专项巩固训练卷(2)构造全等三角形的常用方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（人教版2024）

见此图标眼即刻扫码 分层训练 助力学习进阶 专项巩固训练卷(二) 能径XLESHENG 构造全等三角形的常用方法 ?方法一 翻折法 1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE,垂足为D.求 证：∠2=∠1+∠C. 2 DBE B C 1题图 ?方法二 补形法 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D为BC的中点，CF1 AD于点E,交AB于点F,连接DF.求证：∠ADC=∠BDF. A E F C D B 2题图 ?方法三 旋转法 3.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE+DF=EF.求∠EAF的度数. A D F B E c 3题图 ?方法四 作垂线法 4.(河南南阳期中)如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且BE =AC.求证：∠BED=∠CAD. E B D C 4题图 八年级数学 上册 第 11 页 5. 新 考法已知四边形 ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AC平分 ∠BAD,过点C作AB的垂线交AB于点E.求证：AE=—(AB+AD). D C A E B 5题图 ?方法五 作平行线法 6.如 图，△ABC中，∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于 点 P,BQ平分∠ABC交AC于点Q.求证：AB+BP=BQ+AQ. B P A Q C 6题图 ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 即刻扫码 见此图标眼即刻扫码 ?方法六 倍长中线法 分层训练 助力学习进阶 7.如图，CE,CB分别是△ABC与△ADC的中线，且AB=AC.求证：CD =2CE. C A E B D 7题图 8.如图，在△ABC中，D为BC的中点. (1)求证：AB+AC>2AD; (2)若AB=6,AC=2,求AD的取值范围. A B D C 8题图 ?方法七 截长补短法 9.如图，四边形ABDC中，AC//BD,点E在CD上，AE平分∠CAB,BE 平分∠DBA. 求证：(1)AB=AC+BD; (2)AE⊥BE. A 9题图 10.新考法如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,直线1经 过点A且绕点A在△ABC所在平面内转动，作BD⊥l,CE⊥1,D, E为垂足. (1)如图①,求证：DA+DB=2DE; (2)在图②和图③中，(1)的结论是否成立?若成立，请说明理 由；若不成立，直接写出DE,DA,DB三条线段的数量关系. l A A A E D D E B C E B C D B C 10题图① 10题图② 10题图③ 八年级数学 上册 第 12 页 参考答案及解析 理由如下： ∵RV=RW,RT=RU,∠TRW=∠URV, ∴△TRW≌△URV, ∴∠RTW=∠RUV,∠RWT=∠RVU, ∴180°-∠RWT=180°-∠RVU,即∠UWX=∠TVX. ∵RT-RV=RU-RW,即VT=WU, ∴△VTX≌△WUX,∴VX=WX.∵RX=RX, ∴△RVX≌△RWX,∴∠VRX=∠WRX, ∴射线 RX是∠QRS的平分线. 25.解：(1)PF=PE. 理由：如答图①,过点P作PM⊥0B于点M,PN⊥OA于点N. ∵OC平分∠AOB,PM⊥OB,PN⊥OA, ∴PM=PN,∠PMO=∠PNO=∠MON=90°, ∴∠MPN=360°-3×90°=90°, ∴∠MPN=∠EPF=90°, ∴∠NPM-∠EPM=∠EPF-∠EPM, 即∠MPF=∠NPE. 在△PMF和△PNE中， ∴△PMF≌△PNE(ASA),∴PF=PE. A C W P E[ F 0° M B 25题答图① (2)PE=PF. A E /C P N FO M B 25题答图② 理由：如答图②,过点P作PM⊥0B于点M,PN⊥OA于点N. ∵OC平分∠AOB,PM⊥OB,PN⊥OA,∴PM=PN. ∵∠PMO=∠PNO=90°,∠MON=120°, ∴∠MPN=360°-2×90°-120°=60°, ∴∠MPN=∠EPF,∴∠MPN-∠NPF=∠EPF-∠NPF, 即∠MPF=∠NPE. 在△PMF和△PNE中， ∴△PMF≌△PNE(ASA), ∴PF=PE. 26.(1)解：15°[解析]如答图①所示，由题意，得∠D=30°, ∠DEF=90°,△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°, ∴∠CAE=90°-45°=45°.∵∠CAE=∠D+∠1,∴∠1= ∠CAE-∠D=45°-30°=15°. D A G B E FC 26题答图① C F G M A(D) B E 26题答图② (2)证明：∵△ABC和△DEF均是等腰直角三角形，点A 与点D重合， ∴∠BAC=∠EAF=90°,AB=AC,AE=AF, ∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE, 即∠BAE=∠CAF. 