精品解析：广东省汕头市金平区碧华学校2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中学业质量评估 八年级数学科 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解． 【详解】解：由于负数没有平方根，因此无意义，不属于二次根式． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的识别，解题的关键是掌握定义：形如的代数式叫做二次根式，其中． 2. 化简的结果是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质：，即可得出结果． 【详解】解：； 故选C． 3. 函数的自变量取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：x≥-2且． 故选D． 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A. 5m B. 7m C. 8m D. 9m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为，由题意和勾股定理，得：， ∴木杆折断之前的高度为； 故选C． 5. 在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，或两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形；故选项B符合题意； 当时，四边形是平行四边形； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当，则：，无法判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选B 6. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得出，设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质，要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系． 7. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由勾股定理可求得， 再由，即可得点D表示的数． 【详解】∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键． 8. 如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，P是中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中长度（　　） A. 下滑时增大 B. 上升时减小 C. 无论怎样滑动不变 D. 只要滑动就变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据此知识点即可得到答案； 【详解】解：由题意可知无论竹竿怎么滑动，都是直角三角形，而P是中点，即也为的中点，所以，所以无论怎样滑动不变； 故答案选：C 9. 如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（　　） A. PM+PN＝AB B. PM+PN＝BC C. PM+PN＝2BC D. PM+PN＝AB+BC 【答案】A 【解析】 【分析】证明∠B＝∠BPN，得PN＝BN，证明四边形AMPN为平行四边形得PM＝AN，进而便可得PM+PN＝AB． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，BC为底边 ∴∠B＝∠C， ∵PN∥AC， ∴∠BPN＝∠C＝∠B， ∴PN＝BN， ∵PM∥AB，PN∥AC， ∴四边形AMPN是平行四边形， ∴PM＝AN， ∴PM+PN＝AN+BN＝AB， 故选A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 10. 如图，中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得，又因为平分，则可得，即为等边三角形，再结合三角形外角性质和等腰三角形性质即可判断①；根据平行四边形性质，结合勾股定理即可判断③；，，则为三角形的中位线，利用中位线的性质和平行四边形性质即可判断②；与为同底等高的三角形，根据面积关系即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， 又， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ，， ， 故③正确； ，， 为三角形的中位线， ，， ， 又， ，故②正确； 与为同底等高的三角形， ， ，故④正确， 综上，正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_________ 【答案】＜ 【解析】 【分析】将两数平方后比较大小，可得答案. 【详解】∵，，18＜20 ∴＜ 故填：＜. 【点睛】本题考查比较无理数的大小，无理数的比较常用平方法. 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到2-x≥0且x-2≥0，从而确定出x，y的值，然后代入求解即可. 【详解】解：∵2-x≥0且x-2≥0， ∴x=2，y=5， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟知二次根式有意义被开方数非负是解题关键. 13. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 14. 如图，E，F分别是平行四边形的边上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了平行四边形的性质，连接，由三角形的面积公式我们可以推出，所以，，因此可以推出阴影部分的面积就是，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【详解】解：如图，连接， 四边形为平行四边形， ， 的边上的高与的边上的高相等， ， ， 同理， ， ，， ， 故答案为：27． 15. 如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的最大值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，作交的延长线于点，由平行四边形的性质得，，，则，而，可证明，由，求得，再由勾股定理求得和，证明后，可得，因为于点，所以的最大值为． 【详解】解：连接交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于点， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、勾股定理解直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题关键是作出合适的辅助线． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式除法，再去绝对值和计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后通过证明可进行求证． 【详解】略 18. 已知一个长方形的长是，宽是，周长是，面积是． （1）长方形的周长与长之间的关系式是什么？ （2）长方形的面积与长之间的关系式是什么？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方形周长公式，即可表示周长与长之间的关系式． （2）根据长方形面积公式，即可表示面积与长之间的关系式． 【小问1详解】 解：，即 【小问2详解】 解： 【点睛】本题考查了求两个变量之间的关系式，正确运用长方形周长与面积公式，是解题的关键，同时要注意代数式的正确书写． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：, , 平分, , , , , , 四边形是平行四边形， , 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】(1)先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； (2)由菱形的性质可得,,由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，, , ,, , ， , (负值舍去), , 菱形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的面积公式是解决此题的关键． 20. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为中点， 即线段的长度为． 21. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）求和的长； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答； （3）利用四边形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． 【小问3详解】 解：由（2）得，， ， 由折叠的性质得，， 四边形的面积 ， 四边形的面积为． 五．解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． （2）应用：求；的值． （3）拓广：求的值． 【答案】（1）①；（n为正整数）；②； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，根据题意正确分母有理化以及化简二次根式是解答本题的关键． （1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可；②分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （2）每项进行分母有理化然后进行求解即可； （3）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简分母有理化，最后合并即可． 【小问1详解】 解：①； ； 故答案为：；（n为正整数）； ②； ； 故答案为：；； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ． 23. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形，是对角线 ∴， ∵是公共边 ∴ ∴． （2） 证明： 连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，即可； （2）连接，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得，，，根据，四边形的内角和，则，推出，根据平角的性质，可，等量代换，可得，根据等边对等角，可得，根据三角形的内角和，即可； （3）延长到，使，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，可得 ，，由（2），根据角的数量关系，可得，根据全等三角形的判定和性质，可得，，再根据线段之间的数量关系，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长到，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，进行解答，即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中学业质量评估 八年级数学科 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 化简的结果是（　　） A. B. C. 3 D. 3. 函数的自变量取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A. 5m B. 7m C. 8m D. 9m 5. 在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，P是中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中长度（　　） A. 下滑时增大 B. 上升时减小 C. 无论怎样滑动不变 D. 只要滑动就变化 9. 如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（　　） A. PM+PN＝AB B. PM+PN＝BC C. PM+PN＝2BC D. PM+PN＝AB+BC 10. 如图，中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_________ 12. 已知，则________． 13. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________． 14. 如图，E，F分别是平行四边形的边上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分四边形的面积为______． 15. 如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的最大值为 ____． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，在中，点、在对角线上，且．求证：． 18. 已知一个长方形的长是，宽是，周长是，面积是． （1）长方形的周长与长之间的关系式是什么？ （2）长方形的面积与长之间的关系式是什么？ 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，，求四边形的面积． 20. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）求和的长； （3）求四边形的面积． 五．解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，，； 再根据平方根的定义可得： ，，； 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；（n为正整数）=______． ② ______；当时，化简______． （2）应用：求；的值． （3）拓广：求的值． 23. 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $