3.2平面直角坐标系 同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

3.2平面直角坐标系 课时1 平面直角坐标系 刷基础 知识点1 平面直角坐标系的有关概念 下列叙述错误的是 ( ) A.坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限 B.坐标轴上的点不属于任何象限 C.平面直角坐标系的两条数轴是互相垂直的 D.第二、四象限内点的横、纵坐标符号相同，第一、三象限内点的横、纵坐标符号不同 知识点2 用坐标表示坐标平面内的点的位置 2[2025 贵州贵阳质检]如图，以幸福路地铁站为原点，建立平面直角坐标系，若图书馆的坐标为(0，-1)，则学校的坐标为 ( ) A.(-7,1) B.(1,-7) C.(-1,7) D.(7,1) 3 新考向传统文化 [2025江西南昌质检]中国象棋历史悠久，是中国传统文化的重要组成部分，且作为棋类项目，它趣味浓厚，基本规则简明易懂，深受人们喜爱.观察如图所示的部分象棋盘，以“炮”为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则“馬”的坐标是 . 4.[2025 河北石家庄调研]如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列在平面直角坐标系中. (1)“岭”和“船”的坐标依次是 ； (2)将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为 和 ; (3)“泊”开始的坐标是(2，1)，使它的坐标变换为(5，3)，应该哪两行对调，同时哪两列对调? 知识点3根据坐标描点 [2025甘肃庆阳期末]如图，在所给的平面直角坐标系中描出下列各点:(1,8),(-2,2),(0,2),(0,-6),(2,-6),(2,2),(4,2),(1,8).依次连接各点，观察所得到的图形，你觉得它像什么? 刷易错 易错点 对点的坐标的意义理解不清 已知点 P(2m+4,3m-8)到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为 ( ) A.5 B.-8 C.-8或 D.5或3/2 课时2 平面直角坐标系中点的坐标特征 刷基础 知识点1 象限内点的坐标特征 1[2025 河南郑州质检]如图，小手盖住的点的坐标可能为 ( ) A.(5,2) B.(-3,-3) C.(-6,4) D.(2,-5) 2[2025辽宁丹东期中]如果A(m,n)在第二象限,那么B(-m,√n)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点2 坐标轴上点的坐标特征 3[2025广西崇左期中]如果点 P(a,b)在x 轴上,那么点Q(ab,-1)在 ( ) A. y轴的正半轴上 B. y轴的负半轴上 C. x轴的正半轴上 D. x轴的负半轴上 4已知点M(m+1,3-2m)在y轴上,则点 M 的坐标为 . 知识点3平面直角坐标系内角平分线上点的坐标特征( 5[2025 四川成都期中]点A(m-3,2)在第二象限的角平分线上，则m的值为 ( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1 6[2024江苏泰州姜堰区期末]在平面直角坐标系中，点P(a，b)在第一象限的角平分线上，且a,b满足2a+b=9,则点 P 的坐标为 ( ) A.(1,7) B.(2,2) C.(3,3) D.(9,-9) 7已知点A(a,2),B(-3,b),根据下列条件求出a,b的值: (1)A，B两点在第二、四象限的角平分线上； (2)点A在某象限的角平分线上，点B 到x轴的距离是4. 知识点4 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 [2025 江西吉安期末]已知点 B 的坐标为(3，-4),直线 AB 平行于 y 轴,则A 点坐标有可能为 ( ) A.(3,-2) B.(2,4) C.(-3,2) D.(-3,-4) 9平面直角坐标系中,点A(-1,3),B(2,1),经过点A 的直线a∥x轴，点 C 是直线 a上的一个动点，当线段 BC 的长度最短时，点C 的坐标为( ) A.(-1,1) B.(3,2) C.(2,3) D.(2,-1) 10[2024广西桂林期中]已知点A(-3 a+2)与点B(a-3，4)在同一平面直角坐标系中，且AB∥y轴,则A,B 两点间的距离为 . 11[2024湖北武汉质检]在平面直角坐标系中，已知线段AB的长为5,点 A 的坐标为(3,2),点 B 的坐标为(x,2),则点 B 的坐标为 . 