21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 讲义 知识点梳理 一、根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程（），如果方程的两个根为，，那么有如下关系： ， 例如，对于方程，通过因式分解可得，所以它的两个根，。 此时，根据韦达定理，二次项系数，一次项系数，常数项。 计算两根之和，而； 计算两根之积，而，验证了韦达定理。 二、利用根与系数的关系解题的步骤 （一）确定方程及系数 首先要明确给出的一元二次方程是一般形式（），准确找出、、的值。 （二）根据已知条件和韦达定理建立等式 1.如果已知方程的两个根、，可直接利用，来进行相关计算或推导。 例如，已知方程的两根为、，那么，。 若已知和的值以及方程的其中一个根，还可以求出另一个根。 2.当遇到一些关于两根的代数式求值问题时，通常将代数式进行变形，使其能用和来表示，然后代入计算。 比如，已知方程（）的两根为、，求的值。 我们可以先将变形为，然后根据韦达定理，将，代入计算。 三、根与系数的关系的应用 （一）求方程的根的相关代数式的值 如上述求的值的例子，通过将代数式变形为能用根与系数关系表示的形式，进而求出值。 再比如，求的值，可先通分变形为，然后利用韦达定理代入，求值。 （二）已知两根的关系构造方程 如果已知两根满足某种关系，比如两根之和为某值，两根之积为某值，那么可以根据根与系数的关系来构造一元二次方程。 设所求方程为，由韦达定理可知，，所以方程可构造为。 （三）在实际问题中的应用 在一些实际问题中，若能将问题归结为一元二次方程，且涉及到方程两根的关系时，就可以利用根与系数的关系来解决。 例如，在一个几何图形面积或物理运动等实际问题中，通过设未知数列出一元二次方程，然后根据两根的关系（如两根表示不同的边长、时间等）利用韦达定理进行分析和求解。 四、注意事项 1.韦达定理的应用前提是一元二次方程有两个实数根，所以在使用前要先判断方程的判别式的情况。当时，方程有实数根，此时韦达定理才适用。 2.在利用根与系数的关系进行计算或推导时，要准确找出方程的系数、、的值，避免出现计算错误。 同步练习 一、选择题 1．已知方程 的两根分别为x1，x2，则 的值为(　　). A．1 B．-1 C．2021 D．-2021 2．根为x1，x2，且 则实数 m 的取值范围是(　　). A． B． C． D． 3．若，是方程的两个根，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（　　） A． B．． C． D． 5．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（　　） A．或3 B． C．3 D．或7 6．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为(　　). A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 7．写出一个以和4为根的一元二次方程　 　． 8．设a，b是一元二次方程. 的两根，则 的值为　 　. 9．若m，n 是方程 的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　. 10．已知m，n是方程的两实数根，则　 　 11．设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　 　． 三、解答题 12．关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根x1，x2. （1）求实数k 的取值范围. （2）若方程两实根x1，x2满足 求k 的值. 13．关于x的一元二次方程 （1）证明：方程总有两个不相等的实数根. （2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且 求 m 的值及方程的根. 参考答案 1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．B 7． 8．11 9．0 10．3 11．1 12．（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3>0 解得： （2）解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 解得k=2或k=0(舍去)，故k=2 13．（1）解：∵a=1，b=-(m-3)=3-m，c=-m2， ∴ （2）解：∵，x1+x2=m-3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|-2，即|x1|-|x2|=-2，若x1>0，x2<0，上式化简得：x1+x2=-2，∴m-3=-2，即m=1，方程化为x2+2x-1=0，解得：，x2=-1-2，若x1<0，x2>0，上式化简得：-(x1+x2)=-2，∴x1+x2=m-3=2，即m=5，方程化为x2-2x-25=0，解得：， 学科网（北京）股份有限公司 $$