第15章 轴对称能力提优测试卷-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（人教版2024）

全程时习测试卷·八年级数学·上册 (2)解：△AOD是直角三角形. 理由：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°. ∵△BOC≌△ADC,α=150°, ∴∠ADC=∠BOC=150°, ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°, ∴△AOD是直角三角形. (3)解：∵△OCD是等边三角形， ∴∠COD=∠ODC=60°. ∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α, ∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°- α-60°=190°-α, ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°, ∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)- (α-60°)=50°. ①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°, ∴α=125°; ②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°, ∴α=140°; ③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°, ∴α=110°. 综上，当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形. 第十五章 轴对称 能力提优测试卷 1.B 2.C 3.D 4.D 5.C 6.D 7.A 8.C 9.D 10.B [解析]如答图，过点P作PD//AB交AC于点D,过点 P作PE//AC交AB于点E,易得△AEP≌△PDA,∴DP= AE.∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°. ∵PD//AB,∴ ∠CPD=∠B=60°,∠CDP=∠BAC=60°, ∴△CDP为等边三角形，∴ CP=DP=CD,CP=DP= AE.∵PE//AC,∴∠BEP=∠BAC=60°,∠BPE=∠C= 60°,∴△BEP为等边三角形，∴ BP=EP=BE,∴ △AEP 就是以线段AP,BP,CP的长为边长的三角形.∵∠APC= 104°,∴∠APB=180°-∠APC=76°,∴∠APE=∠APB- ∠BPE=16°,∠PAE=∠APC-∠B=44°,∠AEP=180°- ∠BEP=120°,∴以线段AP,BP,CP的长为边长的三角形 的三个内角分别为16°,44°,120°,∴最小内角的大小 为16°. A E D B P C 10题答图 11.34°12.34°13.80°14.6 15.45 16.130° 17.或4 18.9 [解析]如答图，连接AM,AD.∵在 A △ABC中，AB=AC,D是BC边的中 点，∴ AD⊥BC,CD=4,∴ SABC = M E BC·AD=×8×AD=20,,解得B F D C 18题答图 AD=5.∵EF垂直平分AC,∴AM=CM, ∴△CDM的周长为CM+MD+CD=AM+MD+CD.当A, M,D三点共线时，AM+MD的值最小，即当最小值为AD 的长时，△MCD的周长最小，为AD+CD=5+4=9. 19.(1)证明：∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠DBE=∠EBC. ∵DB=DE,∴∠DBE=∠DEB, ∴∠EBC=∠DEB,∴DE//BC. (2)解：∵∠A=36°,AB=AC, ∠ABC=∠ACB=—(180°-∠A)=72° ∵BE是∠ABC的平分线， ∠DBE=∠EBC=—∠ABC=2×72°=36°, ∴∠BEC=∠A+∠DBE=36°+36°=72°. 20.解：(1)△A'B'C′如答图所示. 4y A. A' 4P ek e 2 5 B| 0B' 5 x 2- 20题答图 (2)A'(1,5),B'(1,0),C'(4,3). (3)如答图所示，点P即为所求. 21.解：选择方法一. 证明：在边AB上取一点D,使得BD=BC,连接CD. ∴∠BCD=∠BDC. ∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°, ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°,BC=CD, ∴∠ACD=90°-∠BCD=30°,∴CD=AD, ∴BC=AD=BD,即BC=2AB. 「 或选择方法二. 证明：延长BC到点D,使得CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD=180°-∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ACD. ∵AC=AC, ∴△ACB≌△ACD,∴ AB=AD. ∵∠BAC=30°,∴ ∠B=60°, ∴△ABD是等边三角形，∴ AB=BD, BC= BD=—AB.] 22.解：(1)如答图①所示，点0即为所求. B、 大 M 0 梦 C N 大 A BP D 大 M 0 C NE 头 A 22题答图① 22题答图② (2)AP=AN.理由如下： 如答图②,过点0作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E. 由作图过程可知，A0平分∠BAC, ∴OD=OE. ∵ON=OM,OM=OP,∴ON=OP. ·12· 参考答案及解析 在Rt△OPD和 Rt△ONE中， {OD=0B, ∴ Rt△OPD≌Rt△ONE(HL), ∴∠OPD=∠ONE, ∴AP=AN. 23.(1)证明：∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ACD. ∵DE//BC,∴∠BCD=∠EDC,∴∠EDC=∠ACD, ∴ED=EC,∴△CDE是等腰三角形. (2)解：∵DE//BC,∠ABC=30°, ∴∠ADE=∠ABC=30°. ∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE=30°, ∴∠ACD=∠BCD=∠CDE=30°. ∵BF=DF,:∠B=∠BDF=30°, ∴∠DFC=30°+30°=60°, ∴∠FDC=180°-30°-60°=90°. 在Rt△DFC中，∠FDC=90°,∠FCD=30°, DF=FC 又∵DF=BF,BC=12, DF=3BC=3×12=4. 24.解：(1)∵△ABC是边长为9的等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=9. ∵PQ//AC, ∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°, ∴∠B=∠BQP=∠BPQ, ∴△BPQ是等边三角形，∴BP=BQ. 由题意可知AP=t, ∴BP=9-t. 又∵BQ=6,∴9-t=6,解得t=3, ∴当t的值为3时，PQ//AC. (2)①当点Q在边BC上时，如题图②,此时，△APQ不可 能为等边三角形； ②如答图，当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形， 则AP=AQ, 由题意可知，AP=t,BC+CQ=2t, ∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)=9+9-2t=18-2t, 即18-2t=t,解得t=6, ∴当t=6时，△APQ为等边三角形. A PA Q B C 24题答图 25.解：(1)①∵∠FAD=∠CAB=90°, ∠FAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD, ∴∠FAC=∠DAB. 又∵FA=DA,CA=BA, ∴△FAC≌△DAB, ∴CF=BD,∠FCA=∠DBA, ∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°, 即FC⊥CB, ∴ CF=BD且CF⊥BD. ②①中的结论仍然成立.如答图①. 理由如下：∵∠FAD=∠CAB=90°, ∠FAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC, ∴∠FAC=∠DAB. 又∵FA=DA,CA=BA, ∴△FAC≌△DAB, ∴CF=BD,∠FCA=∠DBA, ∴∠FCB=∠FCA+∠ACB=∠DBA+∠ACB=90°, 即FC⊥CB, ∴CF=BD且CF⊥BD. D C A B F 25题答图① C F D E A B 25题答图② (2)如答图②,过点A作AE⊥AC交BC于点E, 则△CAE为等腰直角三角形. 由(1)中①,得FC⊥CE, ∴FC⊥BC. 26.(1)解：∵Ix-61+(y-2)2=0, ∴x-6=0,y-2=0, ∴x=6,y=2, ∴A(6,0),B(0,2), ∴OA=6,0B=2, SAo=-0A·OB=2×6×2=6. (2)解：C(4,4)或(2,-2). [解析]分两种情况：①如答图①,点C在第一象限时，过 点C作CG⊥y轴于点G,过点A作AF⊥GC,交GC的延长 线于点F,则AF=OG=OB+BG=2+BG,GF=OA=6, ∠CGB=∠AFC=90°,∴∠BCG+∠CBG=90°.∵∠ACB =90°,∴∠BCG+∠ACF=90°,∴∠CBG= ∠ACF. 又∵BC=CA,∴ △CBG≌△ACF,∴ BG=CF,CG=AF. 又∵AF=OG=2+BG,GF=OA=6,∴2+BG+BG=6, ∴BG=2,∴OG=2+2=4,∴CG=4,∴点C的坐标为 (4,4); y G C F B Bk A 0 实 0 AX G C F 26题答图① 26题答图② ②如答图②,点C在第四象限时，过点C作CG⊥y轴于点 G,过点A作 AF⊥GC,交GC的延长线于点F.同①得 △CBG≌△ACF,∴ BG=CF,CG=AF=OG=BG-OB= BG-2.∵CG+CF=GF=OA=6,∴ BG-2+BG=6,∴ BG =4,∴OG=BG-BO=4-2=2,∴点C的坐标为(2, -2).综上所述，点C的坐标为(4,4)或(2,-2). (3)(i)证明：如答图③,延长BC,AE交于点F. ∵AE⊥BE,∴∠AEB=90°. ∵∠ACB=90°,∴ ∠ACB=∠AEB. 又∵∠BDC=∠ADE,∴∠CBD=∠CAE. 又∵BC=AC,∴△BCD≌△ACF,∴BD=AF. ∵BD平分∠ABC,∠ABE=∠FBE. ·13· 全程时习测试卷·八年级数学·上册 ∵AE⊥BD,∴∠AEB=∠FEB=90°. ∵BE=BE,∴ △ABE≌△FBE, ∴AE=FE,∴AF=2AE,∴ BD=2AE. y4 C. F B DE 0 Ax y C N Bk M D E 0 Ax 26题答图③ 26题答图④ (ii)解：∠BEC的大小不变.理由： 如答图④,过点C作CM⊥BD于点M,CN⊥AE,交AE的 延长线于点N, 则∠BMC=∠ANC=90°. ∵AE⊥BD,∴∠BEN=90°. 由(3)(i)可知，∠CBD=∠CAE,又∵AC=BC, ∴△BCM≌△ACN, ∴CM=CN,∴EC平分∠BEN, ∠BEC=—∠BEN=2×90°=45°, ∴∠BEC的大小不变，为45°. 专项巩固训练卷(四) 等腰三角形与最短路径问题 1.C 2.解：①当(2x-2)°角和(3x-5)°角是两个底角时， 2x-2=3x-5,解得x=3, ∴三个内角分别是4°,4°,172°; ②当(2x-2)°角是顶角时，2x-2+2(3x-5)=180, 解得x=24, ∴三个内角分别是46°,67°,67°; ③当(3x-5)°角是顶角时，3x-5+2(2x-2)=180, 解得x=27, ∴三个内角分别是76°,52°,52°. 综上，这个等腰三角形三个内角的度数分别为4°,4°,172° 或46°,67°,67°或76°,52°,52°. 3.解：(1)设底边长为acm,则腰长为2a cm. ∵等腰三角形的周长是25cm, ∴2a+2a+a=25,∴a=5,∴2a=10, ∴等腰三角形的三边长为10cm,10cm,5 cm. (2)①若底边长为6cm, 则腰长为(25-6)÷2=9.5(cm), ∴三边长为6cm,9.5cm,9.5cm,此时能构成三角形； ②若腰长为6cm,则底边长为25-6×2=13(cm), ∴三边长为6cm,6 cm,13 cm,此时不能构成三角形. 因此其他两边长为9.5cm,9.5 cm. 4.解：设AB=AC=x cm,BC=ycm. ∵AB+AC+BC=27 cm,∴2x+y=27. ∵BD是AC边上的中线，∴ AD=CD. 当C△ABD-C△CBD=3cm时，即x-y=3, -+-=27解得,=1 即AB=AC=10cm,BC=7 cm. 当C△CBD-CABD=3cm时，即y-x=3, 2--=327解得{=1. 即AB=AC=8cm,BC=11cm. 综上所述，△ABC各边的长为10 cm,10 cm,7 cm或8cm, 8cm,11 cm. 5.解：如答图①,当高BD在△ABC内部时， ∠ABD=50°,∠ADB=90°,则∠A=40°. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°; A D B C D A A B C 5题答图① 5题答图② 如答图②,当高BD在△ABC外部时， ∠ABD=50°,∠ADB=90°, 则∠DAB=40°,∴∠BAC=140°. ∵AB=AC,∠ABC=∠ACB=20°. 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数是70°或20°. 6.解：分三种情况：①当点E在线段AC上时， AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(180°-∠BAC) ∵DE垂直平分AB, ∴EA=EB,∴∠ABE=∠BAC. ∵∠EBC+∠ABE=∠ABC, 42°+∠BAC=—(180°-∠BAC), 解得∠BAC=32°; ②当点E在线段CA的延长线上时，同理可得 42°-(180°-∠BAC)=2(180°-∠BAC), 解得∠BAC=152°; ③当点E在线段AC的延长线上时，同理可得 ∠BAC-42°=—(180°-∠BAC), 解得∠BAC=88°. 综上所述，∠BAC的度数为32°或152°或88°. 7.解：①如答图①,作OM//AB交AD于点M,易得 DM=AM=2,△OMF≌△OBE, ∴BE=MF=2-1=1; D M 0 F A B D M 0 E AF B E 7题答图① 7题答图② ②如答图②,作OM//AB交AD于点M,同①可求得BE=3. 综上，BE的长为1或3. 8.证明：如答图，过点D作AF的平行线交BC于点G, ∴∠ECF=∠EGD,∠DGB=∠ACB. ∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC=∠DGB,∴ DG=BD. ∵ BD=CF,∴DG=FC. 在△DGE和△FCE中， A D B CG E F 8题答图 ∴△DGE≌△FCE(AAS), ∴DE=EF. 9.(1)解：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC. ∵AD//EF,∴∠DAC=∠F,∠BAD=∠FGA, ∴∠F=∠FGA,∴AG=AF. ∵CF=6,AG=2,∴AC=CF-AF=CF-AG=6-2=4. ·14· 见此图标目眼即刻扫码 分层训练 助力学习进阶 第十五章 轴对称 考号 班级 ⋯⋯装⋯订⋯⋯⋯ 姓名 非 线⋯⋯⋯⋯内⋯⋯⋯⋯⋯不⋯⋯⋯⋯⋯要⋯⋯⋯答⋯⋯⋯⋯题⋯ 径XLESHENG 能力提优测试卷 ·时间：120分钟·满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A B C D 答题卡 2.已知点A(x,5)与点B(1,y)关于y轴对称，则x+1的值为( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 3.(北京顺义区期末)在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称 为格点.已知线段AB是等腰三角形△ABC的一边，△ABC的三个 顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ( ) A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 B A IA A C D B B(C) D y1 A B P EP E F 3题图 5题图① 5题图② 7题图 4.在等腰△ABC中，∠A与∠B的度数之比是5:2,则∠A的度数是 ( ) A.100° B.75° C.150° D.75°或100° 5.小亮用一张长方形纸片折纸飞机，经过第一次折叠得到了如图① 关于直线AD对称的图形，经过第二次折叠得到了如图②关于直线 AB对称的图形，则∠1的度数为 ( ) A.35° B.40° C.45° D.50° 6.下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的 对应边相等；③同位角相等，两直线平行.其中有逆定理的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.(广东深圳期末)如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”,∠E =45°,∠B=30°,AC//EF,CA=CF,连接AF,则∠BAF的度数是 ( ) A.127.5° B.135° C.120° D.105° 8.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于 点H,EF⊥AB于点F,则下列结论不正确的是 ( ) A.∠ACD=∠B B.CE=EF C.CH=HD D.AC=AF C H E A D F B 8题图 A D Ek 0 B F C 9题图 9.如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处， 折痕为EF,0为折痕EF上一动点.若AD=2,AB=5,则△OCD周 长的最小值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 10.(滨州中考)已知P是等边△ABC的边 BC上的一点，若∠APC= 104°,则在以线段AP,BP,CP的长为边长的三角形中，最小内角 的大小为 ( ) A.14° B.16° C.24° D.26° 二、填空题(每小题3分，共24分) 11.如图，在△ABC中，D是边 BC上的一点.若AB=AD=DC,∠BAD =44°,则∠C的度数为_______ A A A F E B D C B ID C B D C 11题图 12题图 13题图 12.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于 点D,连接 AD.若∠B=40°,∠C = 36°,则∠DAC的大小 为_____ 13.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在AC上， 且∠CDE=20°,现将△CDE沿直线DE折叠得到△FDE,连接 BF,则∠BFE的度数是_______ 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=75°,AD⊥BC于点D,点D 关于AB,AC对称的点分别为E,F,连接EF分别交AB,AC于点 M,N,分别连接DM,DN,若AD=6,则△DMN的周长为______ 4 A D E- M W F P B D C B E C 14题图 15题图 15.(湖北武汉期末)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC 的垂直平分线PE交于点P,垂足分别为D,E,连接PA,PB,PC, 若∠PAD=45°,则∠ABC=_______。. 16.(黑龙江哈尔滨期中)如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点 A′处，过点B作BD//AC交A'C于点D,若∠A'BC=30°,∠BDC =140°,则∠A的度数为________ A C B* DA' A E M B FD C 16题图 18题图 17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个 等腰三角形的“特征值”.若在等腰△ABC中，∠A=80°,则它的 特征值k=_____ 18.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，EF垂直平分AC,交 AC于点E,交BC于点F,M是EF上一点，连接CM,DM,若BC= 8,S△ABC=20,则△MCD周长的最小值为______ 三、解答题(共66分) 19.(6分)如图，△ABC的平分线BE交AC于点E,点D在AB上，且 DB=DE. (1)求证：DE//BC; (2)若∠A=36°,AB=AC,求∠BEC的度数. A D/ E B C 19题图 20.(7分)(广东东莞期末)如图，已知在平面直角坐标系中，A(-1, 5),B(-1,0),C(-4,3). (1)作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'; (2)写出点A’,B',C′的坐标； (3)在y轴上找一点P,使PA+PC的长最短. ↑y A.6- 4 +e< 2- —5— B_ 0 5 x 2 20题图 八年级数学 上册 第 17 页 见此图标眼即刻扫码分层训练 助力学习进阶 21.(7分)同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，如果一个 锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个定理. 下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明. 已知：如图①,在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,求证：BC=—AB 方法一：如图②,在边AB上取一点D,使得BD=BC,连接CD. 方法二：如图③,延长BC到点D,使得CD=BC,连接AD. 从以上两种方法中选择一种，并完成证明. A A A D C B C B D C B 21题图① 21题图② 21题图③ 22.(8分)如图，M,N分别是射线AB,AC上的点，连接MN. (1)在∠BAC内作一点0,使得点0到AB,AC的距离相等，且点 0到点M,N的距离相等(要求：尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹); (2)在(1)的条件下，连接0M,ON,延长NO交AB于点P,若0M =OP,试判断AP与AN的数量关系并说明理由. B、 M C N A 22题图 23.(8分)(湖南长沙期末)在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB 于点D,DE//BC. (1)如图①,求证：△CDE是等腰三角形； (2)如图②,DE平分∠ADC,∠ABC=30°,在BC边上取点F使 BF=DF,若BC=12,求DF的长. A D E B C 23题图① D E B F C 23题图② 24.(8分)在边长为9的等边三角形ABC中，Q是BC上一点，P是 AB上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动， 设运动时间为t秒. (1)如图①,若BQ=6,PQ//AC,求t的值； (2)如图②,若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单 位长度的速度从点B经点C向点A运动(当点P到达点B 时，两点同时停止运动),求：当t为何值时，△APQ为等边三 角形. A P B Q C 24题图② A P B Q C 24题图① 25.(10分)如图①,在△ABC中，∠ACB为锐角，D为射线 BC上一 动点，连接AD,以AD为直角边，点A为直角顶点，在AD左侧作 等腰直角三角形ADF,连接CF. (1)若AB=AC,∠BAC=90°. ①当点D在线段BC上时(不与点B重合),试探究CF和BD 的数量关系与位置关系； ②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成 立?请在图②中画出相应的图形，并说明理由； (2)如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,∠BCA=45°,点D在线段 BC上运动，试探究CF与BC的位置关系. C C C F< F D D A B A B A B 25题图① 25题图② 25题图③ 26.(12分)[核心素养](湖南长沙期中)如图①,在平面直角坐标系 中，已知点A(x,0),B(0,y),且x,y满足Ix-61+(y-2)2=0. (1)求△AOB的面积； (2)以AB为斜边构造等腰直角△ABC,请直接写出点C的坐标； (3)如图②,已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D是 腰AC上的一点(不与点A,C重合),连接BD,过点A作AEI BD,交BD延长线于点E. (i)若BD平分∠ABC,求证：BD=2AE; (ii)探究：如图③,连接CE,当点D在线段AC上运动时(不 与A,C重合),∠BEC的大小是否发生变化?若改变， 求出它的最大值；若不改变，求出这个定值. y4 y4 C y C B Bk DE Bk D E 0 Ax 0 A× 0 A x 26题图① 26题图② 26题图③ ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 八年级数学 上册 第 18 页 即刻扫码