2平面直角坐标系上有一点P(2a-4,a+3),请根据题意回答下列问题： (1)若点 P 在x轴上,求出点 P 的坐标. (2)若点 Q 的坐标为(6,-1)且 PQ∥y轴,求出点 P 的坐标. (3)若点 P 到 y 轴的距离为2,直接写出 a的值. 学科网（北京）股份有限公司 刷提升 1.已知P(m，n)为平面内任意整点(横、纵坐标均为整数)，且满足 则满足条件的点 P 的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,a),b,12-b),C(2a-3,0),0<a<b<12. 若 OB 平分∠AOC,且AB=BC,则a+b的值为 ( ) A.9或12 B.9或11 C.10或11 D.10或12 3[2025 黑龙江鸡西质检,中]已知点P(-10,3a+9)不在任何象限内，则a的值为 . 4[2025 山东聊城质检，中]如图，点A，B分别在x轴、y轴上,OA=OB,分别以点A,B为圆心,以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点 P.若点 P的坐标为(a,3a-4),则a的值为 . 5[较难]如图，正方形ABCD 的各边分别平行于x轴或y轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点 E(3，0)出发，同时沿正方形ABCD 的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以3个单位长度/秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以1 个单位长度/秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后的第三次相遇点的坐标是 . 6[较难]如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(0,1)，将线段AB 平移，使其一个端点到C(3，2)，则平移后另一个端点的坐标为 . 刷素养 7 核心素养推理能力[2025 河北石家庄期中，较难]综合与实践 【问题情境】在平面直角坐标系 xOy 中有不重合的两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂),小明在学习中发现，若 ,则AB∥y轴,且线段AB 的长度为 若 ,则AB∥x轴,且线段AB的长度为 【应用】 (1)若点A(-1,1),B(2,1),则AB 的长度为 (2)若点C(1,0),CD∥y轴,且 CD=2,则点 D的坐标为 . 【拓展】我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)之间的折线距离为 例如:图(1)中,点M(-1,1)与点N(1,-2)之间的折线距离为d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5. 【解决问题】 (3)如图(2),已知E(2,0),若F(-1,-2),则d(E,F)= . (4)如图(2),已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,求t的值. 课时3 建立适当的平面直角坐标系求点的坐标 刷基础 知识点1 建立适当的平面直角坐标系求点的坐标( [2025 湖北武汉校级质检]如图，已知正方形员ABCD 的边长为4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标. (1)如果以点C 为坐标原点，分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为A ，B ，C(0,0),D ; (2)如果以点A 为坐标原点，分别以 DA，AB 所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为A(0，0)，B ，C ,D ; (3)如果以正方形的中心为坐标原点，分别以平行于DA，AB的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分别为A ，B ,C ,D . 2[2024 甘肃酒泉期中]如图,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形 ABCD 外画△ABE,使E 点在 CB 延长线上,AE=10,请建立适当的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标. 知识点2 确定有关点的位置 3[2025 天津武清区期中]如图，在方格纸上画出的小旗图案，若点A的坐标是(0，0)，点B 的坐标是(0，6)，则点 C的坐标是 ( ) A.(3,4) B.(2,4) C.(0,4) D.(4,0) 4[2025陕西商洛期末]某地的平面示意图如图所示，如果医院所在位置的坐标为(-1，0)，汽车站所在位置的坐标为(1，2)，则(0，3)所在的位置是 ( ) A.公园 B.学校 C.宠物店 D.水果店 5[2025 山西太原质检]无人驾驶飞机简称“无人机”，英文缩写为“UAV”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的，或者由机载计算机完全地或间歇地自主操作的不载人飞机.如图，飞行中的三架无人机按要求悬停在同一高度，若无人机A,B的位置分别表示为(-1,3),(2,2),则无人机 C 的位置表示为 . 知识点3建立平面直角坐标系求相关图形的面积 [2025 贵州六盘水期末]在平面直角坐标系中，用线段依次连接点(-3,0),(0,3),(3,0),(-3，0)，得到的图形的面积是 ( ) A. B.9 C.9 7[2025云南昆明期末]在网格中画出合适的平面直角坐标系，并在平面直角坐标系中描出下列各点:A(-2,1),B(2,-2),C(2,3),D(0,1),连接AB,BD,DC,CA.求所连线段围成图形的面积. 刷提升h 1[中]如图，直线a⊥b，以平行于a的直线为x轴，以平行于b的直线为y轴，建立平面直角坐标系,若A(-3,2),B(2,-3),则坐标系的原点最有可能是 ( ) A. O₁ B. O₂ C. O₃ D. O₄ 2[中]已知等腰△ABC，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为A(m，0)，B(m+4,2),C(m+4,-3),则下列关于该三角形的三边关系正确的是 ( ) A. AC=BC≠AB B. AB=AC≠BC C. AB=BC≠AC D. AB=AC=BC 3[中]数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，建立如图所示的直角坐标系，曲线 C 就是其中之一.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线 C 在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中正确结论的序号是 ( ) A.① B.② C.①② D.①②③ 4[中]在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,0),点 B 的坐标为(-1,0),点 C 在 y 轴上.如果△ABC的面积等于6，那么点 C 的坐标为 . 5新考法[2025 安徽黄山期中，中]有甲、乙、丙三人，他们所在的位置不同，他们三人都以相同的单位长度建立不同的平面直角坐标系.甲说：“如果以我为坐标原点，那么乙的位置是(4，3).”丙说：“如果以我为坐标原点，那么乙的位置是(-3，-4).”根据以上内容，回答问题：如果以丙为坐标原点，那么甲的位置是 6[中]如图(1)所示,已知四边形 ABCD,∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m. (1)试说明:BD⊥CB; (2)求四边形ABCD 的面积; (3)如图(2),以A 为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P 在y轴上，若 四边形ABCD,求点 P 的坐标. 刷素养 7 核心素养推理能力[较难]定义：在平面直角坐标系xOy中,已知点P₁(a,b),P₂(c,b),P₃(c,d),这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P₁,P₂,P₃ 的“最佳间距”. 例如:如图,点P₁(-1,2),P₂(1,2),P₃(1,3)的“最佳间距”是1. (1)理解:点Q₁(2,1),Q₂(4,1),Q₃(4,4)的“最佳间距”是 . (2)探究:已知点O(0,0),A(-3,0),B(-3,y). ①若点O,A,B的“最佳间距”是1,求y的值; ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为 . 刷基础 1. D【解析】第二、四象限内点的横、纵坐标符号不同，第一、三象限内点的横、纵坐标符号相同，所以D选项错误. 2. A【解析】根据题意可知学校的坐标是(-7，1),故选 A. ◀3.