14.2 三角形全等的判定 课时5 HL 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 课时5 用“斜边、直角边”判定三角形全等 目 录 1. 学习目标 3. 知识点 斜边及一条直角边证全等（HL） 4. 课堂小结 2. 新课导入 5. 当堂小练 CONTENTS 7. 拓展与延伸 6. 对接中考 1. 理解并掌握直角三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容. 2. 熟练利用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等. 3. 通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 知识回顾 1. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写为“边角边”或“SAS”). 2. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写为“角边角”或“ASA”). 3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS”). 4. 三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”). 我们已经学习的三角形全等的判定方法有哪些？ 新课导入 前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形.因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角三角形，满足一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了，如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 新课讲解 知识点 斜边及一条直角边证全等（HL） 思考 (1) 如图，已知AC=A′C′，BC=B′C′，∠B=∠B′，△ABC≌△A′B′C′ 吗？ A B C B′ C′ A′ 我们知道，证明三角形全等不存在“SSA” 定理，所以无法证明△ABC≌△A′B′C′. (2)如果这两个三角形都是直角三角形，能判定△ABC≌△A′B′C′ 吗？ 新课讲解 探究 A B C B′ C′ A′ 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，且A′B′=AB，B′C′=BC，这两个三角形全等吗？ 我们可以用画图的方法. 新课讲解 （1）先画∠DC′E=90°. （2）在射线C′E上截取B′C′=BC. （3）以点B′为圆心，AB为半径作弧，交射线C′D于点A′. （4）连接A′B′. E C′ D A B C B′ A′ 是不是这样的点A′一定会与点A重合呢？ 新课讲解 为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. E (C′) D (B′) A (A') B C ① 设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，则有AB＞BM′＞BM． M 外角的性质. M' 垂线段最短. 在点A下方时，长度<AB. ③ 设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN>AB. 因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点 A′在射线CA上，A′B′=AB，可知点A′与点A重合． 在点A上方时，长度>AB. N 新课讲解 E C′ D B′ A′ A B C △A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合， △A'B'C'与△ABC能够完全重合， 因而△A'B'C'≌△ABC. 新课讲解 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 几何语言： AB=A′B′， BC=B′C′， 结论： A B C A′ B′ C′ 新课讲解 1. 用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”. 2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL ”，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用. 3. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用. 4. 在用一般方法判定两个直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可. 注意 例 新课讲解 1. 如图，AC⊥BC， BD⊥AD，垂足分别为C，D， AC=BD. 求证：BC=AD. A B D C 分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD. 由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C=∠D =90°. 在 Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)， ∴BC=AD. 例 新课讲解 2. 已知：如图14.2-15，点E，F 在线段BD 上，AF ⊥ BD，CE ⊥ BD，AD=CB，DE=BF. 求证：AF=CE． 方法点拨：利用“HL”证明两个直角三角形全等，为证明两条线段相等创造条件. 证明：∵ DE=BF， ∴ DE＋EF=BF＋EF，即DF=BE. 在Rt △ ADF 和Rt △ CBE 中， AD=CB， DF=BE， ∴ Rt △ ADF ≌ Rt △ CBE(HL). ∴ AF=CE. 例 新课讲解 3. 如图，在中，， ，点的坐标为，点的 坐标为 ，则点 的坐标为 ( ) C A. B. C. D. 解：如图，过点作轴于点 ，， ， ， . 在和 中， ， ， . 新课讲解 练一练 1. 如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F，AE=CF. 求证：∠ ACB=90°． 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF. 求证：△ABE≌△CBF. 证明：∵∠ABC=90°∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠CBF=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF， AB=CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF (HL). 新课讲解 练一练 3. 已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90〫，有如下几个条件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′，AB=A′B′；③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，∠A=∠A′. 其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件的个数为（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 根据已经学过的5种判定方法：“SSS”、“SAS”、“ASA” 、“AAS”、“HL”，并结合题目中的已知条件进行判断. D 新课讲解 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA 或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 新课讲解 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 直 角 三 角 形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 课堂小结 直角三角形全等的判定 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 在直角三角形中 内容 “斜边、直角边” 只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 前提条件 使用方法 当堂小练 1. 如图，，， ，根据“”证明 ， 则还要添加的条件是 ( ) B A. B. C. D. 当堂小练 2. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. A C B D 解：∵∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△ABD和Rt△ACD中, AB=AC, AD=AD, 所以Rt△ABD≌Rt△ACD (HL), 所以BD=CD. 当堂小练 3. 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.求证：△ABE≌△CBF. 证明：∵∠ABC=90°，∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠CBF=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF， AB=CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）. C A B E F 当堂小练 4. 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿着两条直线行走，并同时到达D，E两地.DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？ D A B C E 解：相等.理由如下： ∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC. CD=CE ∵同时出发，同时到达，且速度相同， ∴CD=CE. ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴△ACD和△BCE是直角三角形. 在Rt△ACD和Rt△BCE中， AC=BC， CD=CE， ∴ Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）. ∴DA=DB. 当堂小练 5. 如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明. C A B D E F 解：AB//CD，证明如下： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠DFC=90° 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， BE=CF， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴∠B=∠C，∴AB//CD. 当堂小练 6. 如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE. 求证：BC=BE. A F E B C D 证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高， ∴∠ADC=∠AFE =90°. 在 Rt△ADC和Rt△AFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL). AC=AE， AD=AF， ∴CD=EF. 在Rt△ABD和Rt△ABF中， AD=AF， AB=AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴BD=BF. ∴BD-CD=BF-EF. ∴BC=BE. 对接中考 如图，已知， ，， 相交于点 ，给出下列五个结论： ； ； ；； .其中正确结论有 ( ) D A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解析： 在和 中， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③⑤正确； ， ， ，故②正确； 在和中，， ，， ，， ， ， ， ，故④正确. 以上结论都正确. 拓展与延伸 1. 如图，在四边形 中， ，连接对角线，且，点在 边 上，连接，过点作，垂足为，若 . 求证：(1) ；(2) . 解：(1) ， . 在和中， ， ， 即 . (2) 如图，连接 ， 易知 . 在和 中， ， . ， . , . 拓展与延伸 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且PQ=AB.当点P运动到AC上什么位置时，△ABC与△QPA全等？ A B C P M Q 解：①当点P运动到AP=BC的位置时， 在Rt△APQ和Rt△CBA中， PQ=BA， AP=BC， ∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL）. ∴AP=BC=5cm. ②当点P运动到AP=AC的位置时， 在Rt△APQ和Rt△CAB中， PQ=AB， AP=CA， ∴Rt△APQ≌Rt△CAB（HL）. ∴AP=AC=10cm. 综上，当点P运动到使AP=5cm或AP=10cm位置时， △APQ和△CAB全等. 证明：在Rt△ACE和Rt△CBF中， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL)． ∴∠EAC＝∠BCF. ∵易知∠EAC＋∠ACE＝90°， ∴∠ACE＋∠BCF＝90°. ∴∠ACB＝180°－90°＝90°. $$