22.3 实际问题与二次函数2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

82 22.3　实际问题与二次函数2 1. 在商品经营活动中,经常会遇到求最大利 润、最大销量等问题.解此类题的关键是读 懂题意,确定出二次函数的解析式,然后确 定其 ,实际问题中自变量x 的取值 要使实际问题有意义,因此在求二次函数的 最值时,一定要注意自变量x的取值范围. 2. 单件商品的利润=单件商品的 - 单件商品的 ,商品的总利润=每件 商品的 ×销售 . 3. 若销售单价每提高m 元,销售量相应减少 n件,设销售单价提高x 元,则现销售量= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例 某种水果的进价为每千克16元,销售中 发现,当售价定为每千克20元时,日销售量为 50千克;售价每千克每上涨1元,日销售量会减 少5千克.设售价为每千克x 元,日销售量为 y千克,每天获利w 元. (1) 求y与x之间的函数解析式. (2) 求w 与x 之间的函数解析式.当该种水果 的售价为每千克多少元时,每天的销售利润最 大? 最大利润是多少元? (3) 如果商家规定这种水果的日销售量不得低 于40千克,那么商家每天的销售利润最大是多 少元? (1) 根据“售价每千克每上涨1元,日销售 量会减少5千克”可得减少的销售量为5(x- 20)千克,再根据题意列出函数解析式.(2) 先 根据“总利润=(售价-进价)×日销售量”列出 函数解析式,再根据求二次函数的最值方法求 出最值.(3) 先根据“日销售量不得低于40千 克”列出不等式,求得x 的取值范围,再由二次 函数的性质求最大值. 解答: 解有所悟:运用二次函数的性质求最值时,要思考 二次函数图象顶点的横坐标是否在实际的取值范 围内,若在这个范围内,则顶点的函数值就是所求 最值,否则要进一步根据二次函数的增减性求最值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 2022年在中国举办的冬奥会和冬残奥会令 世界瞩目,冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩 墩和雪容融家喻户晓,成为热销产品.某商 家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪 容融套件.当该产品每套的售价是48元时, 每天可售出200套;若每套的售价每提高 2元,则每天少卖4套.设冰墩墩和雪容融套 件每套的售价为x 元,则该商家每天销售套 件所获利润w(元)与x 之间的函数解析 式为 ( ) A. w=200+x-342 ×4 (x-48) B. w=200-x-342 ×4 (x-48) C. w=200-x-482 ×4 (x-34) D. w=200+x-482 ×4 (x-48) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 83 2. 便民商店经营一种商品,在销售过程中,发 现每周的利润y(元)与每件售价x(元)之间 的关系满足y=-2x2+80x+758.由于某 种原因,售价x(元)需满足15≤x≤19,那么 每周可获得的最大利润是 ( ) A. 1554元 B. 1556元 C. 1558元 D. 1560元 3. 若一种服装的销售利润y(万元)与销售量 x(万件)之间满足函数解析式y=-2x2+ 4x+5,则利润 ( ) A. 最大为5万元 B. 最大为7万元 C. 最小为5万元 D. 最小为7万元 4. 某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽 车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与 销售量x(辆)之间分别满足y1=-x2+ 10x,y2=2x.若该公司在甲、乙两地共销售 15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为 ( ) A. 30万元 B. 40万元 C. 45万元 D. 46万元 5. 某商家出售某种文具盒,若每个获利x 元, 则一天可售出(6-x)个.当x= 时,一天出售该种文具盒获得的总利润 最大. 6. (聊城中考)某食品零售店新上架一款冷饮 产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天 的销售量y(个)与销售价格x(元/个)之间 的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象 是线段AB,则该食品零售店每天销售这款 冷饮产品的最大利润为 元(利润= 总销售额-总成本). 第6题 7. (巴中中考)端午节吃粽子是中华民族的传 统习俗,市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进 价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽 的进价为100元. (1) 求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价. (2) 在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽的 售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒 售价每提高1元,则每天少售出2盒.设每盒 猪肉粽的售价为a元,销售猪肉粽的利润为 w 元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大 利润. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 84 答案讲解 8. (鞍山中考)某超市购进一种水果, 成本为8元/千克,根据市场调研发 现,这种水果在未来10天的售价 m(元/千克)与时间第x天之间满足函数解 析式m=12x+18 (1≤x≤10,x为整数),又 通过分析销售情况,发现每天的销售量y(千 克)与时间第x 天之间满足一次函数关系, 下表是其中的三组对应值. 时间第x天 … 2 5 9 … 每天的销售 量y/千克 … 33 30 26 … (1) 求y与x之间的函数解析式. (2) 在这10天中,哪一天销售这种水果的日 利润最大? 最大销售日利润为多少元? [综合提升] 9. 某旅馆有100张床.当每张床每晚收费 100元时,可全部租出,若每张床每晚收费提 高20元,则有10张床未租出;若每张床每 晚收费再提高20元,则又有10张床未租 出.以每次提高20元的这种方法变化下去, 为了使收入最大,每张床每晚收费应提高 元. 答案讲解 10. 某宾馆共有80间客房.宾馆负责 人根据经验进行预测:今年7月, 每天的房间空闲数y(间)与每间 的定价x(元)之间满足y= 1 4x-42 (x≥ 168).若 宾 馆 每 天 的 日 常 运 营 成 本 为 5000元,有客人入住的房间,宾馆每天每 间还需另外支出28元,则宾馆想要获得最 大利润,同时也想让客人得到实惠,应将房 间每间的定价确定为 元. 答案讲解 11. (朝阳中考)某商店购进了一种消 毒用品,进价为每件8元,在销售 过程中发现,每天的销售量y(件) 与每件的售价x(元)之间存在一次函数关 系(其中8≤x≤15,且x为整数).当每件 的售价为9元时,每天的销售量为105件; 当每件的售价为11元时,每天的销售量为 95件. (1) 求y与x之间的函数解析式. (2) 若该商店销售这种消毒用品每天获得 425元的利润,则每件消毒用品的售价为多 少元? (3) 设该商店销售这种消毒用品每天获利 w 元,当每件消毒用品的售价为多少元时, 每天的销售利润最大? 最大利润是多 少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 38 22.3 实际问题与二次函数2 知识梳理 1. 最值 2. 售价 成本 利润 总量 3. 原销售量- nx m 件 典例演练 典例 (1) 根据题意,得y=50-5(x-20)=-5x+ 150.∴ y与x之间的函数解析式为y=-5x+150(x≥ 20).(2) 根据题意,得 w=(x-16)(-5x+150)= -5x2+230x-2400,即w 与x 之间的函数解析式为 w=-5x2+230x-2400.∵ w=-5x2+230x- 2400=-5(x-23)2+245,-5<0,∴ 当x=23时,w 有 最大值,最大值为245.∴ 当该种水果的售价为每千克 23元时,每天的销售利润最大,最大利润是245元.(3) 由 题意,得-5x+150≥40,解得x≤22.∵ w=-5(x- 23)2+245,∴ 当x≤23时,w 随x 的增大而增大.∴ 当 x=22时,w 有最大值,最大值为-5×1+245=240. ∴ 商家每天的销售利润最大是240元. 预学训练 1. C 2. B 3. B 4. D 解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15- x)辆,总利润为 w 万元.根据题意,得 w=y1+y2= -x2+10x+2(15-x)=-x2+8x+30=-(x-4)2+ 46,∴ 最大利润为46万元. 5. 3 6. 121 7. (1) 设每盒猪肉粽的进价为x 元,每盒豆沙粽的进价 为y元.由题意,得 x-y=10, x+2y=100, 解得 x=40, y=30. ∴ 每盒猪 肉粽的进价为40元,每盒豆沙粽的进价为30元.(2) 由 题意,得w=(a-40)[100-2(a-50)]=-2(a-70)2+ 1800.∵ -2<0,∴ 当a=70时,w 有最大值,最大值为 1800.∴ 该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为 1800元. 8. (1) 设每天的销售量y(千克)与时间第x天之间满足 的一 次 函 数 关 系 为 y =kx +b.根 据 题 意,得 2k+b=33, 5k+b=30, 解得 k=-1, b=35. ∴ y=-x+35(1≤x≤10,x 为整数).(2) 设销售这种水果的日利润为w 元,则w= (-x+35) 12x+18-8 =- 12x2+152x+350= -12 x- 15 2 2 +30258 .∵ 1≤x≤10,x 为整数,∴ 当 x=7或x=8时,w 取得最大值,最大值为378.∴ 在这 10天中,第7天和第8天销售这种水果的日利润最大,最 大销售日利润为378元. 9. 40或60 解析:设提高x个20元,每天收入为y元.由 题意,得y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+ 10000.当x=-b2a=2.5 时,y有最大值.又∵ x为整数, ∴ 当x=2或x=3时,y取得最大值.∴ 应提高40元或 60元. 10. 256 解析:设每天的利润为W 元.根据题意,得W= (x-28)(80-y)-5000=(x-28)80- 14x-42 - 5000=-14x 2+129x-8416=-14 (x-258)2+ 8225.∵ 当x=258时,y= 1 4×258-42=22.5 ,不是整 数,∴ 当x=256或x=260时,函数取得最大值,最大值 为8224.又∵ 想让客人得到实惠,∴ 宾馆应将房间每间 的定价确定为256元. 11. (1) 设y与x之间的函数解析式为y=kx+b.由题 意,得 9k+b=105, 11k+b=95, 解得 k=-5, b=150. ∴ y 与x 之间的函数 解析式为y=-5x+150.(2) 由题意,得(-5x+ 150)(x-8)=425,解得x1=13,x2=25(不合题意,舍 去).∴ 每件消毒用品的售价为13元.(3) 由题意,得w= y(x-8)=(-5x+150)(x-8)=-5x2+190x- 1200=-5(x-19)2+605.∵ 8≤x≤15,且x为整数,当 x<19时,w 随x的增大而增大,∴ 当x=15时,w 有最 大值,最大值为525.∴ 当每件消毒用品的售价为15元 时,每天的销售利润最大,最大利润是525元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