精品解析：四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

渠县东安雄才学校2025年春季学期第二轮月考 初一年级数学试卷 本试卷分为A卷和B卷两部分，卷面总分150分，考试时间为120分钟 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，与交于点E若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，总分20.0分） 9. 有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为______． 10. 计算：__________________ 11. 如图，立定跳远比赛时，小明从点起跳落在沙坑内处，跳远成绩是米，则小明从起跳点到落脚点的距离______米．（填“大于”“小于”或“等于”）     12. 已知，，则的值为_____________． 13. 如图，点Q在的内部，以点Q为顶点作，使和的两边分别平行，若，则________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．） 14. 用简便方法计算： (1)99×101. (2)752＋252－50×75. 15. 如图，，，DG是∠ADC的角平分线，，求∠B． 请在横线上补全求∠B的度数的解题过程或依据． 证明：是的角平分线，（已知） ，（） ，（已知） ，（） ，（已知） ，（） ，（） ，（） ．（_____） 16. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位，）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为） 根据以上信息，回答下列问题： （1）①这次抽取的学生总人数是 ； ②估计这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长； （2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“家务小能手”，在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 17. 计算： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18. 如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作垂直且交的延长线于点． （1）求证：平分． （2）若，，则与是否平行？请判断并说明理由． B卷 一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 19. 如果ab=2，a+b=3，那么a2+b2=____． 20. 已知，，，，若，则____________． 21. 乐乐可喜欢玩积木了，他有很多棱长为1小立方体，通常他会用胶水将多个小立方体粘合起来成为积木．一天，他先用胶水粘出一个看起来像图中所示的积木，但内部是中空，且内部留出尽可能最大的空心空间的积木，然后他将该积木表面涂上颜色后，又按照粘合处把积木拆开成一个个棱长为1的小立方体，再把这些小立方体装在一个不透明的塑料袋中，请问：如果从塑料袋中的这些小立方体中随意的摸出一个立方体恰好只有一面是涂了颜色的概率是______． 22. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：________． （2）满足条件的整数有且只有4个，则________． 23. 如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒4度和每秒1度的速度同时逆时针旋转，转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在直线垂直时，的值为______． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．） 24. 如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点，且B，G，C在一条直线上，若，，． （1）求的度数． （2）计算的度数是______． （3）连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由． 25. 通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 26. 如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧），若∠1十∠2=180°． （1）求证：： （2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2=120°，求∠FHG的度数． （3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN=120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县东安雄才学校2025年春季学期第二轮月考 初一年级数学试卷 本试卷分为A卷和B卷两部分，卷面总分150分，考试时间为120分钟 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意； B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意； C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意； D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和除法，积的乘方和合并同类项，根据同底数幂乘法和除法，积的乘方和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查余角、补角的运算，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解几何问题是解题的关键．假设出这个角的度数，并表示出这个角的余角和补角的度数，根据题意找出等量关系列出方程求解即可解答本题． 【详解】解：设这个角是，则这个角的余角和补角分别为和，根据题意得：， 解方程，得：， 所以，这个角是． 故选：A． 4. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案． 【详解】解：长方形的面积是，一边长是， 另一边长是， 故选：B． 【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键． 5. 如图，，与交于点E若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据题意，由，得到，结合已知条件，得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的结构特征逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，不能利用平方差公式，故不符合题意； B、，能利用平方差公式，故符合题意； C、，能利用平方差公式，故符合题意； D、，能利用平方差公式，故符合题意； 故选：A． 7. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选： 8. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：，该选项正确，符合题意； ，应为，该选项错误，不符合题意； ，该选项正确，符合题意； ，该选项正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，总分20.0分） 9. 有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：有20件外观相同的产品，其中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为． 故答案为：． 10. 计算：__________________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式除以单项式法则计算即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 如图，立定跳远比赛时，小明从点起跳落在沙坑内处，跳远成绩是米，则小明从起跳点到落脚点的距离______米．（填“大于”“小于”或“等于”）     【答案】大于 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长即可得到答案． 【详解】解：根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，而垂线段又最短，故小明从起跳点到落脚点的距离大于米， 故答案为：大于． 12. 已知，，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，根据原式化为，然后整体代入计算解题． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，点Q在的内部，以点Q为顶点作，使和的两边分别平行，若，则________． 【答案】或125 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ，； 如图，，， ∵， ，； 综上，的度数为或， 故答案为：55或125． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．） 14. 用简便方法计算： (1)99×101. (2)752＋252－50×75. 【答案】(1) 9999；(2) 2500. 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】(1)原式＝(100－1)×(100＋1)＝9999 ； (2)原式＝752－2×25×75＋252= (75－25)2＝2500. 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记公式是解题的关键． 15. 如图，，，DG是∠ADC的角平分线，，求∠B． 请在横线上补全求∠B的度数的解题过程或依据． 证明：是的角平分线，（已知） ，（） ，（已知） ，（） ，（已知） ，（） ，（） ，（） ．（_____） 【答案】；角平分线的定义；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，根据平行线的判定和性质，填写相应的条件和结论，即可．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：是的角平分线（已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （等量代换）， (内错角相等，两直线平行）， (两直线平行，同位角相等)， （等量代换）． 故答案为：；角平分线的定义；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换． 16. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位，）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为） 根据以上信息，回答下列问题： （1）①这次抽取的学生总人数是 ； ②估计这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长； （2）学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“家务小能手”，在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 【答案】（1）①90人；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据样本容量等于频数除以所占百分比计算即可； ②根据加权平均数的公式计算即可； （2）根据简单概率公式计算即可． 本题考查了样本容量的计算，加权平均数的计算，概率的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：①这次抽取的学生总人数是（人）； 故答案为：90人； ②解：C组人数为（人）， 则这些随机抽取的学生每日平均家务劳动时长约为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：在本校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”． 则事件A的概率约为． 17. 计算： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）81 （2）36 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘除法逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法法则，转化成，再整体代入，即可求出． （2）利用同底数幂的乘除法逆运算化简，然后整体代入即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 18. 如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作垂直且交的延长线于点． （1）求证：平分． （2）若，，则与是否平行？请判断并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 平分； （2）平行，理由如下： ， ，则， ， ， ， ，且， ， ， 由（1）可知， ，即， ． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两直线平行内错角相等得到，根据题中条件等量代换得到，即可得证； （2）由垂直定义得到，再由平行线性质得到，结合题中条件得到，从而得到，由平行线的判定即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 B卷 一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 19. 如果ab=2，a+b=3，那么a2+b2=____． 【答案】5． 【解析】 【分析】根据题意可得（a+b）2的展开式中有a2+b2和ab，所以把a2+b2凑成完全平方式的形式，再利用整体代入法，把条件代入即可． 【详解】解：∵ab=2，a+b=3， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣4=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，注意掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要了解完全平方公式里既有a2+b2也有ab，解答此题可用完全平方公式把a+b，ab的值整体代入求解． 20. 已知，，，，若，则____________． 【答案】88° 【解析】 【分析】根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案是： 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21. 乐乐可喜欢玩积木了，他有很多棱长为1小立方体，通常他会用胶水将多个小立方体粘合起来成为积木．一天，他先用胶水粘出一个看起来像图中所示的积木，但内部是中空，且内部留出尽可能最大的空心空间的积木，然后他将该积木表面涂上颜色后，又按照粘合处把积木拆开成一个个棱长为1的小立方体，再把这些小立方体装在一个不透明的塑料袋中，请问：如果从塑料袋中的这些小立方体中随意的摸出一个立方体恰好只有一面是涂了颜色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了长方体中涂色面的小立方块的计算．保留最大的空心时，用实心长方体的总块数减空心长方体的总块数即可．而后用概率公式计算． 【详解】解：共有小立方块：（个）， 只有一个面涂色的小立方块：（个）， 随意的摸出一个立方体恰好只有一面是涂了颜色的概率：． 故答案为：． 22. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：________． （2）满足条件的整数有且只有4个，则________． 【答案】 ①. ＞ ②. 2 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算出和，再求出差即可比较出大小； （2）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 【详解】解：（1）， ， 为正整数， , 故答案为：； （2）由（1）得，， 有4个整数解 这4个整数为5，6，7，8， 为正整数， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握多项式乘多项式、矩形的性质、正方形的性质等知识． 23. 如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒4度和每秒1度的速度同时逆时针旋转，转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在直线垂直时，的值为______． 【答案】25或85 【解析】 【分析】将AC与DF平移至一点，用追击问题的思想，找到等量关系即可求解． 【详解】∵a//b， ∴BC//EF ， 将AC与DF平移至一点，如简图 旋转360°停止 ∵4t=360° ∴t=90s停止 初始角度差为 再AC未追上FD时 解得t=25 AC追上FD后 解得t=85 综上所述：t=85或t=25 故答案为：t=85或t=25 【点睛】此题考查图形旋转的性质，可以看作是追击问题来求解，找到等量关系是解题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．） 24. 如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点，且B，G，C在一条直线上，若，，． （1）求的度数． （2）计算的度数是______． （3）连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查平行线的判定和性质，三角形外角的性质，关键是根据平行线的判定和性质解答． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）延长交于，由平行线的性质得到，进而利用三角形外角的性质解答即可； （3）根据平行线的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ； 【小问2详解】 解：延长交于， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 略 25. 通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9； （2）32 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 26. 如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧），若∠1十∠2=180°． （1）求证：： （2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2=120°，求∠FHG的度数． （3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN=120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角） 【答案】（1） ∵∠1+∠2=180°，∠2+∠EFD=180°， ∴∠1=∠EFD， ∴； （2）120° （3）或∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF=300°． 【解析】 【分析】（1）只需要证明∠1=∠EFD，即可证明； （2）如图2所示，过点H作，则，然后利用角平分线的定义和平行线的性质求解即可； （3）分当点Q在线段FN上时，当点Q在FN的延长线上时，当点Q在线段NF延长线上时，共四种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点H作，则， ∵GH⊥AB，即∠EGH=90°， ∴∠PHG=180°-∠EGH=90°， ∵∠2=120°， ∴EFD=180°-∠2=60°， ∵FH平分∠EFD， ∴∠HFD=30°， ∵， ∴∠PHF=∠HFD=30°， ∴∠FHG=∠PHF+∠PHG=120°； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，当点Q在线段FN上时，过点P作，则， ∴∠EMP=∠MPH，∠PQF=∠HPQ， ∴∠MPQ+∠PMN-∠PQF =∠MPQ-∠HPQ+∠PMN =∠MPH+∠PMN=∠EMP+∠PMN =∠EMN =120°； 如图3-2所示，当Q在NF的延长线上时，过点P作，则， ∴∠EMP=∠MPH，∠PQF+∠HPQ=180°， ∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF =∠MPQ+180°-∠HPQ+∠PMN =∠MPH+∠PMN+180° =∠EMP+∠PMN+180° =∠EMN+180° =300°； 如图3-3所示，当点Q在FN的延长线上时， 同理可得∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°； 如图3-4所示，当点在延长线上且在直线左侧时，过点P作，则， ∴，， ∴ ， 综上所述，或∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF=300°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平分线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $