第15章 轴对称(考点小卷)-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（人教版2024）

第十五章 轴对称 第十五章 轴对称 D 考点小卷1 轴对称及线段的垂直平分线 ◎满分：60分 得分：_____ 一、选择题(每小题3分，共21分) 1.以下是几种化学物质的结构式图片，其中不属 于轴对称图形的是 ( ) 0O=C H 对苯一酚 助 甲醛 A B C D 2.下列定理中，没有逆定理的是( ) A.两直线平行，同旁内角互补 B.互为相反数的两个数之和为0 C.直角三角形两锐角互余 D.全等三角形的对应角相等 3.下列图形中，对称轴条数最多的是( ) A.圆 B.正方形 C.等边三角形 D.平行四边形 4.通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线 关于法线成轴对称(图①).在图②中，入射光 线经过点P射向镜面EF,则反射后经过的点 是 ( ) 法线K 反 P、 Q 反 p AfBC 射面MC 0 N 射面 -D EC F 4题图① 4题图② A.点D B.点C C.点B D.点A 5.如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，则 ∠B的度数是 ( ) A.30° B.50° C.90° D.100° A !l A' B 50 B B' 309 A C C C' D 5题图 6题图 6.如图，点A,C在线段BD的垂直平分线上.若 AB=3cm,CD=7 cm,则四边形ABCD的周长 是 ( ) A.22cm B.20 cm C.18 cm D.16cm 7.如图，P是△ABC内的一点，若PB=PC,则 ( ) C P A B 7题图 A.点P在∠ABC的平分线上 B.点P在∠ACB的平分线上 C.点P在边AB的垂直平分线上 D.点P在边BC的垂直平分线上 二、填空题(每小题3分，共12分) 8.太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活 的场所.如图是一个太空舱的简易图，它的对 称轴有_______条. C M D A' B *N 8题图 9题图 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,分 别以点A和点B为圆儿，大于-AB的长为半 径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN,交 BC于点D,连接AD.若BD=6,则CD的长为— ____. 10.(浙江杭州期末)按如图所示的方法折纸，则 ∠1+∠2=_ __. A, D A D 沿AE B E C 折叠 B E C 让EC与EB在同一条直线上 A, D A C D F 恢复原形 B/ F 2 B E C 留下折痕 E 10题图 13 全程时习测试卷·八年级数学·上册□ 11.如图，线段AB,BC的垂直平分线相交于点 0,连接OA,OC.若∠AOC=80°,则∠B的度 数为________ A 0 B C 11题图 三、解答题(共27分) 12.(7分)(陕西咸阳期中)如图，在△ABC中， ∠B=∠C,点P,Q,R分别在AB,BC,AC上， 且PB=QC,QB=RC.求证：点Q在PR的垂 直平分线上. A R P B Q C 12题图 13.(8分)如图，已知四边形ABCD与四边形 EFGH关于直线MN 对称，∠ABC=125°,∠A +∠D=155°,AB=3cm,EH=4 cm. (1)试写出EF,AD的长度； (2)求∠G的度数； (3)连接BF,线段BF与直线MN有什么 关系? A M E B F D C G H IN 13题图 14.(12分)如图，已知点P在∠AOB的内部，且 点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q, 点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R, MN分别交OA,OB于点E,F,连接PE,PF. (1)若MN=10,求△PEF的周长； (2)若∠MPN=130°,求∠AOB和∠EPF的 度数； (3)若PM=PN,求证：点P在∠AOB的平分 线上. 0 M E F N AQP| RB 14题图 14 ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 眼即刻扫码 第十五章 轴对称 D 考点小卷2 画轴对称的图形 ◎满分：60分 得分： 一、选择题(每小题3分，共21分) 1.在平面直角坐标系中，点P(22,-23)关于 y轴的对称点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在 第一象限，则a的取值范围是 ( ) A.a>-1 B.a<2 C.-1<a<2 D.-1≤a≤2 3.下面是四名同学作△ABC关于直线MN 对称 的图形，其中正确的是 ( ) M M A' C B B' C B B' C' A A' A N N A B M B' MB' C′ C B C' A' C B A' A A N N C D 4.如图是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部 和平面镜中像的底部连线为x轴，平面镜所在 点的竖线为y轴(镜面厚度忽略不计)建立平 面直角坐标系，某时刻火焰顶部S的坐标是 (-1.5,1),则此时对应的平面镜中像S'的坐 标是 ( ) A.