】设等比数列项数为项，公比为，则，， 由， 解得，因为是公比为的等比数列，则 ， 即，解得， 故答案为:10. 8．（2025·江西南昌·阶段练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为 . 【答案】 【解析】设公比是，项数为（为偶数） 由题意得，，，， 解得，故答案为： 题组八 等比数列前n项和的最值 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）（多选）设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于B，当时，，，又，， 或； 当时，，，与矛盾，，B正确； 对于A，，A错误； 对于C，，，，，即，C正确； 对于D，，又，，D错误. 故选：BC. 2．（2024·湖北·二模）（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解析】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 3．（23-24高三上·湖南邵阳·期中）（多选）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，并满足，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D．是数列中的最大项 【答案】ABD 【解析】因为是公比为的等比数列，且，，， 若，则为增数列，且，则不成立，故假设不成立， 所以，，， 对于A，，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，根据上面分析，等比数列中的每一项都为正值，所以无最大值，所以数列无最大项，故C错误． 对于D，等比数列中从到的每一项都大于1，从开始后面每一项都小于1且大于0，所以是数列中的最大项，故D正确． 故选：ABD． 4．（2025福建）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最小项 D．当时，的最小值为4045 【答案】BC 【解析】因为，所以，则各项为正数， 所以，即为递增数列，A错误； 由A项及可得，则，故B正确； 由上可知，故，即C正确； 由，显然的最小值不为4045，即D错误.故选：BC. 5．（2025·辽宁）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BD 【解析】等比数列的公比为，由，得，则，， 由，得，则或， 若，则，由知，矛盾， 于是，即有，而，因此，A错误； 显然，B正确； 当时，，即数列是正项递增数列，无最大值，C错误； 显然，当，，则，当时，，则， 所以的最大值为，D正确. 故选：BD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$