专项巩固训练卷(4)等腰三角形与最短路径问题-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（人教版2024）

全程时习测试卷·八年级数学·上册 ∵AE⊥BD,∴∠AEB=∠FEB=90°. ∵BE=BE,∴ △ABE≌△FBE, ∴AE=FE,∴AF=2AE,∴ BD=2AE. y4 C. F B DE 0 Ax y C N Bk M D E 0 Ax 26题答图③ 26题答图④ (ii)解：∠BEC的大小不变.理由： 如答图④,过点C作CM⊥BD于点M,CN⊥AE,交AE的 延长线于点N, 则∠BMC=∠ANC=90°. ∵AE⊥BD,∴∠BEN=90°. 由(3)(i)可知，∠CBD=∠CAE,又∵AC=BC, ∴△BCM≌△ACN, ∴CM=CN,∴EC平分∠BEN, ∠BEC=—∠BEN=2×90°=45°, ∴∠BEC的大小不变，为45°. 专项巩固训练卷(四) 等腰三角形与最短路径问题 1.C 2.解：①当(2x-2)°角和(3x-5)°角是两个底角时， 2x-2=3x-5,解得x=3, ∴三个内角分别是4°,4°,172°; ②当(2x-2)°角是顶角时，2x-2+2(3x-5)=180, 解得x=24, ∴三个内角分别是46°,67°,67°; ③当(3x-5)°角是顶角时，3x-5+2(2x-2)=180, 解得x=27, ∴三个内角分别是76°,52°,52°. 综上，这个等腰三角形三个内角的度数分别为4°,4°,172° 或46°,67°,67°或76°,52°,52°. 3.解：(1)设底边长为acm,则腰长为2a cm. ∵等腰三角形的周长是25cm, ∴2a+2a+a=25,∴a=5,∴2a=10, ∴等腰三角形的三边长为10cm,10cm,5 cm. (2)①若底边长为6cm, 则腰长为(25-6)÷2=9.5(cm), ∴三边长为6cm,9.5cm,9.5cm,此时能构成三角形； ②若腰长为6cm,则底边长为25-6×2=13(cm), ∴三边长为6cm,6 cm,13 cm,此时不能构成三角形. 因此其他两边长为9.5cm,9.5 cm. 4.解：设AB=AC=x cm,BC=ycm. ∵AB+AC+BC=27 cm,∴2x+y=27. ∵BD是AC边上的中线，∴ AD=CD. 当C△ABD-C△CBD=3cm时，即x-y=3, -+-=27解得,=1 即AB=AC=10cm,BC=7 cm. 当C△CBD-CABD=3cm时，即y-x=3, 2--=327解得{=1. 即AB=AC=8cm,BC=11cm. 综上所述，△ABC各边的长为10 cm,10 cm,7 cm或8cm, 8cm,11 cm. 5.解：如答图①,当高BD在△ABC内部时， ∠ABD=50°,∠ADB=90°,则∠A=40°. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°; A D B C D A A B C 5题答图① 5题答图② 如答图②,当高BD在△ABC外部时， ∠ABD=50°,∠ADB=90°, 则∠DAB=40°,∴∠BAC=140°. ∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=20°. 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数是70°或20°. 6.解：分三种情况：①当点E在线段AC上时， AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(180°-∠BAC) ∵DE垂直平分AB, ∴EA=EB,∴∠ABE=∠BAC. ∵∠EBC+∠ABE=∠ABC, 42°+∠BAC=—(180°-∠BAC), 解得∠BAC=32°; ②当点E在线段CA的延长线上时，同理可得 42°-(180°-∠BAC)=2(180°-∠BAC), 解得∠BAC=152°; ③当点E在线段AC的延长线上时，同理可得 ∠BAC-42°=—(180°-∠BAC), 解得∠BAC=88°. 综上所述，∠BAC的度数为32°或152°或88°. 7.解：①如答图①,作OM//AB交AD于点M,易得 DM=AM=2,△OMF≌△OBE, ∴BE=MF=2-1=1; D M 0 F A B D M 0 E AF B E 7题答图① 7题答图② ②如答图②,作OM//AB交AD于点M,同①可求得BE=3. 综上，BE的长为1或3. 8.证明：如答图，过点D作AF的平行线交BC于点G, ∴∠ECF=∠EGD,∠DGB=∠ACB. ∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC=∠DGB,∴ DG=BD. ∵ BD=CF,∴DG=FC. 在△DGE和△FCE中， A D B CG E F 8题答图 ∴△DGE≌△FCE(AAS), ∴DE=EF. 9.(1)解：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC. ∵AD//EF,∴∠DAC=∠F,∠BAD=∠FGA, ∴∠F=∠FGA,∴AG=AF. ∵CF=6,AG=2,∴AC=CF-AF=CF-AG=6-2=4. ·14· 参考答案及解析 (2)证明：如答图，作CM//AB交FE的延长线于点M. ∵ BG//CM,∠B=∠MCE. ∵E是BC的中点，∴BE=EC. 在△BEG和△CEM中， F A G 2 B E D ℃ M ∴△BEG≌△CEM(ASA),∴BG=CM. 9题答图 ∵AD//EF,∴∠1=∠FGA,∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠F=∠FGA. ∵AB//CM,∴∠FGA=∠M,∴∠F=∠M, ∴CF=CM,. BG=CF. 10.证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵AD是∠BAC的平分线， A ∴∠BAD=∠CAD. ∵∠DFE=∠B+∠BAD, D ∠DAE=∠EAC+∠CAD, ∠B=∠EAC, B F C E ∴∠DFE=∠DAE,∴AE=FE. 10题答图 ∵ED⊥AD,∴DE平分∠AEB. 11.(1)证明：如答图①,在BC上截取BD=BA. ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE. 在△ABE和△DBE中， ∴△ABE≌△DBE(SAS), ∴∠A=∠BDE=108°. ∵AB=AC, ∴∠C=∠ABC=36°,∠EDC=72°, ∴∠CED=72°,∴CE=CD, ∴BC=BD+CD=AB+CE. A 108 E B D C AH 100° E B F C 11题答图① 11题答图② (2)解：结论：BC=BE+AE.理由：如答图②,在BA,BC上分 别截取BF=BE,BH=BE,连接HE,EF, 则△EBH≌△EBF,∴EF=EH. ∵∠BAC=100°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=40°, ∴∠EBA=∠EBC=20°, ∴∠BFE=∠H=∠EAH=80°, ∴AE=EH. ∵∠BFE=∠C+∠FEC, ∴∠CEF=∠C=40°, ∴EF=CF,∴BC=BF+CF=BE+AE. 12.证明：如答图，在EB上截取EF= AE,连接AF, 设∠BED=2α, ∴∠FAE=∠AFE=α, ∴∠AEC=∠AFB. ∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=2α, ∠ABE+∠BAD=∠BED=2α, A E F B D C 12题答图 ∴∠CAE=∠ABE. 在△ABF和△CAE中， ∴△ABF≌△CAE(AAS), ∴ BF=AE=EF, ∴BE=2AE. 13.C [解析]如答图，作点F关于AD的对称点F',连接 EF', 则EF'=EF,过点B作BH⊥AC于点H.∵AB=AC,AD⊥BC, ∴CD=BD=3,∴点F'在AC上.∵EF′=EF,∴BE+EF=BE +EF',根据垂线段最短可知，当B,E,F'共线，且点F′与点H 重合时，BE+EF的值最小，最小值是线段BH的长.∵S△ABC =2·BC·AD=2AC·BH,BH=24,BE+EF的最小 值为25故选C. A H F F" E B D C A E F B D C 13题答图 14题答图 14.C [解析]如答图，过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F, 此时EF+CF取得最小值.∵△ABC是等边三角形，∴ AE= EC,∴ BE垂直平分AC,∴AF=FC,∴ ∠FAC=∠FCA.∵AD 是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD=∠CAD=30°, ∴∠ECF=30°.故选C. 15.(1)证明：连接AD,如答图. ∵点A关于BN的对称点为D, ∴BN垂直平分AD,∴ BA=BD,CA=CD. 在△BAC和△BDC中， ∴△BAC≌△BDC(SSS), ∴∠BAC=∠BDC. A B C -N E D 15题答图 (2)解：∵△BAC≌△BDC, ∴∠DBN=∠ABN=60°,∴∠ABD=120°. ∵BE=BA,BA=BD,∴BE=BD,∴.∠E=∠BDE. ∵∠ABD=∠E+∠BDE,∴∠E=∠BDE=60°, ∴△BDE为等边三角形，∴DE=BE=12. 由(1)知，BN垂直平分AD, ∴PA=PD,∴PE+PD=PE+PA. ∵PE+PA≥AE(当且仅当点P,A,E共线时取等号), 二点P运动到点B时，PE+PA即PE+PD的值最小， 最小值为24, ∴△PDE的周长最小时，点P与点B重合， △PDE周长的最小值为24+12=36. 