第08讲二次函数的图象和性质（1）2024-2025学年人教版九年级上册数学暑假预习

第08讲二次函数的图象和性质1

【例题1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　)

【答案】本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.

方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．

【例题2】 二次函数的图象如图所示，则a的值可能为（    ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】A

【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．

【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向上，则，

故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，

故选：A．

【例题3】 函数与的图像可能是（    ）

【答案】D．

【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，

当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．

【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．

【例题4】 已知h关于t的函数关系式为h＝gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为(　　)

【答案】根据h关于t的函数关系式为h＝gt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数h＝gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.

方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．

【例题5】 作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：

(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；

(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；

(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？

【答案】根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．

解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2，(2)由图象可知y3<y4；(3)在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小．

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．

【例题6】 已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ）

A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．

【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，

∴二次函数的图象开口向上，

∴a-1>0，即：a>1，

故选B．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．

【例题7】 抛物线，，共有的性质是（   ）

A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小

【答案】B

【分析】

本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质解题．

【详解】

解：开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点；

开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点；

∴抛物线，，共有的性质是对称轴为轴，顶点为原点；

故选：B．

【例题8】 已知点在抛物线上，则的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】分别把代入解析式求解．

【详解】把代入得，

把代入得，

，

，

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数上点的特征．

【例题9】 已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．

(1)求m的值；

(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？

(3)当m为何值时，该函数有最小值？

(4)试说明函数的增减性．

【答案】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值．

(2)图象的开口向下，则m＋3＜0；

(3)函数有最小值，则m＋3＞0；

(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．

解：(1)根据题意，得解得∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数．

(2)∵图象开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．

(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当m＝1时，原函数有最小值．

(4)当m＝－4时，此函数为y＝－x2，开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．

当m＝1时，此函数为y＝4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．

方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．