22.3 实际问题与二次函数1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

79 22.3　实际问题与二次函数1 1. 解决实际问题的步骤:(1) 设自变量与 ;(2) 求二次函数的 ;(3) 根据 实际问题的需要写出答案. 2. 解决“求最大面积”的二次函数应用题时,首 先要分析几何图形,求出两个变量(其中一 个变量为图形的面积)之间的二次函数关 系,然后利用 求最大面积. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例 如图,某单位准备在单位的墙(涂色部分) 外开辟一处矩形土地进行绿化,除墙体外的三 面要用50m长的栅栏围起来,设AB 的长为 xm,矩形的面积为ym2. (1) 不考虑墙体长度,当AB 的长为多少时,矩 形的面积最大? (2) 若墙体长度为20m,求矩形的最大面积. 典例图 (1) 根据矩形的面积公式即可求出y 关 于x的函数解析式,将y 关于x 的函数解析式 配方,写成顶点式,根据二次函数的性质即可得 解.(2) 根据二次函数的性质及墙体长度为20m, 可得矩形面积最大时的x 的值,从而得出最大 面积. 解答: 解有所悟:解决实际问题中的最大值问题时,要注 意自变量的取值范围,当二次函数图象顶点的横坐 标不在自变量的取值范围内时,要根据二次函数的 增减性结合实际意义确定最大值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形,则 围成的矩形的面积最大是 ( ) A. 1 4m 2 B. 1 3m 2 C. 1 2m 2 D. 1m2 2. 如图,△ABC 是直角三角形,∠A=90°, AB=8cm,AC=6cm,点P 从点A 出发,沿 AB方向以2cm/s的速度向点B 运动;同时 点Q从点A 出发,沿AC方向以1cm/s的速 度向点C 运动.当其中一个动点到达终点 时,另一个动点也停止运动,则△APQ 的最 大面积是 ( ) A. 8cm2 B. 16cm2 C. 24cm2 D. 32cm2 第2题 第3题 3. 如图,四边形ABCD 的两条对角线互相垂 直,AC+BD=16,则四边形ABCD 的最大 面积是 ( ) A. 64 B. 32 C. 16 D. 48 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 80 4. 将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一 段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这 两个正方形的面积之和最小是 cm2. 5. 若一个直角三角形的两条直角边的长度之 和为30,则这个直角三角形的面积最大为 . 6. 一种包装盒的设计方法如图①所示,正方形 硬纸片ABCD 的边长为80cm,剪去涂色部 分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线 折起,使得A,B,C,D 四点重合于图②中的 点O 处,形成一个底面为正方形的长方体包 装盒,要使包装盒的侧面积最大,则BE 的长 为 cm. 第6题 7. (沈阳中考)如图,用一根60cm长的铁丝制 作一个“日”字形框架ABCD,铁丝恰好全部 用完. (1) 若所围成的矩形框架ABCD 的面积为 144cm2,则AB 的长为多少? (2) 求矩形框架ABCD 的最大面积. 第7题 8. 手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风 筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60cm,菱形的面积S(cm2)随其中一条对角 线的长x(cm)的变化而变化. (1) 请直接写出S与x之间的函数解析式. (2) 当x 是多少时,风筝的面积最大? 最大 面积是多少? (3) 请说明S随x的变化情况. [综合提升] 答案讲解 9. 在美化校园的活动中,某兴趣小组 想借助如图所示的直角墙角(两边 足够长),用28m长的篱笆围成一 个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC 两 边),设AB=xm.若在点P 处有一棵树与 墙CD,AD 的距离分别是15m和6m,要将 这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗 细),则花园的最大面积为 m2. 第9题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 81 答案讲解 10. 如图,某景区内有一块矩形油菜花 地,现在其中修建一条观花道(涂 色部分),供游人赏花,设修建后观 花道的面积为ym2. (1) 求y关于x的函数解析式; (2) 若修建后观花道的面积为13m2,求x 的值; (3) 若要求0.6≤x≤1,求修建后油菜花地 的最大面积. 第10题 答案讲解 11. (湘潭中考)某校准备在校园里利 用围墙(墙长12m)和21m长的 篱笆墙,围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形 劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两 种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且 不浪费篱笆墙). (1) 方案一:如图①,利用围墙的全部长度, 但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水 池,且需保证总种植面积为32m2,试分别 确定CG,DG 的长. (2) 方案二:如图②,若围成的两块矩形劳 动实践基地的总种植面积最大,则BC 应设 计为多长? 此时最大面积为多少? 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 37 22.3 实际问题与二次函数1 知识梳理 1. (1) 函数 (2) 解析式 2. 二次函数的性质 典例演练 典例 (1) 由题意,得y=x(50-2x)=-2x2+50x, ∴ y关于x的函数解析式为y=-2x2+50x=-2(x- 12.5)2+312.5.∵ -2<0,∴ y 有最大值.∴ 当x= 12.5时,矩形的面积最大.∴ 不考虑墙体长度,当AB 的 长为12.5m时,矩形的面积最大.(2) 由题意,知BC= (50-2x)m,∴ 0<50-2x≤20.∴ 15≤x<25.由(1),知 y=-2(x-12.5)2+312.5,∵ -2<0,二次函数图象的 对称轴为直线x=12.5,∴ 当15≤x<25时,y随x的增 大而减小.∴ 当x=15时,y 有最大值,为-2×(15- 12.5)2+312.5=300.∴ 矩形的最大面积是300m2. 预学训练 1. A 2. B 3. B 4. 25 2 5. 112.5 6. 20 解析:如图,由题意,得BE=CF,设BE=CF= xcm,∴ EF=(80-2x)cm.∵ 易得△EFM 和△CFN 都是等腰直角三角形,∴ 易得 MF= 22EF= (402- 2x)cm,FN= 2FC= 2xcm.∵ 包装盒的侧面积= 4MF·FN,∴ 4· 2x(402- 2x)=-8(x-20)2+ 3200.∵ -8<0,∴ 当x=20时,包装盒的侧面积最大. 第6题 7. (1) 设AD 的长为xcm,则AB 的长为60-2x3 cm. ∴ x·60-2x3 =144 ,解得x1=12,x2=18.∴ 60-2x 3 = 12或60-2x3 =8.∴ AB 的长为12cm或8cm.(2) 由 (1)知,AD 的长为xcm,则AB 的长为60-2x3 cm ,设矩 形框架ABCD 的面积为Scm2.∴ S=x·60-2x3 = -23x 2+20x=-23 (x-15)2+150.∵ -23<0 ,∴ 当 x=15时,矩形框架ABCD 的面积最大,最大为150cm2. 8. (1) S=-12x 2+30x.(2) 由(1),得S=-12x 2+ 30x=-12 (x-30)2+450.∵ -12<0 ,∴ 当x=30时, 风筝的面积最大,最大面积是450cm2.(3) 当0<x≤ 30时,S随x的增大而增大;当30<x<60时,S 随x 的 增大而减小. 9. 195 解析:∵ AB=xm,∴ BC=(28-x)m.设花园 的面积为S m2.由题意,得S=x(28-x)=-x2+ 28x.由题意,可得 x≥6, 28-x≥15, 解得6≤x≤13.易得抛物 线S=-x2+28x的对称轴为直线x=14,∴ 当 6≤x≤ 13时,S 随x 的增大而增大.∴ 当x=13时,S最大 = 195.∴ 花园的最大面积为195m2. 10. (1) y=6×8-2× 1 2× (6-x)(8-x)=-x2+14x (0<x<6).(2) 当y=13时,-x2+14x=13,解得x1= 1,x2=13.∵ 0<x<6,∴ x=1.(3) 设修建后油菜花地 的面积为wm2,则w=6×8-y=x2-14x+48=(x- 7)2-1.∴ 当x<7时,w 随x的增大而减小.又∵ 0.6≤ x≤1,∴ 当x=0.6时,w 取得最大值,为39.96.∴ 修建 后油菜花地的最大面积为39.96m2. 11. (1) 由题意,知DC=AB=12m,AD=GH=BC= (21-12)÷3=3(m).设CG=am,则 DG=(12- a)m.由题意,得3×12-1×(12-a)=32,解得a=8. ∴ CG=8m,DG=4m.(2) 设两块矩形劳动实践基地的 总种植面积为ym2,BC的长为xm,则AD=HG=BC= xm,DC=(21-3x)m.由题意,得y=x·(21-3x)= -3x2+21x=-3x-72 2 +1474 .∵ 0<21-3x≤12, ∴ 3≤x<7.∴ 当x=72 时,y最大= 147 4 .∴ BC 应设计为 7 2m ,此时最大面积为147 4 m 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