期中综合测试卷 1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B [解析]∵∠AOB=∠COD=α,∴∠AOB+∠BOC= ∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD 中，6 A0 Aoc △so5)起 ·15· 见此图标眼即刻扫码分层训练 助力学习进阶 专项巩固训练卷(四) 西 等腰三角形与最短路径问题 ?类型一 与等腰三角形有关的分类讨论 角度1 与角度有关的分类讨论 1.若等腰三角形的一个内角是40°,则这个等腰三角形的其他内角的 度数为 ( ) A.40°,100° B.70°,70° C.40°,100°或70°,70° D.以上都不对 2.已知一个等腰三角形的两个内角分别为(2x-2)°和(3x-5)°,求 这个等腰三角形各内角的度数. 角度2 与边有关的分类讨论 3.一个等腰三角形的周长为25cm. (1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长； (2)已知其中一边的长为6cm,求其他两边的长. 角度3 与中线有关的分类讨论 4.在△ABC中，AB=AC,周长为27 cm,且AC边上的中线BD把 △ABC分成周长差为3 cm的两个三角形.求△ABC各边的长. 角度4 与高有关的分类讨论 5.(广西南宁期末)一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 50°,求这个等腰三角形的底角的度数. 角度5 与线段垂直平分有关的分类讨论 6.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC 于点E.若∠EBC=42°,求∠BAC的度数. 角度6 与点的位置有关的分类讨论 7.已知0为等边三角形ABD的边BD的中点，AB=4,E,F分别为射 线AB,DA上的动点，且∠EOF=120°.若AF=1,求BE的长. ?类型二 构造等腰三角形的常用方法 方法1 利用“平行线”构造 8.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点F在AC的延长线 上，且BD=CF,连接DF交BC于点E.求证：DE=EF. A D/ C B E F 8题图 方法2 利用“角平分线+平行线”构造 9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D,E是BC边的中 点，线段EF//AD交线段AB于点G,交线段CA的延长线于点F. (1)若CF=6,AG=2,求AC的长； (2)求证：BG=CF. F G A B E D C 9题图 ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 即刻扫码 八年级数学 上册 第 19 页 见此图标眼即刻扫码分层训练 助力学习进阶 方法3 利用“角平分线+垂线”构造 10.已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC,ED⊥AD于点 D.求证：DE平分∠AEB. A D B C E 10题图 方法4 利用“截长补短”构造 11.已知在△ABC中，AB=AC,BE平分∠ABC交边AC于点E. (1)如图①,当∠BAC=108°时，求证：BC=AB+CE; (2)如图②,当∠BAC=100°时，(1)中的结论还成立吗?若不成 立，是否有其他两条线段之和等于BC;若有请写出结论并完 成证明. A A 108° E 100° E B C B C 11题图① 11题图② 方法5 利用“倍角关系”构造 12.如图，已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边 BC于点D,连 接BE,CE,∠BED=∠BAC=2∠DEC.若AC=AB,求证：BE =2AE. A E B D C 12题图 ?类型三 最短路径问题 13.如图，等腰△ABC中，AB=AC,E是高AD上任一点，F是腰AB上 任一点，AC=5,BD=3,AD=4,那么BE+EF的最小值是( ) A.5 B.3 c24 D2 A A E F E Fk B D C B D C 13题图 14题图 14.新考法如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上 的动点，E是AC边上的动点，当EF+CF取得最小值时，∠ECF 的度数为 ( ) A.15° B.22.5° C.30° D.45° 15.如图，∠ABN=60°,C为射线 BN上一定点，E为线段AB延长线 上一定点，且BE=AB=12,点A关于BN的对称点为D. (1)证明：∠BAC=∠BDC; (2)若P为直线 BC上一个动点，求△PDE的周长最小时，点P 所在的位置，并求出△PDE周长的最小值. BA C -N E D 15题图 八年级数学 上册 第 20 页