在△ABE和△ACF中， 2u ∴△ABE≌△ACF(SAS),∴∠AEB=∠AFC. 又∵∠AGF=∠CGE,∴∠GCE=∠GAF=90°, ∴CF⊥BE. (3)证明：如答图②,设AF与CE相交于点M, 由题意可知△ABC与△DEF均为等腰直角三角形，且点A 与点D重合， ∴AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°, ∴∠BAC+∠CAF=∠EAF+∠CAF, ∴∠BAF=∠CAE. 在△ABF和△ACE中， ∴△ABF≌△ACE(SAS), ∴∠BFA=∠CEA. ∵∠FGM = 180°-∠BFA-∠GMF,∠MAE = 180°- ∠CEA-∠AME,∠GMF=∠AME, ∴∠FGM=∠MAE=90°,即BF⊥CE. 专项巩固训练卷(二) 构造全等三角形的常用方法 1.证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵ BD⊥AD, ∴∠ADB=∠BDF=90°. 在△ABD和△FBD中， A 2 D E B F C 1题答图 ∴△ABD≌△FBD(ASA), ∴∠2=∠DFB. 又∵∠DFB=∠1+∠C, ∴∠2=∠1+∠C. 2.证明：如答图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G,则 ∠CBG=90°. ∵∠ACB=90°,∠2+∠ACF=90°. ∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°, ∴∠1+∠ACF=180°-∠AEC=180°-90°=90°, ∴∠1=∠2. A 在△ACD和△CBG中，cc E GE2 ∴△ACD≌△CBG(ASA), C D B 2题答图 ∴∠ADC=∠G,CD=BG. ∵D为BC的中点， ∴CD=BD,∴ BD=BG. ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠DBF=45°. ·7· 全程时习测试卷·八年级数学·上册 又∵∠DBG=90°, ∴∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°-45°=45°, ∴∠DBF=∠GBF. 在△BDF和△BGF中， ∴△BDF≌△BGF(SAS), ∴∠BDF=∠G,∴∠ADC=∠BDF. 3.解：如答图，延长CB到点H,使得BH=DF,连接AH. ∵∠ABE=90°,∠D=90°, ∴∠D=∠ABH=90°. 在△ABH和△ADF中，, A DFH B E C3题答图 ∴△ABH≌△ADF(SAS), ∴AH=AF,∠BAH=∠DAF, ∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF, 即∠HAF=∠BAD=90°. ∵BE+DF=EF, ∴BE+BH=EF,即HE=EF. 在△AEH和△AEF中，- ∴△AEH≌△AEF(SSS), ∴∠EAH=∠EAF, ∠EAF=—LHAF=45° 4.证明：如答图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作BG⊥ AD,交AD的延长线于点G. ∵CF⊥AD,BG⊥AD,∴∠G=∠CFD=90°. ∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD. A 又∵∠BDG=∠CDF, ∴△BDG≌△CDF, E ∴BG=CF. F C B 在Rt△BGE和Rt△CFA中， D C G BE=CF. 4题答图 ∴ Rt△BGE≌Rt△CFA(HL), ∴∠BED=∠CAD. 5.证明：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M,如答图. ∵CM⊥AD,CE⊥AB, ∴∠M=∠AEC=∠CEB=90°. ∵AC平分∠BAD,CM⊥AD,CE⊥AB, M D C A E B ∴CM=CE,∠MAC=∠EAC. 在△MAC和△EAC中， ∴△MAC≌△EAC(AAS), 5题答图 ∴AM=AE. ∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDM=180°, ∴∠B=∠CDM, ∴在△DMC和△BEC中， ∴△DMC≌△BEC(AAS),∴ BE=DM, ∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=AE+AM=2AE, 即AE=2(4B+AD) 6.证明：∵∠BAC=60°,∠C=40°,∴ ∠ABC=80°. ∵BQ平分∠ABC,:∠CBQ= 2∠ABC= 2×80°=40°, ∴∠CBQ=∠C,∴BQ=CQ, ∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC.① 如答图，过点P作PD//BQ交CQ于点D, 则∠CPD=∠CBQ=40°, ∴∠CPD=∠C=40°, ∴PD=CD,∠ADP=∠CPD+∠C=40°+40°=80°. ∵∠ABC=80°,∴∠ABC=∠ADP. ∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP. B 在△ABP和△ADP中， P A Q D C ∴△ABP≌△ADP(AAS), 6题答图 ∴AB=AD,BP=DP, ∴AB+BP=AD+DP=AD+CD=AC.