22.2 二次函数与一元二次方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

77 22.2　二次函数与一元二次方程 1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当y= 0时,得到一元二次方程 ,那 么一元二次方程的根就是二次函数的图象 与 轴交点的 坐标. 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的根的情况:(1) 当图象与 x轴有两个交点时,这时b2-4ac 0,则方程有 个 的实数根; (2) 当图象与x轴有一个交点时,这时b2- 4ac 0,则方程有 个 的实数根;(3) 当图象与x轴没有交点时,这 时b2-4ac 0,则方程 实数根. 3. 二次函数与一元二次方程有着密切的关系, 我们可以根据二次函数的图象近似地求一 元二次方程的 ,也可以通过解一元 二次方程求二次函数的图象与x 轴交点的 坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 二次函数y=-x2-2x+m 的部分图 象如图所示,则关于x 的一元二次方程-x2- 2x+m=0的解为 ( ) 典例1图 A. x1=3,x2=1 B. x1=-3,x2=1 C. x1=3,x2=-3 D. x1=-3,x2=-1 根据二次函数的性质和图象中的数据,可以 得到该函数图象与x轴的两个交点的坐标,从而 可以得到一元二次方程-x2-2x+m=0的解. 解答: 解有所悟:已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对 称轴时,就可以利用抛物线的对称性求出抛物线与 x轴的另一个交点坐标,从而得到对应的一元二次 方程的根,此种方法特别方便. 典例2 利用二次函数图象求一元二次方程 2x2-2x+4=7的根的近似值(结果精确到0.1). 根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图 象与x轴的交点的横坐标就是所对应的一元二 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,把原方程 化为一元二次方程的一般式.根据方程写出对 应的二次函数解析式,画出函数图象,通过观察 函数图象与x轴交点的横坐标即可求出方程的 根的近似值. 解答: 解有所悟:用图象法求一元二次方程的根的近似值, 是通过画函数图象来解答,体现了数形结合思想. 典例3图 典例3 如图,抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)与x 轴交于点(4, 0),其对称轴为直线x=1,结合图 象直接写出不等式ax2+bx+c≥ 0的解集为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 78 函数图象的对称轴为直线x=1,与x 轴 的一个交点坐标是(4,0),则另一个交点坐标是 (-2,0),进而观察图象求解. 解答: 解有所悟:利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象解一元二次不等式,图象在x 轴上方部分对应 的x的取值范围即为不等式ax2+bx+c>0(a≠ 0)的解集,图象在x轴下方部分对应的x的取值范 围即为不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+ bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解的 范围时,为精确到0.01,进行了试算如下表: x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 由此确定这个解的范围是 ( ) A. 3.25<x<3.26 B. 3.24<x<3.25 C. 3.23<x<3.24 D. 3<x<3.23 2. 抛物线y=ax2+c 与直线y=kx 交于 A(-3,-6),B(1,2)两点,则关于x 的不等 式ax2-kx+c>0的解集是 ( ) A. x<-3或x>1 B. x<-6或x>2 C. -3<x<1 D. -6<x<2 答案讲解 3. 已知抛物线y=x2-2x-1与x轴 的一个交点坐标为(m,0),则代数 式m2-2m+2022的值为 ( ) A. 2021 B. 2020 C. 2022 D. 2023 4. 已知抛物线y=-3x2+bx+c经过点A(0, 2),B(4,2),则不等式-3x2+bx+c<2的 解集是 . 5. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根 是-1和2,则抛物线y=bx2-ax+c的对 称轴为直线 . [综合提升] 6. 