精品解析：浙江省杭州市西湖区三墩中学2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

杭州市三墩中学2024学年第二学期期中质量调研 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x+3≥0，即x≥-3． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式是解答本题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 3. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的减法，乘法，除法运算，熟知二次根式加法，乘法，除法运算的法则是解题的关键． 4. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤即可得出答案． 【详解】 ． 故选：A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 5. 如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵，∴， ∵，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 6. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，     设小路宽为x米， 根据题意得：， 故选：C． 7. 若3个正数的平均数是x，且，则数据，，，0，的平均数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式和中位数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵3个正数的平均数是x， ∴数据，，，0，的平均数是： ， ∵3个正数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴数据，，，0，从小到大排列为：， ∴中位数是，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数和平均数，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数的定义． 8. 如图，在中，平分交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，推出，，证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由可得，即可求解． 【详解】解：平分， ， 平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，在▱中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形的面积面积面积． 阴影部分是三角形与三角形的公共部分，而，，这三块是平行四边形中没有被三角形与三角形盖住的部分，故面积面积平行四边形的面积，而与的面积都是平行四边形面积的一半，据此求得的值． 【详解】解：设平行四边形的面积为，则， 由图形可知，面积面积平行四边形的面积， ， 即， 解得， 故选：A． 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，解题关键是对方差公式的理解．根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：， 平均数是，这组数的个数为， 则该组数据的总和是：， 故答案为：． 14. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义，把，代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把，代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为： 15. 已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意得出，，解得：，将，代入函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵关于的一定二次方程，有两个实数根． ∴， 解得： ∴ ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为 故答案为：． 16. 数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用直角性质求得，，由折叠的性质以及，推出是线段的垂直平分线，则，求得，证明四边形是平行四边形，得到，在求得即可． 【详解】解：连接， ∵平行四边形纸片，且，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质知，，，是线段的垂直平分线，则， ∵， ∴，即， ∴，由平行四边形的性质得，∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，运用乘法公式可以使运算简便． （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法求解比较简便； （2）利用因式分解法求解比较简便 【小问1详解】 解：， 这里，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 ， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、因式分解法是解题的关键． 19. 某校七、八年级开展了综合实践知识竞赛，按100分制进行评分．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩（单位：分）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：74，82，82，93，90，82，85，70，62，80． 八年级：成绩处于组的学生的具体成绩为：83，90，84，83，83． 【整理数据】 年级 七年级 2 2 5 1 八年级 2 2 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 82 八年级 80 83 72 【应用数据】 （1）填空：______，______； （2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； （3）若甲同学在分析八年级数据时漏了一个数据80，算得9个数据的方差记为，则______72；（填“”、“”或“”） 【答案】（1）， （2）竞赛成绩为“优秀”的有人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的定义是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义，即可求出a和b的值； （2）用八年级总人数乘以竞赛成绩为“优秀”的人数所占百分比，即可解答； （3）根据方差的定义，进行分析即可． 【小问1详解】 解：（分）， ∵八年级抽取了10名学生成绩， ∴八年级抽取学生成绩中位数为第5名和第6名学生的平均数， ∴（分）， 故答案为：80，83． 【小问2详解】 解：（人）， 答：竞赛成绩为“优秀”的有360人． 【小问3详解】 解：9个数据的平均数为（分）， 9个数据的方差为， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∴的面积是： 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到是等边三角形． 21. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 【答案】（1） 证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得：， 方程为， 解得或， 等腰的三边长分别为，符合题意； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上， 22. 如图，是的一条对角线，点、在上． （1）若，求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接交于点O，首先根据平行四边形的性质得到，，然后求出，即可证明出四边形是平行四边形； （2）过点D作交的延长线于点G，求出，，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作交的延长线于点G ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 23. 杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率； （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】（1） （2）①每千克核桃应降价或元；② 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键； （1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克核桃应降价元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 24. 如图，在中，于点，，连结交于点． （1）如图1所示，，，求的值； （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结． ①证明：； ②直接写出的数量关系． 【答案】（1） （2） ①∵在中，， 又∵， ∴，， ∴， ∵ ∴ ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ②； 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）勾股定理求得，进而根据平行四边形的性质，即可求解； （2）①先证明，进而即可证明；②连结、、，证明，进而证明，得出，，则是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可得出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②连结、、， ∵在中，是的中点 ， ∴， ∵ ， ∴，，， ∵ ， ∴，，， ∴ ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市三墩中学2024学年第二学期期中质量调研 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若3个正数的平均数是x，且，则数据，，，0，的平均数和中位数分别是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. D. 80° 9. 如图，在▱中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知、、，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为___________． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 某组数据的方差，则该组数据的总和是_____ 14. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______． 15. 已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为_____ 16. 数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，对角线，点E，F分别在边和上，交于点P．将纸片沿折叠，点A落在外的点处，B落在对角线上的点G处，交于点H，连接．若，则_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某校七、八年级开展了综合实践知识竞赛，按100分制进行评分．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩（单位：分）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：74，82，82，93，90，82，85，70，62，80． 八年级：成绩处于组的学生的具体成绩为：83，90，84，83，83． 【整理数据】 年级 七年级 2 2 5 1 八年级 2 2 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 82 八年级 80 83 72 【应用数据】 （1）填空：______，______； （2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级600名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； （3）若甲同学在分析八年级数据时漏了一个数据80，算得9个数据的方差记为，则______72；（填“”、“”或“”） 20. 如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，，求的面积． 21. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 22. 如图，是的一条对角线，点、在上． （1）若，求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求长． 23. 杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店核桃销售量的月增长率； （2）该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 24. 如图，在中，于点，，连结交于点． （1）如图1所示，，，求的值； （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结． ①证明：； ②直接写出的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $