22.3 实际问题与二次函数3-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

85 22.3　实际问题与二次函数3 许多实际问题(如桥洞、球的运动轨迹、喷泉喷出的水的轨迹等相关的实际问题)中都存在着与 抛物线的形状相关的图形,此类问题可以通过构建 来求解,求解的一般步骤是:(1) 建立恰 当的平面直角坐标系,将抛物线形状的图形放在平面直角坐标系中;(2) 结合图形和已知条件分析 变量之间的关系;(3) 用 求函数解析式;(4) 利用二次函数解析式解决实际问题. 典例1 小明家附近广场中央新修了个圆形喷水 池.如图,在水池中心竖直安装了一根高为2m 的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中 心的水平距离为1m处达到最高,水柱落地处 离水池中心的距离为3m.求: (1) 抛物线对应的函数解析式; (2) 水柱的最大高度. 典例1图 (1) 设抛物线对应的函数解析式为y= a(x-1)2+k,代入(0,2)和(3,0)得出方程组, 解方程组即可.(2) 求出当x=1时,y 的值 即可. 解答: 解有所悟:解决此类题时,将实际问题转化成数学 问题,并与二次函数图象结合进行分析,体现了转 化思想和数形结合思想,解题时应仔细审题. 典例2 如图,隧道的截面由抛物线和 矩 形 ABB1A1构成,AA1=16m,AB=6m,抛物线 的最高点C 离路面AA1的距离为8m. (1) 建立适当的平面直角坐标系,求出抛物线 对应的函数解析式. (2) 一大型货车装载设备后高为7m,宽为 4m.如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车 能否安全通过? 典例2图 (1) 可根据抛物线的对称性,以AA1的中 点为坐标原点建立平面直角坐标系,设抛物线 对应的函数解析式为y=ax2+8,再把B(-8, 6)代入,求出a的值即可.(2) 令x=4,求出对 应的y值,与7进行比较即可. 解答: 解有所悟:判断货车能否从隧道中通过的方法: ① 固定货车的宽,看隧道是否足够高(相当于已知 x的值,根据函数解析式求出y 的值,再与限制的 高的值比较大小).② 固定货车的高,看隧道是否足 够宽(相当于已知y 的值,根据函数解析式求出x 的值,再与限制的宽的值比较大小). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 86 [基础过关] 1. 小强在一次训练中,掷出的实心球飞行高度 y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满 足二次函数y=- 1 3x 2+83x+3 ,则小强此 次成绩为 ( ) A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 12米 2. 向空中发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为 y米,且y 与x 的关系为y=ax2+bx+ c(a≠0).若此炮弹在第8秒与第16秒时的 高度相等,则在下列时间中,炮弹所在高度 最高的是 ( ) A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 3. 某滑雪爱好者从山坡上滑下,其滑行距离 s(m)与滑行时间t(s)之间的关系可以近似地 用二次函数表示,其图象如图所示,根据图 象,当滑行时间为3s时,滑行距离为 ( ) A. 30m B. 28.5m C. 26.5m D. 29m 第3题 第4题 4. (甘肃中考)如图,以一定的速度将小球沿与 地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行 路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小 球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具 有函数关系:h=-5t2+20t,则当小球的飞 行高度达到最高时,t= . 5. (广安中考)如图所示为抛物线形拱桥,当拱 顶离水面2m时,水面宽6m,则当水面下降 m时,水面宽8m. 第5题 6. 如图①,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛 物线形(曲线ACB)的薄壳屋顶.已知它的拱 宽AB 为4米,拱高CO 为0.8米.为了画出 符合要求的模板,通常要先建立适当的平面 直角坐标系,图②是以 AB 所在直线为 x轴,OC 所在直线为y 轴建立的平面直角 坐标系,则图②中抛物线对应的函数解析式 为 . 第6题 [综合提升] 答案讲解 7. 如图,同学们在操场上玩跳大绳游 戏,绳甩到最高处时的形状是抛物 线形,摇绳的甲、乙两名同学拿绳的 手的间距为6米,到地面的距离AO 与BD 均为0.9米,绳子甩到最高点C 处时,最高 点距地面的垂直距离为1.8米.身高为 1.4米的小吉站在距点O水平距离为m 米处, 若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他 的头顶),则m 的取值范围是 . 第7题 8. (河南中考)小红看到一处喷水景观,喷出的 水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得 喷水头P 距地面0.7m,水柱在距喷水头P 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 87 水平距离5m处达到最高,最高点距地面 3.2m.建立如图所示的平面直角坐标系. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P 的 水平距离为3m.身高1.6m的小红在水柱 正下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱 时,求她与爸爸之间的水平距离. 第8题 答案讲解 9. (江西中考)跳台滑雪运动可分为助 滑、起跳、飞行和落地四个阶段.如 图,运动员起跳后飞行的路线是抛 物线的一部分(如图中实线部分所示),落地 点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆 坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点, 落地点超过点K 越远,飞行距离分越高.某 起跳台的高度OA 为66m,基准点K 到起 跳台的水平距离为75m,高度为hm(h 为 定值).设运动员从起跳点A 起跳后的高度 y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式 为y=ax2+bx+c(a≠0). (1) c的值为 . (2) ① 若运动员落地点恰好为点K,且此时 a=-150 ,b=910 ,求基准点K 的高度; ② 若a=-150 ,运动员落地点要超过点K, 则b的取值范围是 . (3) 若运动员飞行的水平距离为25m时,恰 好达到最大高度76m,试判断他的落地点能 否超过点K,并说明理由. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 39 22.3 实际问题与二次函数3 知识梳理 二次函数 (3) 待定系数法 典例演练 典例1 (1) 设抛物线对应的函数解析式为y=a(x- 1)2+k.代 入 (0,2)和 (3,0),得 a+k=2, 4a+k=0, 解 得 a=-23 , k=83. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 抛物线对应的函数解析式为y=- 2 3 (x- 1)2+83. (2) 当x=1时,y= 8 3 ,即水柱的最大高度为 8 3m. 典例2 (1) 建立平面直角坐标系不唯一,如图,以 AA1所在直线为x轴,线段AA1的中点为坐标原点建立 平面直角坐标系.根据题意,得A(-8,0),B(-8,6), C(0,8).设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+8.把 B(-8,6)代入,得64a+8=6,解得a=-132.∴ 抛物线 对应的函数解析式为y=- 1 32x 2+8(-8≤x≤8).(2) 根 据题意,把x=4代入y=- 1 32x 2+8,得y=7.5. ∵ 7.5>7,∴ 能安全通过. 典例2图 预学训练 1. B 2. C 3. B 4. 2 5. 14 9 6. y=-0.2x2+0.8 7. 1<m<5 解析:如图,建立平面直角坐标系.由题意 可知C(3,1.8).设抛物线对应的函数解析式为y=a(x- 3)2+1.8,把A(0,0.9)代入y=a(x-3)2+1.8,得 a=-0.1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y=-0.1(x- 3)2+1.8.当y=1.4时,-0.1(x-3)2+1.8=1.4,解得 x1=1,x2=5.∴ m 的取值范围是1<m<5. 第7题 8. (1) 由题意,知抛物线的顶点坐标为(5,3.2),设抛物线 对应的函数解析式为y=a(x-5)2+3.2.将(0,0.7)代 入,得0.7=25a+3.2,解得a=-110.∴ y=- 1 10 (x- 5)2+3.2=-110x 2+x+710. (2) 当y=1.6时,- 1 10x 2+ x+710=1.6 ,解得x=1或x=9.∴ 她与爸爸之间的水平 距离为3-1=2(m)或9-3=6(m).∴ 当她的头顶恰好接 触到水柱时,她与爸爸之间的水平距离是2m或6m. 9. (1) 66.(2) ① ∵ a=-150 ,b=910 ,∴ y=- 1 50x 2+ 9 10x+66.∵ 基准点K 到起跳台的水平距离为75m, ∴ y=- 1 50×75 2+910×75+66=21.∴ 基准点K 的高 度为21m.② b>910. (3) 他的落地点能超过点K.理由: ∵ 当运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高 度76m,∴ 抛物线的顶点坐标为(25,76).设抛物线对应 的函数解析式为y=t(x-25)2+76.把(0,66)代入,得 66=t(0-25)2+76,解得t=- 2125.∴ 抛物线对应的函 数解析式为y=- 2 125 (x-25)2+76.当x=75时,y= - 2125× (75-25)2+76=36.∵ 36>21,∴ 他的落地点能 超过点K. 第二十二章预学检测 一、 1. B 2. B 3. D 4. D 5. D 6. B 7. B 8. A 9. A 10. D 二、 11. 答案不唯一,如y=2x2-1 12. y=- 1 4 (x+ 2)2+4 13. 4 14. (1,-3) 15. 2023 16. -1<x<4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