2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

浙教版（2024）八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习 一、选择题 1.如图，AE∥FD，AE＝FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A.AB＝BC B.EC＝BF C.∠A＝∠D D.AB＝CD 2.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　） A.AB，BC，AC B.AB，BC，∠B C.AB，AC，∠B D.∠A，∠B，BC 3.已知直线a∥b，将以PM，PN为两腰的等腰△PMN的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若∠M＝40°，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A.75° B.70° C.65° D.60° 4.下列给出的条件中，具有（　　）的两个图形一定是全等的． A.形状相同 B.周长相等 C.面积相等 D.能够完全重合 5.下列各组给出的两个图形中，全等的是（　　） A. B. C. D. 6.如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝6cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　） A.7cm B.10cm C.11cm D.22cm 7.下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（　　） A.130° B.125° C.120° D.115° 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 10.四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为60cm2，空白区域所示的小正方形面积为48cm2．将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），则代数式（a﹣b）的值为（　　） A.4 B.6 C.12 D.18 二、填空题 11.如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠C＝∠E，请添加一个条件：　               　，使△ABC≌△ADE． 如图，已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，若，则等于           12. 13.如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，若要使△ACF≌△DBE，则还需要补充一个条件：　      　． 14.如图，宽为50cm的长方形图案由20个全等的直角三角形拼成，其中一个直角三角形的面积为　  　． 15.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠B＝100°．延长线段BC至点D，使CD＝BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当|AM﹣DN|的值最大时，∠ACE的度数为 　   　． 三、解答题 16.如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ABC≌△AED． 17.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC．F是AD的延长线上一点． 求证：（1）∠ABD＝∠ACD； （2）BF＝CF． 18.这是一幅印度著名建筑泰姬陵的图片．从这幅图片中，你观察到哪些图形成轴对称？ 19.如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长． 20.如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点O，设∠Q＝α，∠EHG＝β． ①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值， ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，写出α和β的数量关系并证明：若变化，请说明理由． 浙教版（2024）八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习（参考答案） 一、选择题 1.如图，AE∥FD，AE＝FD，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　） A.AB＝BC B.EC＝BF C.∠A＝∠D D.AB＝CD 【答案】D 【解析】∵AE∥FD， ∴∠A＝∠D， ∵AB＝CD， ∴AC＝BD， 在△AEC和△DFB中， ∴△EAC≌△FDB（SAS）， 故选：D． 2.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　） A.AB，BC，AC B.AB，BC，∠B C.AB，AC，∠B D.∠A，∠B，BC 【答案】C 【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意； C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意； D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意； 故选：C． 3.已知直线a∥b，将以PM，PN为两腰的等腰△PMN的顶点P，N按如图所示的方式分别放在a，b上，若∠M＝40°，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A.75° B.70° C.65° D.60° 【答案】C 【解析】如图，设直线a与MN交于点Q． ∵PM＝PN， ∴∠PNM＝∠M＝40°， ∴∠MPN＝180°﹣∠PNM﹣∠M＝100°． ∵a∥b， ∴∠QPN＝∠1＝35°， ∴∠2＝∠MPN﹣∠QPN＝100°﹣35°＝65°． 故选：C． 4.下列给出的条件中，具有（　　）的两个图形一定是全等的． A.形状相同 B.周长相等 C.面积相等 D.能够完全重合 【答案】D 【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 5.下列各组给出的两个图形中，全等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意； B．本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意； C．本选项中的两个图形，不属于全等图形，不符合题意； D．本选项中的两个图形，属于全等图形，符合题意； 故选：D． 6.如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝6cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　） A.7cm B.10cm C.11cm D.22cm 【答案】C 【解析】∵AB的垂直平分线DE交BC于点D， ∴AD＝BD， ∵AC＝6cm，△ADC的周长为17cm， ∴AD+DC+AC＝17cm， ∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝11cm． 故选：C． 7.