(-2,1) 【解析】如图所示, “馬”的坐标是、(-2,1).故答案为(-2,1). 4.答案【解】(1)“岭”和“船”的坐标依次是(4,2)和(7,1).故答案为(4,2)和(7,1). (2)将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标(7，2)依次变换为(7,3)和(3,3).故答案为(7,3),(3,3). (3)“泊”开始的坐标是(2，1)，使它的坐标变换为(5，3)，应该第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调. 5.【解】如图所示即为所求.得到的图形像一个箭头(答案合理即可). 刷易错 6. D 【解析】因为 到y轴的距离是它到x 轴距离的2倍，所以| 所以： 或 解得 或 课时2 平面直角坐标系中点的坐标特征 刷基础 1. D【解析】由题图得点位于第四象限，故点 符合题意.故选 D. 2. A【解析】根据题意可知 所以 所以 在第一象限.故选 A. 3. B 【解析】因为点 P(a,b)在x轴上,所以 0，所以 所以点 在y轴的负半轴上.故选 B. 4.(0,5) 【解析】因为点, 在 y轴上，所以 所以 所以 ，所以点M 的坐标为(0，5).故答案为(0,5). 5. C【解析】因为点, 在第二象限的角平分线上，所以 解得 故选C. 6. C【解析】因为点P(a，b)在第一象限的角平分线上，所以 因为 所以 9，所以 ,所以点 P 的坐标为(3,3).故选 C. 7.【解】(1)因为A，B两点在第二、四象限的角平分线上，所以 解得 (2)因为点A 在某象限的角平分线上，所以 解得 或 .因为点B到x轴的距离是4，所以 解得 或 8. A【解析】因为点 B 的坐标为( 直线AB平行于 y轴，所以A，B两点横坐标相等，故A 点横坐标为 3，故符合要求的只有(3， 故选A. 9. C【解析】如图所示.因为直线 轴，点C是直线 a 上的一个动点，点 所以设点 C(x,3).因为当 直线 a时，线段BC的长度最短，且点 B(2，1)，所以 所以点C的坐标为(2，3). 10.2 【解析】因为. 轴，所以 所以 所以. 所以点A，B间的距离为 .故答案为2. )或(8,2) 【解析】因为A(3,2),B(x,2),所以; 轴.因为. 所以 所以 或 所以点B的坐标为(-2,2)或(8,2),故答案为(-2,2)或(8,2). 12.【解】(1)因为点P(2a-4,a+3)在x轴上,所以a+3=0,解得a=-3,则2a-4=2×(-3)-4=-10,所以点 P 的坐标为(-10,0). (2)因为Q(6,-1),PQ∥y轴,所以2a-4=6,解得a=5,则a+3=5+3=8,所以点 P 的坐标为(6,8). (3)a的值为3或1.因为点 P 到y轴的距离为2,所以|2a-4|=2,则2a-4=2或2a-4=-2,解得a=3或a=1. 刷提升 1. D 【解析】因为 所以 -m+n.因为 m,n都为整数,所以m,n的整数解为m=0,n=0或m=1,n=4或m=2,n=-4或m=4,n=-2或m=-4,n=-1,所以满足条件的点 P 的个数是5，故选 D.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2. B 【解析】因为点 A(0,a),B (b,12-b),C(2a-3,0),0<a<b<12,所以点A在y轴正半轴上，点B 在第一象限，点C 在 x 轴上.因为OB 平分∠AOC,所以b=12-b,所以b=6.过点B作BH⊥x轴,BG⊥y轴,则BH=BG.因为AB=BC,所以Rt△ABG≌Rt△CBH,所以AG=CH,所以|a-6|=|2a-3-6|,所以a=3或5,所以a+b=9或11,故选 B. 3.-3 【解析】由题意,得3a+9=0,解得a=-3.故答案为· 4.2【解析】由题意得,点P 在, 的平分线上，所以点 P 到x 轴和y 轴的距离相等.又因为点P 的坐标为( 所以 所以 故答案为2. 【解析】由题图可知，正方形的边长为4，故正方形的周长为 16，所以蚂蚁甲和蚂蚁乙第一次相遇所用的时间为 4(秒)，蚂蚁乙走的路程为4 个单位长度，所以此时相遇点的坐标为(1，2).因为蚂蚁甲和蚂蚁乙的速度比为3：1，所以再经过4秒蚂蚁甲和蚂蚁乙第二次相遇，相遇点坐标为( 0).第三次相遇时蚂蚁乙又走了4秒，路程为4个单位长度，此时相遇点坐标为( 故答案为 6.(1,3)或(5,1) 【解析】①如图(1),当A 平移到点 C时,因为 C(3,2),A(2,0),B(0,1),所以平移方式为向上平移2 个单位，向右平移1个单位，所以平移后的点 B 坐标为(1，3);②如图(2),当B 平移到点 C 时,因为 C(3,2),A(2,0),B(0,1),所以平移方式为向上平移1个单位，向右平移3 个单位，所以平移后的点A 坐标为(5,1).