(1.5,-1) B.(1,1.5) C.(1,-1.5) D.(1.5,1) 4y (-1.5,1)S 1 S' -1.50 X 4题图 5题图 5.小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方 子.如图，棋盘中心方子的位置用(-1,0)表 示，左下角方子的位置用(-2,-1)表示.小莹 将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个 轴对称图形，她放的位置是 ( ) A.(-2,0) B.(-1,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 6.如图，在2×4的正方形网格中，△ABC的顶点 都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格 点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点 三角形一共有 ( ) A.2个 B.3个 C.5个 D.7个 A C B 6题图 7.如图，在四边形 ABCD中，请在所给的图形中 进行操作： ①作点A关于BD的对称点P; ②作射线PC交BD于点Q; ③连接AQ. 试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是 ( ) A.∠PCB=∠AQB B.∠PCB<∠AQB C.∠PCB>∠AQB D.以上三种情况都有可能 C D← B A 7题图 二、填空题(每小题3分，共12分) 8.如图所示，有一个英语单词，四个字母都关于 直线l对称，请依据轴对称的知识，写出这个 单词：____ ____. l 8题图 9.若√a-3+(b+4)2=0,则点M(a,b)关于 x轴的对称点的坐标为_____ 10.(成都中考)已知有序数对(a,b)及常数k,我 们称有序数对(ka+b,a-b)为有序数对(a, b)的“k阶结伴数对”.如(3,2)的“1阶结伴 数对”为(1×3+2,3-2),即(5,1).若有序 数对(a,b)(b≠0)与它的“k阶结伴数对”关 于y轴对称，则此时k的值为_________. 15 全程时习测试卷·八年级数学·上册0 11.(山东枣庄期末)如图，在平面直角坐标系中， 对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原 来点A的坐标是(-2,3),则经过第2025次 变换后点A的对应点的坐标为_____. y4 y4 A 第1次 B C 关于y轴对称 0 x 0 第 Y4 第2次 第3次 关于x轴对称 0 X 关于y轴对称 y4 y4 o 第4次x 关于x轴对称 0 X 11题图 三、解答题(共27分) 12.(9分)如图，∠AOB=90°,P为∠AOB内一点. (1)分别作出点P关于OA,OB的对称点P?, P?(不写作法); (2)求证：P?,0,P?三点在同一直线上； (3)若OP=5,则P?P?的长度为________. B? ·P 0 A 12题图 13.(9分)如图，在正方形网格中，每一个小正方 形的边长均为1.格点三角形ABC(顶点是网 格线交点的三角形)的顶点A,C的坐标分别 是(-4,6),(-1,4). (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A?B?C?; (3)直接写出点A?,C?的坐标. AF C B 13题图 14.(9分) (1)如图，在图中画出△ABC关于y轴对称的 △A'B'C′,通过观察对称点的坐标特征， 归纳规律：点(a,b)关于y轴对称的点的 坐标是_____; (2)在图中画出△ABC关于直线 m(直线 m 上各点的横坐标都是1)对称的 △A?B?C?,并直接写出A?,B?,C?三点的 坐标，归纳规律：坐标平面内任意点P(x, y)关于直线m(直线m上各点的横坐标 都是1)对称的点P′的坐标是_____; (3)猜想坐标平面内任意点F(x,y)关于直线 n(直线n上各点的横坐标都是k)对称的 点F'的坐标是______. ↑ym -7 A -65 4 3 B 2 C + -6-5-4-3-2-1 01234 56x =1 =2 =3 14题图 16 第十五章 轴对称 回 考点小卷3 等腰三角形(含30°角的直角三角形) ◎满分：60分 得分： 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.下列说法不正确的是 ( ) A.等腰三角形的底角是锐角 B.等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C.等腰三角形两腰上的高相等 D.等腰三角形的两底角相等 2.如图，C岛在A岛的北偏东 北 35°方向，B岛在A岛的北偏 北 C 东80°方向，C岛在B岛的北 偏西55°方向，则以A,B,C三 BA 岛为顶点组成一个( ) 2题图 A.等腰直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.(重庆沙坪坝区期中)已知一个等腰三角形两 内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶 角的度数是 ( ) A.20°或120° B.30°或120° C.20°或100° D.30°或100° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°, 要求用圆规和无刻度直尺作图，把它分成两个 三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作 法错误的是 ( ) A A D B C B D C A B * A A D 北B2 C B? 下 7D C C D 5.如图，已知AD,BE分别是△ABC 的中线和高，且AB=AC,∠EBC= 20°,则∠BAD的度数是( ) A.18° B.20° C.22.5° D.25° A E B D C 5题图 6.若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹 角为30°,则它的底角是 ( ) A.36° B.60° C.72°或36° D.30°或60° 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AB+BD= AC,则∠B:∠C等于 ( ) A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 A A D/ E B D C B P C 7题图 8题图 8.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰 好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC.若BP =4cm,PD=4√3cm,则CE= ( ) A.(2+2√3)cm B.(2+4√3)cm C.2√3cm D.4√3cm 二、填空题(每小题3分，共9分) 9.检测房梁是否水平，可以采用下面的方法：在 等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳 的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴 在房梁上，若线绳经过三角尺的直角顶点，则 可以判断房梁是水平的.这样做的根据是 A 0 A B D 0 E C B C 9题图 10题图 10.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线 交于点0,过点0作DE//BC,分别交AB,AC 于点D,E.若△ADE的周长是7,△ABC的周 长是12,则BC的长度是_________. 11.已知一张三角形纸片ABC(如图①),其中AB =AC.将纸片沿过点B的直线折叠，使点C 落到AB边上的点E处，折痕为BD(如图 ②).再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A 17 全程时习测试卷·八年级数学·上册 恰好与点D重合，折痕为EF(如图③).原三角 形纸片ABC中，∠ABC的度数为_________. A A A E人 E F D D B C B C B C 11题图① 11题图② 11题图③ 三、解答题(共27分) 12.(8分)如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB 上的点，BD与CE相交于点0,现有以下条 件：①OB=OC;②∠EBO=∠DCO;③OE= OD.请从中选择两个作为已知条件，求证： △ABC是等腰三角形. A E D 0 B C 12题图 13.(9分)如图，在等边△ABC中，CD⊥AB,E为 BC上一点，连接DE,过点D作DF⊥DE交 CB的延长线于点F.已知 DF=DC,求证：CF =3BE. A D F B E C 13题图 18 14.(10分)已知，在等边三角形ABC中，点E在 AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC. 【特殊情况，探索结论】 (1)如图①,当E为AB的中点时，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结 论：AE_____DB(选填“>”“<”或 “=”); 【特例启发，解答题目】 (2)如图②,当E为AB边上任意一点时，请 写出线段AE与DB的数量关系并说明 理由. A E D B C 14题图① A E DB C 14题图② ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 眼即刻扫码 第十五章 轴对称 回 重难点提升小卷1 等腰三角形中的全等问题 ◎满分：60分 得分：_ 一、选择题(每小题3分，共21分) 1.(沧州中考)如图，已知△ABC≌△DEF,点E 在AC上，点B,F,C,D在同一条直线上.若 LA=40°,∠DFE=75°,则下列判断不正确的 是 ( ) A.AB=DE B.EF=CE C.∠CED=45° D.∠B=65° A D E A E 0 B2 F C D B ? 1题图 2题图 2.如图，△ABD,△AEC都是等边三角形，连接 DC,BE,两线交于点0,则∠BOC的度数是 ( ) A.135° B.125° C.120° D.110° 3.黑板上有一个不完整的题目：如图，在△ABC 中，D是BC的中点.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别为E,F,BE=CF.数学兴趣小组的两位同学 发表了自己的观点.小明：△ABC是等腰三角 形.小红：若∠A=60°,则AE=3BE.对于他们 两人的观点 ( ) A.只有小明对 B.只有小红对 C.两人都对 D.两人都错 A D A E E F B D C B C 3题图 4题图 4.如图，在四边形ABCD中，AC=BC=BD,AC1 BD于点E.若AB=6,则△ABD的面积是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 5.如图，在等边三角形 ABC中，D为线段BC上 一点，以线段DB为边向右侧作△DEB,使DE =DC.若∠ADB=m°,∠BDE=(180-2m)°, 则∠DBE的度数为 ( ) C A.(m-60)° D B.(180-2m)° E C.(2m-90)° D.(120-m)° A B 5题图 6.已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°, AB=AC,D为BC的中点.若E,F分别为AB, CA延长线上的点，且BE=AF,则△DEF的形 状为 ( ) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 A F A E B F? D 官 D C E C 6题图 7题图 7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12,BC= DC,∠A=60°,点E在AD上，连接BD,CE相 交于点F,CE//AB.若CE=9,则CF的长为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(每小题3分，共9分) 8.如图，在△ABC中，AB=BC=CA,MP⊥AB,NM ⊥BC,PN⊥AC,判断△PMN是_______三角 形，若AB=9cm,则MC=_____. A A N D/P5 Q B M BZC P C 8题图 9题图 9.如图，在△ABC中，AB=AC=12 cm,∠B= ∠C,BC=8cm,D为AB的中点.点P在线段 BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同 时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.若 点Q的运动速度为v cm/s,则当△BPD与 △CQP全等时，v的值为_____. 10.如图，△ABC和△ADE均为 E 等腰直角三角形，且点C, D,E在同一条直线上，连接 众 A D BD,BE,则以下四个结论： ①BD = CE;②∠ACE +B C ∠DBC=45°;③BD⊥CE; 10题图 ④∠BAE+∠DAC=180°.其中正确的结论有 ______.(请填写序号) 19 全程时习测试卷·八年级数学·上册0 三、解答题(共30分) 11.(9分)(福建泉州期中)如图，在△ABC中， AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于点D,E是 AD上一点，且EA=EC,求证：EB⊥AB. B D E A C 11题图 12.(9分)如图，在△ABC中，AD为中线，E为AB 上一点，AD,CE交于点F,且AE=EF.求证： AB=CF. A E F B D C 12题图 20 13.(12分)在△ABC中，AB=AC,BC=8,点M 从点B出发沿射线BA移动，同时点N从点C 出发沿线段AC的延长线移动，点M,N移动 的速度相同，MN与BC相交于点D. (1)如图①,过点M作ME//AC,交BC于点 E.求证：△DME≌△DNC; (2)如图②,过点M作MF⊥BC于点F,在点 M从点B向点A(点M不与点A,B重合) 移动的过程中，线段BF与CD的长度和 是否保持不变?若保持不变，请直接写 出线段BF与CD的长度和；若改变，请说 明理由. A M BF D C N 13 题图② A M B ED C N 13题图① 第十五章 轴对称 D 重难点提升小卷2 最短路径问题 ◎满分：60分 得分：_ 一、选择题(每小题3分，共18分) 1.如图，直线l外有不重合的两点A,B,在直线l 上求作一点C,使AC+BC的值最小，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B';②连接 AB′,与直线l相交于点C,则点C为所求作的 点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方 法是 ( ) A.转化思想 B.三角形两边的和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意 一个内角 A A、 B N M C B D C 1题图 2题图 2.如图，在等边△ABC中，AB=2,N为AB上一 点，且AN=1,△BAC的平分线交BC于点D, M是AD上的动点，连接BM,MN.若AD=√3, 则BM+MN的最小值是 ( ) A.√3 B.2 C.1 D.3 3.如图，在平面直角坐标系中，点 y? A A,B的坐标分别为(1,5)和(4, 0),C是y轴上的一个动点，且 cK A,B,C三点不在同一条直线 上.