若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过 点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为 ( ) A. x1=x2=-1 B. x1=3,x2=1 C. x1=-1,x2=-3D. x1=3,x2=-1 答案讲解 7. 如图,二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象与x 轴交于A,C 两点,顶点为B,根据图象解答下列 问题: (1) 方程ax2+bx+c=0的两个根 为 ; (2) 求该二次函数的解析式; (3) 设直线AB 对应的函数解析式为y= mx+n,请写出mx+n≥ax2+bx+c的 解集. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 36 8. y=-x2+1 解析:∵ 抛物线y=x2-4x+1=(x- 2)2-3,∴ 顶点D 的坐标为(2,-3),与y轴的交点C 的 坐标为(0,1).∴ 可设“伴随抛物线”对应的函数解析式为 y=ax2+1.把D(2,-3)代入,得-3=a×22+1,解得 a=-1.∴ 该“伴随抛物线”对应的函数解析式为y= -x2+1. 9. (1) 由题意,知OA=2=BC,∴ 易得该抛物线的对称 轴为直线x=1,则x=-b2a=1①. 将点A 的坐标代入, 得0=4a-2b+83②. 联立①②并解得 a=-13 , b=23. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 该 抛物线对应的函数解析式为y=- 1 3x 2+23x+ 8 3. (2) ∵ y=- 1 3x 2+23x+ 8 3=- 1 3 (x-1)2+3,∴ 该 抛物线的顶点坐标为(1,3).令y=0,易得x=-2或x= 4.∴ 点D 的坐标为(4,0).∵ △ADR 的面积是▱OABC 面积的3 4 ,∴ 1 2AD ·|yR|= 3 4OA ·OB,则12× [4- (-2)]×|yR|= 3 4×2× 8 3 ,解得yR=± 4 3. 把y= 4 3 代入y=- 1 3x 2+23x+ 8 3 ,解得x=1± 5;把 y=- 4 3 代入y=- 1 3x 2+23x+ 8 3 ,解得x=1± 13.综上所述,点R 的坐标为 1+ 13,-43 或 1- 13,-43 或 1+5,43 或 1-5,43 . 22.2 二次函数与一元二次方程 知识梳理 1. ax2+bx+c=0(a≠0) x 横 2. (1) > 两 不相等 (2) = 两 相等 (3) < 没有 3. 根 横 典例演练 典例1 B 解析:∵ 二次函数y=-x2-2x+m= -(x+1)2+m+1,∴ 该函数图象的对称轴为直线 x=-1.由题图,可知二次函数y=-x2-2x+m 的图象 与x轴的一个交点坐标为(-3,0),∴ 该函数的图象与 x轴的另一个交点坐标为(1,0).∴ -x2-2x+m=0的 解为x1=-3,x2=1. 典例2 将原方程变形为2x2-2x-3=0,一元二次方程 2x2-2x-3=0的根是二次函数y=2x2-2x-3的图象 与x轴交点的横坐标.如图,作出二次函数y=2x2- 2x-3的图象,观察图象,可知方程有两个实数根,两个实 数根分别介于-1与0、1与2之间,先求1与2之间的实 数根.当x=1.8时,y=-0.12<0;当x=1.9时,y= 0.42>0;取1.8和1.9的平均数1.85,当x=1.85时, y=0.145>0,与x=1.8时的函数值异号.∴ 方程的这个 根在1.8和1.85之间.∴ 我们可以把1.8作为根的近似 值.用同样的方法,可得到原方程的另一个根的近似值为 -0.8,∴ 2x2-2x+4=7的根的近似值为-0.8或1.8. 典例2图 典例3 x≤-2或x≥4 解析:函数图象的对称轴为直 线x=1,与x轴的一个交点坐标是(4,0),∴ 另一个交点 坐标是(-2,0).观察题图,知不等式ax2+bx+c≥0的 解集为x≤-2或x≥4. 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. x>4或x<0 5. x=-12 6. D 7. (1) x1=3,x2=1.(2) 由题图,知顶点B 的坐标为(2, 2).设该二次函数的解析式为y=a(x-2)2+2.把A(1, 0)代入,得a(1-2)2+2=0,解得a=-2.∴ 该二次函数 的解析式为y=-2x2+8x-6.(3) ∵ 直线AB 与抛物 线y=ax2+bx+c相交于A,B 两点,∴ 由题图,得mx+ n≥ax2+bx+c的解集为x≥2或x≤1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