故答案为(1,3)或(5,1). 刷素养 7. 【解】(1)AB 的长度为 故答案为3. (2)由 C(1,0),CD∥y轴,可设点 D 的坐标为(1,m).因为( 所以 解得 ,所以点 D 的坐标为(1,2)或( 故答案为(1,2)或( .故答案为5. (4)因为E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,所以 解得 课时3 建立适当的平面直角坐标系求点的坐标 刷基础 1.【解】因为正方形ABCD的边长为4，所以 (1)根据题意,得A(4,4),B(4,0),C(0,0),D(0,4).故答案为(4,4),(4,0),(0,4). (2)根据题意，得. 故答案为( 根据题意，得. 故答案为(2,2),(2,-2), 2.【解】如图，以D 为坐标原点,DC 和AD 所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.易知A的坐标是(0,4),B的坐标是(6,4),C 的坐标是(6,0),D 的坐标是(0,0).因为 E 点在 CB 延长线上,所以. 在 中， 则 ，则E的坐标是(6，12).(建系方法不唯一，对应答案不唯一) 3. A【解析】建立如图平面直角坐标系，可得点 C 的坐标是(3,4).故选 A. 4. B【解析】如图,(0,3)所在的位置是学校.故选 B. 5.(0，1)【解析】如图所示，无人机C的位置表示为(0,1).故答案为(0,1). 6. B【解析】如图所示，得到的图形是三角形，该三角形的面积为 故选 B. 7. 添加辅助线割补法求不规则图形面积在平面直角坐标系中，当所求图形不是规则图形时，割补法求面积是常用的方法.通过作辅助线，可以将所求图形补全成一个规则的图形，其面积等于大图形的面积减去其他小图形的面积；也可以将所求图形分割成几个规则的小图形，其面积等于几个小图形面积的和. 【解】如图所示，连接AD，所连线段围成图形的面积为 刷提升 1. B【解析】如图,因为 直线 ，以平行于a的直线为x轴，以平行于b的直线为 y轴，所以建立如图所示的平面直角坐标系，则坐标系的原点最有可能是 故选 B. 2. A【解析】建立平面直角坐标系如图所示，令BC交x轴于点 D.因为. 所以 所以AC=BC≠AB.故选 A. 3. C【解析】①观察题图可得曲线C 经过的整点有6个，故正确；②曲线C 在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故正确；③由题图可知,曲线C经过的点有(1,1),(-1,1),(0,1),(-1,0),(1,0),(0,-1),故在横轴以上的部分面积大于2，而横轴以下的部分面积大于1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故原结论错误.故选C. 4.(0,3)或(0,-3) 【解析】因为点A 的坐标为(3,0),点B 的坐标为(-1,0),所以点A,B 都在x轴上,且AB=3-(-1)=4.因为点 C 在y轴上，所以设点 C 的坐标为(0，y).因为△ABC的面积等于6，所以 解得y=±3,所以点 C 的坐标为(0,3)或(0,-3). 5.(-7，-7)【解析】以甲为坐标原点，乙的位置是(4，3)，则以乙为坐标原点，甲的位置是(-4，-3)；以丙为坐标原点，乙的位置是(-3，-4)，则以乙为坐标原点，丙的位置是(3，4)，所以以丙为坐标原点，甲的位置是(-7,-7).故答案为(-7,-7). 6.【解】(1)因为 AD=4m ,AB=3 m,∠BAD=90°,所以 因为 所以 所以BD⊥CB. (3)因为 所以 即 解得 因为D(0,4),点 P 在y轴上,所以 P 的坐标为(0,-2)或(0,10). 刷素养 7.【解】(1)因为点 Q₁(2,1),Q₂(4,1),Q₃(4,4),所以 轴， 轴，所以 因为垂线段最短,所以Q₁Q₃>2,所以点 Q₁(2,1),Q₂(4,1),Q₃(4,4)的“最佳间距”是2.故答案为2. (2)①因为点O(0,0),A(-3,0),B(-3,y),所以AB⊥OA,OA=3,所以OB>OA. 因为点O，A，B的“最佳间距”是1， 所以AB=1,所以y=±1. ②当-3≤y≤3时,点O,A,B 的“最佳间距”是|y|=AB≤3;当y>3或y<-3时,AB>3,点 O,A,B的“最佳间距”是 OA=3,所以点O,A,B的“最佳间距”的最大值为3.故答案为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$