当△ABC的周长最小时，点 0 BX C的坐标是 ( ) 3题图 A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,0) 4.如图，直线l?,l?表示一条河的两岸，且l?//l?. 现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互 垂直),使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路 程最短，应该选择路线 ( ) .Q QF l FL? EP l? E -l?P- 路线：PF→FQ 路线：PE→EQ A B .Q Q F P. l F l? E l? E l? P P 路线：PE→EF→FQ 路线：PE→EF→FQ C D 5.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6,△ABC的 面积为18,BD平分∠ABC,若E,F分别是BD, BC上的动点，则CE+EF的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 A A D E E M F B F C B D C 5题图 6题图 6.如图，等腰三角形底边BC的长为6,面积是 24,腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,交 AB于点E,D是BC的中点，M是线段EF上一 动点，连接BM,DM,AD,则△BDM的周长最小 值为 ( ) A.5 B.8 C.11 D.14 二、填空题(每小题3分，共9分) 7.如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM=8, 射线CD⊥BC,垂足为C,P是射线CD上一个 动点，N是线段AB上一个动点，当MP+NP的 值最小时，BN=9,则AC的长是________ A D N B P N P B M C 0 M A 7题图 8题图 8.如图，P是∠AOB内任意一点，OP=6cm,M和 N分别是射线 OA和射线 OB上的动点， △PMN周长的最小值是6cm,则∠AOB的度 数是______ B 9.如图，△ABC是等边三角形，D 为边AC的中点，BD=12cm,P 为中线BD上的动点，则PC+ P PB的最小值是______. A D C9题图 21 全程时习测试卷·八年级数学·上册 三、解答题(共33分) 10.(8分)如图，平面直角坐标系中有两点 P(2,3),Q(3,4). (1)在y轴上画出一点M,使得MP+MQ的 值最小； (2)在x轴上画出一点N,使得NQ-NP的值 最大. y4 7 6 5 4 3 P Q 2 4-3-2-1. 01.2134.56x 10题图 11.(8分)如图，l?表示草地的边界，l?表示小河 的河岸，在草地与河岸之间有A,B两地，某养 殖户从A地赶了几只羊到草地l?放羊，然后 再到小河l?饮水，之后回到B地.假设该养 殖户赶着羊走的都是直路，请你为他设计一 条最短的路线，标明放羊与饮水的位置(不写 作法). 草地 L? A' ·B I? 小河 11题图 12.(8分)如图，牧马人从A地出发，到一条笔直 的河边m饮马，然后到位于直线l上的草场 上喂马，最后回到B地，请帮他设计一条路 线，使其行走的路程最短. m A B l 12题图 13.(9分)如图，在△ABC中，∠B=90°,∠ACB =30°,CD平分∠ACB,P,Q分别是AC,DC 上的动点，连接PQ,AQ,若AC=8,求AQ+ PQ的最小值. A P D Q B C 13题图 22 ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 眼即刻扫码 全程时习测试卷·八年级数学·上册 ∴5=8-3t,3t=at,解得t=1,a=3; 若△BDP≌△CQP,则BP=CP,BD=CQ, ∴3t=8-3t,5=at,解得1t=3,a=15 由8-3t>0,得1<8⋯t=1或；t=3均符合题意. 综上所述，a=3,t=1或(a=15,=3 考点小卷2 三角形全等的判定 1.B 2.D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C [解析]在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD= 90°,∴∠DCE=90°,∴ ∠A=∠B=∠DCE.∵AB=CD, ∴分两种情况：①当△ABF≌△DCE时，BF=CE,点F 在BC上运动.由题意，得BF=2t,∴ 2t=2,解得t=1; ②当△BAF≌△DCE时，AF=CE,点F在AD上运动.由 题意，得AF=16-2t,∴16-2t=2,解得t=7.综上所 述，以A,B,F三点为顶点构成的三角形与△DCE全等 时，t的值为1或7.故选C. 9.SSS(或边边边)10.(0,2)或(0,-2)11.①③④ 12.解：如答图，过点C作CD⊥x轴于点D, 则∠BDC=∠AOB=90°. y4 ∵∠ABC=90°, ∴∠CBD=∠BAO=90°-∠ABO. A 在△BDC和△AOB中， [∠BDC=∠AOB, C ZCBD=∠BAO, BC=AB, 0 B Dx ∴△BDC≌△AOB(AAS). 12题答图 ∵A(0,3),B(1,0), ∴DB=OA=3,DC=OB=1,∴OD=DB+OB=3+1=4, ∴点C的坐标是(4,1). 13.(1)证明：∵AC=BD,∴AC+CD=BD+CD,即AD=BC. 在△ADE和△BCF中，二 ∴△ADE≌△BCF(SSS). (2)解：CE//DF.理由如下： 由(1)可知△ADE≌△BCF,∴∠A=∠B. 在△ACE和△BDF中，=n ∴△ACE≌△BDF(SAS),.∠ACE=∠BDF, ∴180°-∠ACE=180°-∠BDF, 即∠ECD=∠CDF,:CE//DF. 14.解：(1)①== ②∠α+∠BCA=180° 证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠α. ∵∠BCA=180°-∠α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA. ∵∠ACF+∠BCE=∠BCA,∠CBE=∠ACF. ∵CB=CA,∠BEC=∠CFA,∴△BCE≌△CAF, ∴BE=CF,CE=AF.∵EF=CF-CE,∴EF=BE-AF. (2)EF=BE+AF. 考点小卷3 角的平分线 1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.22.5 10.8 11.30 12.解：(1)4 (2)如答图，点P即为所求.(答案不唯一) C a b 12题答图 13.解：(1)AP是∠BAC的平分线. 理由如下：∵OD=OE,FD=FE,AF=AF, ∴△ADF≌△AEF,∴∠DAF=∠EAF, ∴AP是∠BAC的平分线. F A C H E 0 D GB 13题答图 14题答图 14.(1)证明：如答图所示，过点E作EF⊥OA于点F,EG1 OB于点G,EH⊥CD于点H. 由题意可知OE平分∠AOB,CE平分∠ACD, ∴EF=EG,EF=EH,∴EF=EG=EH, 即点E到三边OA,OB,CD所在直线的距离相等. (2)如答图，过点P作PG⊥AC于点G. ∵AP平分∠BAC,PQ⊥AB,PG⊥AC,∴PG=PQ=4. SAmne=S△mp+ S△ce=-AB·PQ+—AC·PG=32, ∴AB=9. AX(0) DX Q E F G B TP c (2)解：∵∠BDE是△ODE的外角， ∠CDB是△OCD的外角， ∴∠OED=∠BDE-∠EOD,∠OCD=∠CDB-∠COD. 由(1)知EG=EH,EG⊥OB,EH⊥CD, DE平分∠CDB,∠BDE=2∠CDB. OE平分∠AOB,..∠EOD=—∠AOB, ∠OED=∠BDE-∠EOD= —∠CDB-2∠AOB =÷(∠CDB-∠AOB)=—∠OCD, ∴∠OCD=2∠OED=60°,∴∠ACD=120°. 又·CE平分∠ACD,:∠DCE=—∠ACD=60° 重难点提升小卷 利用全等三角形解决实际问题 1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.1.2m 9.SSS 10.58° 11.解：0分别为AB,CD的中点 BD=AC 证明：∵0分别为AB,CD的中点，∴OB=OA,OD=0C. ∵∠BOD=∠AOC,∴ △BOD≌△AOC,..BD=AC. 12.(1)证明：∵OB⊥OC,∴∠BOD+∠COE=90°. ∵CE⊥OA,BD⊥OA,∴∠CEO=∠ODB=90°, ∴∠BOD+∠B=90°,∴∠COE=∠B. ∵OC=OB,∴△COE≌△OBD,∴OE=BD. (2)解：∵△COE≌△OBD,∴ CE=OD=15 cm,OE= BD=8cm,∴DE=OD-OE=7 cm. 第十五章 轴对称 考点小卷1 轴对称及线段的垂直平分线 1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.2 9.3 10.90 11.40° 12.证明：如答图，连接PQ,RQ. 在△BQP和△CRQ中， ∴△BQP≌△CRQ(SAS), ∴PQ=RQ, ∴点Q在PR的垂直平分线上. A R Pk B Q C 12题答图 42 参考答案及解析 D 13.解：(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN 对称，∴ EF=AB=3cm,AD=EH=4 cm. (2)∵∠ABC=125°,∠A+∠D=155°, ∴∠C=80°,∴∠G=∠C=80°. (3)∵对称轴垂直平分对应点所连的线段， ∴直线MN垂直平分线段BF. 14.(1)解：∵点P与点M关于OA对称，点P与点N关于 OB对称，∴ME=PE,FN=PF. ∵MN=10, ∴C△PEP=PE+PF+EF=ME+FN+EF=MN=10. (2)解：∵点P与点M关于OA 对称，点P与点N关于 OB对称，∴∠OQP=∠ORP=90°,∠M=∠MPE,∠N =∠FPN.∵∠MPN=130°,∴∠AOB=360°-∠OQP -∠ORP-∠MPN=50°,∠M+∠N=180°-∠MPN =50°,∴∠MPE+∠FPN=∠M+∠N=50°,∴∠EPF =∠MPN-(∠MPE+∠FPN)=80°. (3)证明：∵点P与点M关于OA 对称，点P与点N关 于OB对称，PQ= —PM,PR= —PN. ∵PM=PN,∴PQ=PR.∵PQ⊥0A,PR⊥OB, ∴OP平分∠AOB,即点P在∠AOB的平分线上. 考点小卷2 画轴对称的图形 1.C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.B0OK9.(3,4) 10一 11.(2,3)[解析]点A第1次关于y轴对称后的对应点 在第一象限，坐标为(2,3),第2次关于x轴对称后的 对应点在第四象限，坐标为(2,-3),第3次关于y轴 对称后的对应点在第三象限，坐标为(-2,-3),第4 次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为(-2, 3),即点A回到了原始位置，∴每4次对称变换为一个 循环.∵2025÷4=506⋯⋯1,∴ 经过第2025次变换 后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一 象限，坐标为(2,3). B P?· +P 0 A P? 12题答图 12.(1)解：如答图所示. (2)证明：连接OP,OP?,OP?. ∵点P关于OA,OB的对称点分别 是P?,P?,∠AOP=∠AOP?, ∠BOP=∠BOP?. ∵∠AOB=90°,∴∠AOP+∠BOP =90°,∴∠AOP+∠AOP?+∠BOP+ ∠BOP?=180°,即∠P?OP?=180°, ∴P?,0,P?三点在同一直线上. (3)解：10 13.解：(1)平面直角坐标系如答图所示. (2)△A?B?C?如答图所示. (3)点A?的坐标是(-4,-6),点C?的坐标是(-1,-4). y Ai C B 莫 OH 第 c 13题答图 14.解：(1)△A'B'C′如答图所示.(-a,b) (2)△A?B?C?如答图所示， A?(5,5),B?(6,2),C?(4,1).(2-x,y) (3)(2k-x,y) ↑y m -7 6 A 5 A A 4 3 B -2 B B? C 计 C” C —6—5-4-3-2-1 012134 56 =1 =2 =3 14题答图 考点小卷3 等腰三角形(含30°角的直角三角形) 1.B 2.A 3.A 4.B 5.B 6.D 7.A 8.A 9.等腰三角形底边上的中线、高重合(也可回答“三线合一”) 10.5 11.72 12.解：选择条件①②,证明如下： ∵OB=0C,∴∠OBC=∠OCB. ∵∠EBO=∠DCO,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB,∴. AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形.(答案不唯一) 13.证明：∵CD⊥AB,DF⊥DE,∴ ∠BDC=∠EDF=90°. ∵DF=DC,∴△DFC为等腰三角形，∴∠DFE=∠DCB. 在△DEF和△DBC中， ∴△DEF≌△DBC(ASA),∴DE=DB. ∵△ABC为等边三角形，.∠DBE=60°,AB=BC=AC, ∴△DBE为等边三角形，∴BE=DB. CD⊥AB,AD=DB=—AB,⋯.BE=—AB= BC, BE=EC. BC=EF,BE=—EF,BF=BE, ∴CF=BF+BE+EC=3BE. 14.解：(1)= (2)AE=DB. 理由：过点E作EF//BC,交AC于点F, 则∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°, ∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF=AF. ∵AB=AC,∴ BE=CF.∵ED=EC,∴ ∠D=∠BCE. ∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D, ∠ECF=∠ACB-∠BCE=60°-∠BCE, ∴∠DEB=∠ECF,∴△DBE≌△EFC, ∴DB=EF,∴AE=DB. 重难点提升小卷1 等腰三角形中的全等问题 1.C 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.等边 3cm 9.2或3 10.①②③④ [解析]∵△ABC和△ADE均为等腰直角 三角形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°, ∠ABC= ∠ACB=45°,∴∠BAC+∠CAD= ∠DAE+ ∠CAD,即∠BAD = ∠CAE.在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE,∴ △ABD≌△ACE(SAS),∴ BD= AD=AE, CE,故①正确；∵ △ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE, 43 全程时习测试卷·八年级数学·上册 ∵∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°,故 ②正确；∵∠BDE=∠DBC+∠BCD=∠DBC+∠ACE +∠ACB=∠DBC+∠ABD+∠ACB=∠ABC+∠ACB =90°,∴BD⊥CE,故③正确；∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAE+∠DAC=360°-∠DAE-∠BAC=180°,故 ④正确.综上所述，正确的结论有①②③④. 11.证明：如答图，过点E作EF⊥AC于点F. B D E A 五 11题答图 C ∵EA=EC, AF=FC=2AC ∵AC=2AB,∴ AF=AB. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. 在△BAE和△FAE中，E1。 ∴△BAE≌△FAE(SAS),∴∠ABE=∠AFE=90°, ∴EB⊥AB. 12.证明：如答图，延长AD到点E’,使 DE′=AD,连接CE'. ∵ BD=CD,∠BDA=∠CDE′, AD=DE′,∴△ABD≌△E'CD, ∴AB=CE′,∠BAD=∠DE'C. ∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA. ∵∠EFA=∠E'FC, ∴∠E'FC=∠DE'C, ∴CF=E'C,∴AB=CF. A E F B D c F' 12题答图 13.(1)证明：∵ME//AC, ∴∠ACB=∠MEB,∠DME=∠N. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠MEB,∴ BM=EM. 根据题意，可得BM=CN,∴EM=CN. ∵∠MDE=∠NDC,∴△DME≌△DNC. (2)解：线段BF与CD的长度和保持不变，BF+CD=4. 重难点提升小卷2 最短路径问题 1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.C 7.13 8.30°9.12cm 10.解：(1)如答图，点M即为所求. (2)如答图，点V即为所求. y 7 6 5 ÷4M Q P 32 P N -4-3-2-1. 0123456x 10题答图 11.解：如答图，AC,CD,BD是他走的最短路线，放羊的位 置为C点，饮水的位置为D点. E 草地 C 放羊 L A'A2 m C D 饮水 B A l 12题答图 12.解：行走路程最短的路线如答图A→C→D→B所示. 13.解：如答图，过点P作关于CD的对称点P',连接AP', QP′,∴CP=CP'. ∵CD平分∠ACB, ∴∠PCD=∠P'CQ. 小河 11题答图 D I? B B'F 在△CPQ和△CP'Q中， PeC. ∴△CPQ≌△CP′Q(SAS), ∴QP=QP′, ∴要求AQ+PQ的最小值，只要 A P D Q B P' C 13题答图 求出AQ+QP′的最小值，即AP′的最小值， ∴当AP′⊥BC时，AP′的值最小， 即点Q与点D重合，点P'与点B重合，最小值为AB的长. ∵在△ABC中，∠B=90°,∠ACB=30°,AC=8, ∴AB=4,∴AQ+QP的最小值为4. 第十六章 整式的乘法 考点小卷1 幂的运算 1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.A 8.D 9.x2·x?(答案不唯一)10.-2a2b3 11.0 12.9 13.解：(1)原式=-x2·(-x3)·x?=x?. (2)原式=a?+(-8a?)=a?-8a?=-7a?. (3)原式=x?+x?-4x?=-2x?. (4)原式=64x?y12-27x?y12=37x?y12. 14.解：关卡一：∵4?=22?=6,2°=3, ∴230+2b=23×22?=(2")3×22?=33×6=162. 关卡二：∵3°=1,3=3,3°=9, ∴3°×3?×3°=3“+b+c=27=33,∴a+b+c=3. 关卡三：∵a”=2,b2=3, ∴(ab)2?+(a2b?)"=a2"b2+a2”64 =(a")2·b2?+(a")2·(b2)2=22×3+22×32=48. 15.解：(1)∵2×4*×8?=221, ∴2×(22)*×(23)*=221, ∴2×22?×23?=21+2x+3x=21+5=221, ∴1+5x=21,解得x=4,∴x的值为4. (2)∵3+2×5“+2=153-4,∴(3×5)a+2=153-4, ∴15“+2=153-4,∴a+2=3a-4,解得a=3, ∴a的值为3. 16.解：(1)< (2)a=3?=(3?)1=243",b=4?=(4?)1=256', c=533=(53)"=125. ∵125<243<256,:1251<243"1<256", 即533<3??<44,c<a<b. 考点小卷2 整式的乘法 1.C 2.A 3.A 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.-20x?10.35m211.-3 12.解：(1)原式=(-a3b3+2a?b2)÷a2b2=-ab+2a3. (2)原式=3x2+7x-6-(x2+3x-4)=2x2+4x-2. 将x=-5代入，得2×(-5)2+4×(-5)-2=28. 13.解：(1)二 括号前是负号，去括号时未变号 (2)原式=6x2+2xy+9xy+3y2-(6x3y+6x2y2)÷2x2 =6x2+11xy+3y2-(3xy+3y2)=6x2+11xy+3y2- 3xy-3y2=6x2+8xy. 14.解：(1)由甲抄错了a的符号得到的结果是2x2-7x+ 3,得(x-a)(2x+b)=2x2+(-2a+b)x-ab=2x2- 7x+3,∴-2a+b=-7,-ab=3. 由乙漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2 +2x-3,得(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+ 2x-3,∴a+b=2,ab=-3, {a+b=2,-7,’解得{=31 (2)(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3. 44