21.2.1解一元一次方程---配方法 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版 九年级数学上 21.2.1解一元二次方程 ---配方法 汇报人：WPS 1 学习目标 1.理解配方法的概念. 2.会用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程.(重、难点） 2 (1) 4x2=81 ； (2) (x+5)2=25. 1.用直接开平方法解下列方程. 2.你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 解： 解： 回顾旧知 3 想一想：怎样解方程x2+6x+4=0这样的方程呢？ 前面我们已经会解方程（x+5）2=5，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 那么，能否将x2+6x+4=0转化为(x+n)2=p的形式直接降次求解呢？ 合作探究 4 合作探究 解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 x2+6x+9=-4+9 (x+3)2=5 x+3 = x+3= ，或x+3=- x= -3，或x=- -3 降次 左边写成完全平方形式 两边加上9,使左边配成x2+2bx+b2的形式 移项 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他的数，行吗？ 5 填上适当的数或式，使下列各等式成立. （1）x2+10x+ = ( x + )2 （2）x2-12x+ = ( x- )2 （3）x2+5x+ = ( x+ )2 （4） x2- x+ = ( x- )2 想一想：你发现了什么规律？ 52 5 62 6 填一填： 合作探究 6 一般地，当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式。 填一填： x2+px+( )2=(x+ )2 配方的方法： 合作探究 7 像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程，叫做配方法. 配方法的定义： 配方法解方程的基本思路： 把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 合作探究 8 例1 解下列方程： 分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法. (2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程. (3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方. 典例精析 9 解：移项，得 x2－8x=－1， 配方，得 x2－8x+42=－1+42， ( x－4)2=15 由此可得 即 典例精析 10 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1， 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 典例精析 11 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立， 所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 即 典例精析 12 （3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根。 一般地，如果一个一元二次方程通过配方法转化成（x+n）2=p的形式，那么就有： （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根 x1= x2 = -n； （1）当p＞0时,方程有两个不等的实数根 归纳总结 13 练一练 ：解下列方程： (1)x2+10x+9=0； (2)3x2+6x-4=0； (3)x2+4x-9=2x-11. 解：移项，得x2+10x=－9. 配方，得(x+5)2=16. 开平方，得x+5=±4 解得x1=-1 x2=－9 解：整理得x2+2x= 配方，得(x+1)2= 开平方，得x+1=± 解得 x1= -1+ x2=－1- . 解：整理得x2+2x=－2. 配方，得(x+1)2=-1 所以原方程无实数根. 小试牛刀 14 思考：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1.把常数项移到方程右边； 2.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； 3.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4.原方程变形为（x+n）2=p的形式； 5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解。 合作探究 15 1.解下列方程： （1）x2-x- =0； （2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； 解：x2-x= ， (x- )2=2 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6，x2=-2； 综合演练 16 2.已知代数式x2+2的值与代数式2x+5的值相等，求x的值. 解：根据题意得 x2+2=2x+5 整理得 x2－2x=3， 配方得 (x－1)2=4， 解得 x1=－1，x2=3. 综合演练 17 3、试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－6k＋10 的值必定 大于零. 解：k2－6k＋10=k2－6k＋9＋1 =(k－3)2＋1 因为(k－3)2≥0，所以(k－3)2＋1≥1. 所以k2－6k＋10的值必定大于零. 综合演练 18 4、应用配方法求最值. (1) 2x2 - 8x+9的最小值； (2) -3x2 + 6x -10的最大值. 解：原式 = 2(x - 2)2 +1 当x =2时，有最小值1. 解：原式= -3(x - 1)2 - 7 当x =1时，有最大值-7. 综合演练 19 5.若 ，求(xy)z 的值. 解：整理的，得 由代数式的性质可知 综合演练 20 本节课你有哪些收获？ 1、什么是配方法？ 2、配方法的步骤是什么？ 课堂小结 谢谢 汇报人：WPS 22 $$