下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选项A、B、C的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（　　） A.130° B.125° C.120° D.115° 【答案】D 【解析】在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，∠BAC＝80°， ∴AD⊥BC，∠ACB＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝50°， ∴∠ADB＝90°， ∵BE是角平分线， ∴∠CBO∠ABC＝25°， ∴∠AOB＝∠CBO+∠ADB＝115°， 故选：D． 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∵E是AC的中点， ∴S△CDES△ABC， 则S四边形ABDES△ABC， ∴S△CDE：S四边形ABDE： 1：3． 故选：B． 10.四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为60cm2，空白区域所示的小正方形面积为48cm2．将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），则代数式（a﹣b）的值为（　　） A.4 B.6 C.12 D.18 【答案】B 二、填空题 11.如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠C＝∠E，请添加一个条件：　               　，使△ABC≌△ADE． 【答案】∠BAC＝∠DAE（答案不唯一） 【解析】∵AB＝AD，∠C＝∠E， ∴添加条件∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 添加条件∠BAD＝∠CAE，得出∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 添加条件∠B＝∠ADE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）． 如图，已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，若，则等于           12. 【答案】  【解析】如图，过点作，则， ，，， ． 是等边三角形，， ． 故答案为： 13.如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，若要使△ACF≌△DBE，则还需要补充一个条件：　      　． 【答案】∠E＝∠F 【解析】∵AB＝CD，DE∥AF ∴AC＝DB，∠A＝∠D ∵∠E＝∠F ∴△ACF≌△DBE（AAS） ∴此处添加∠E＝∠F． 14.如图，宽为50cm的长方形图案由20个全等的直角三角形拼成，其中一个直角三角形的面积为　  　． 【答案】200cm2 15.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠B＝100°．延长线段BC至点D，使CD＝BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当|AM﹣DN|的值最大时，∠ACE的度数为 　   　． 【答案】130° 【解析】如图，过点B作BH直线l于点H． ∵DN⊥直线l，BH⊥直线l， ∴∠DNC＝∠BHC， ∵∠DCN＝∠BCH，BC＝CD， ∴△CDN≌△CBH（ASA）， ∴BH＝DN， ∴|AM﹣DN|＝|AM﹣BH|， ∵AM与AB重合时，|AM﹣BM|的值最大， ∴当DN与DP重合，AM与AB重合时，|AM﹣DN|＝|AM﹣BM|的值最大，此时|AM﹣DN|＝AB， ∵∠ABC＝100°， ∴∠CBM＝180°﹣100°＝80°， ∵AM⊥CE， ∴∠AMC＝90°， ∴∠BCM＝90°﹣80°＝10°， 又∵AB＝BC， ∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCM＝180°﹣40°﹣10°＝130°， 故答案为：130°． 三、解答题 16.如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ABC≌△AED． 【答案】证明　∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD． ∵在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（AAS）． 17.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC．F是AD的延长线上一点． 求证：（1）∠ABD＝∠ACD； （2）BF＝CF． 【答案】证明　（1）∵在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（SSS）， ∴∠ABD＝∠ACD； （2）∵在△BAF和△CAF中， ， ∴△BAF≌△CAF（SAS）， ∴BF＝CF． 18.这是一幅印度著名建筑泰姬陵的图片．从这幅图片中，你观察到哪些图形成轴对称？ 【答案】解：如图，两条直线是两条对称轴， 则成轴对称的图形有泰姬陵与水中的倒影成轴对称；泰姬陵左右两边成轴对称；泰姬陵前面的河．   19.如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长． 【答案】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x， ∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分， ∴有两种情况： 1、当3x＝15，且x+y＝12，解得x＝5，y＝7， ∴三边长分别为10，10，7； 2、当x+y＝15且3x＝12时，解得x＝4，y＝11， 此时腰为8， ∴三边长分别为8，8，11； 故△ABC的三边的长为10，10，7或8，8，11． 20.如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点O，设∠Q＝α，∠EHG＝β． ①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值， ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，写出α和β的数量关系并证明：若变化，请说明理由． 【答案】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由： ∵EF平分∠AEG， ∴∠AEF＝∠GEF， 又∵∠EFG＝∠FEG， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴AB∥CD； （2）①∵∠QGE＝20°，GQ是∠EGH的平分线， ∴∠QGH＝∠QGE＝20°． ∵β＝92°， ∴∠HMG＝180°﹣92°﹣20°＝68°， ∵AB∥CD， ∴∠QGF＝∠HMG＝68°， ∴∠EGF＝∠QGF﹣∠QGE＝68°﹣20°＝48°， ∵EG＝FG， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴∠GEF66°， ∴∠Q＝∠GEF﹣∠QGE＝66°﹣20°＝46°； ②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化， ∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH， 又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH， ∴∠FEG∠AEG，∠EGQ∠EGH， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ （∠AEG﹣∠EGH） ∠EHG， 即αβ． 学科网（北京）股份有限公司 $$