② 由①②可得AB+BP=BQ+AQ. 7.证明：如答图，延长CE到点F,使EF=CE,连接FB. ∵CE是△ABC的中线，∴AE=EB. 又∵∠AEC=∠BEF, C 在△AEC和△BEF中，, A E B D ∴△AEC≌△BEF(SAS), F 7题答图∴∠A=∠EBF,AC=BF. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF. ∵CB是△ADC的中线，∴AB=BD. 又∵AB=AC,AC=FB,∴FB=BD. 又∵CB=CB, 在△CBF和△CBD中，c ∴△CBF≌△CBD(SAS), ∴CD=CF=CE+EF=2CE. 8.(1)证明：如答图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE. ∵D为BC的中点，∴CD=BD. A 又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB, ∴△ADC≌△EDB,∴AC=EB. B← ∵AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD. /D C (2)解：∵AB-BE<AE<AB+BE, E ∴AB-AC<2AD<AB+AC. 8题答图 ∵AB=6,AC=2,∴4<2AD<8,即2<AD<4. ·8· 参考答案及解析 9.证明：(1)如答图，在AB上取一点F,使AF=AC,连接EF. ∵AE,BE分别平分∠CAB,∠DBA, ∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD. ∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°. 在△ACE和△AFE中， C E D e=;r A F B9题答图 ∴△ACE≌△AFE(SAS), ∴∠C=∠AFE, ∴∠AFE+∠D=180°. 又∵∠AFE+∠EFB=180°, ∴∠EFB=∠D. 在△BEF和△BED中， ∴△BEF≌△BED(AAS), ∴BF=BD. ∵AB=AF+BF, ∴AB=AC+BD. (2)∵△ACE≌△AFE,∴∠CEA=∠FEA. ∵△BEF≌△BED,∴∠FEB=∠DEB, ∠AEF+∠FEB=—(∠CEF+∠DEF)=2×180°=90°, ∴AE⊥BE. 10.(1)证明：如答图①,在l上截取AF=BD,连接CD,CF. ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,BD⊥l, ∴AC=BC,∠BDA=90°, ∴∠CBD+∠CAD=360°-∠BDA-∠ACB=360°-90°- 90°=180°, ∵∠CAF+∠CAD=180°,∴∠CBD=∠CAF. 在△CBD和△CAF中， 2 E A F D ∴△CBD≌△CAF(SAS), B C ∴CD=CF. 10题答图① 又∵CE⊥l,CE=CE,∴ Rt△CED≌Rt△CEF, DE=EF=2DF=2(DA+AF)=2(DA+DB), ∴DA+DB=2DE. (2)解：在题图②和题图③中，(1)的结论不成立. 答图②中，结论：DA-DB=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]; 答图③中，结论：DB-DA=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]. L l A A F D E E B C D B C F 10题答图② 10题答图③ 专项巩固训练卷(三) 全等三角形的常用模型 1.证明：∵AC//DF,∴∠CAB=∠FDE. ∵ BC//EF,∴∠CBA=∠FED. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 2.(1)证明：∵BC=BE+EC,EF=CF+EC,BE=CF, ∴BC=EF. ∵AB//DE,∴ ∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∴AC=DF. (2)解：∵△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠F, ∴DF//AC,∴∠D=∠EGC. 又∵∠D=55°,∴∠EGC=55°. 3.证明：在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE. ∵∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, ∴∠OBC=∠OCB. 4.证明：(1)在△BPC和△DPC中， ∴△BPC≌△DPC(ASA). (2)∵△BPC≌△DPC,∴ BC=DC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SAS), ∴AB=AD. 5.证明：∵BF=EC,∴ BF+FC=EC+FC,∴ BC=EF. ∵AC//DF,∴ ∠ACB=∠DFE. 在△BAC和△EDF中，”, ∴△BAC≌△EDF(SAS), ∴AB=DE. 6.证明：∵∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即∠CAE=∠BAD. 在△ABD和△ACE中， ·9·