21.3 实际问题与一元二次方程1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

30 9. 2 解析:∵ x1,x2 是关于x的方程x2-2x+k-1= 0的两个实数根,∴ x1+x2=2,x1x2=k-1,x21-2x1+ k-1=0.∴ x21=2x1-k+1.∵ x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 = 2 (x1 + x2 ) - k. ∴ 22-2(k-1) k-1 =4-k ,解得k=2或k=5.当k=2时, 关于x的方程为x2-2x+1=0,Δ≥0,符合题意;当k= 5时,关于x的方程为x2-2x+4=0,Δ<0,方程无实数 根,不符合题意.∴ k=2. 10. (1) ∵ ▱ABCD 是菱形,∴ AB=AD.∴ 方程x2- mx+m-1=0有两个相等的实数根.∴ (-m)2-4(m- 1)=0.∴ m1=m2=2.∴ 当m=2时,四边形ABCD 是 菱形.(2) ∵ AB,AD 的长是关于x 的方程x2-mx+ m-1=0的两个实数根,AB 的长为3,∴ AB+AD=m, 3是方程的一个根.∴ 32-3m+m-1=0,解得m=4. ∴ AB+AD=4.∴ 2(AB+AD)=8,即▱ABCD 的周长 为8. 21.3 实际问题与一元二次方程1 知识梳理 1. x x (1+x) x(1+x) (1+x)2 (1+x)n 2. (x-1) 12x (x-1) 3. 10a+b 典例演练 典例1 (1) 设每位发病者平均每天传染x 人.依题意, 得2(1+x)2=50,解得x1=4,x2=-6(不合题意,舍 去).∴ 每位发病者平均每天传染4人.(2) 50×(1+4)= 50×5=250(人),∵ 250>200,∴ 再过一天发病人数会超 过200. 典例2 14 解析:设 A组共有x 个班.依题意,得 1 2x (x-1)=21,解得x1=7,x2=-6(不合题意,舍 去).∴ 九年级共有7×2=14(个)班. 典例3 53或35 解析:设原两位数个位数字为x,则十 位数字为8-x.由题意,得[10×(8-x)+x](10x+8- x)=1855,解得x1=3,x2=5.∴ 原来十位数字为5或 3.∴ 原来这个两位数为53或35. 预学训练 1. B 2. C 3. 9 4. 6 5. 设共有x支队伍参加比赛,则在小组赛阶段,每个小组 有1 8x 支队伍.根据题意,得8×12× 1 8x 1 8x-1 = 48,整理,得x2-8x-768=0,解得x1=32,x2=-24(不 合题意,舍去).∴ 共有32支队伍参加比赛. 6. (1) 设每人一天传染了x 人.依题意,得1+x+(1+ x)×x=225,解得x1=-16(不合题意,舍去),x2= 14.∴ 每人一天传染了14人.(2) 225+225×(14-5)+ [225+225×(14-5)]×(14-5-5)=225+2025+ 2250×4=11250(人).∴ 再过两天共有11250人患有 此病. 21.3 实际问题与一元二次方程2 知识梳理 1. a(1+x)[或a(1-x)] a(1+x)(1+x)[或a(1- x)(1-x)] a(1+x)2[或a(1-x)2] 2. (b-a) (b-a)c 典例演练 典例1 (1) 设2020年到2022年该市数字阅读市场规模 的年平均增长率为x.根据题意,得400(1+x)2=576,解 得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增 长率为20%.(2) 576×(1+20%)=691.2(万元), ∵ 691.2<700,∴ 预计2023年该市数字阅读市场规模不 能达到700万元. 典例2 (1) 当每件的售价降低x元时,每件的销售利润 为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根据题意, 得(10-x)(3000+1000x)=40000,整理得x2-7x+ 10=0,解得x1=2,x2=5.∵ 尽可能地让利顾客,∴ x= 5.∴ 当x为5时,该批发商场每天卖出该款商品的利润 为40000元.(2) 该批发商场每天卖出该款商品的利润不 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 58 21.3　实际问题与一元二次方程1 1. 传播问题:若开始时传染源是1,传播速度是 x(即每轮传染中平均一人传染了 人), 则在第一轮传染中传染了 人,第 一轮传染后共有 人患病;第二轮 传染中又传染了 人,第二轮传染后 共有 人患病;在第n轮传染后共有 人患病. 2. 球赛问题:若比赛为单循环赛制,共有x 支 球队参赛,则每队一共要打 场比 赛,比赛的总场次是 . 3. 数字问题:若一个两位数的十位上的数字为 a,个位上的数字为b,则这个两位数可表示为 .利用一元二次方程解决数字问题, 一般是设出未知数,准确地将数字用代数式 表示出来,然后根据题目条件列方程求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 某流感病毒的传染性很强,某一社区开 始有2人感染发病,未加控制,结果两天后发现 共有50人感染发病. (1) 每位发病者平均每天传染多少人? (2) 按照这样的传染速度,再过一天发病人数 会超过200吗? (1) 设每位发病者平均每天传染x 人,根 据题意列出一元二次方程求解即可;(2) 利用 再过一天的发病人数=50×(1+每位发病者平 均每天传染的人数),可求出再过一天的发病人 数,再与200比较后即可得出结论. 解答: 解有所悟:每轮传播都要保留传播源,若传播源为 a,传播速度为x,则第一轮传播后传播总量为 a(1+x),第二轮传播后传播总量为a(1+x)2,第 n轮传播后传播总量为a(1+x)n. 典例2 九年级举行班级足球赛,先把所有班通 过抽签平均分成A,B两组,再在每一组中进行 单循环的小组赛(每两个班之间比赛一场),最 后由A,B两组的第一名进行决赛得出冠军.若 A组共进行了21场小组赛,则九年级共有 个班. 赛制为单循环形式(小组内每两个班之间都 比赛一场),设A组有x个班,则可得方程12x (x- 1)=21,计算出A组班数,即可得到答案. 解答: 解有所悟:根据比赛场数与参赛队数之间的关系为 比赛场数=队数×(队数-1)÷2,进而得出方程是 解题关键. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 59 典例3 有一个两位数,它的十位数字与个位数 字之和为8,如果把十位数字与个位数字调换 后,所得的两位数乘原来的两位数就得1855, 那么这个两位数为 . 设原两位数个位数字为x,则十位数字为 8-x.根据把十位数字与个位数字调换后,所得的 两位数乘原来的两位数得1855,列方程求解即可. 解答: 解有所悟:解决数字问题设未知数时,通常采用间 接设元法,如本题中设的是原两位数个位数字为x. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有 人共握手10次,参加聚会的人数为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 一个两位数等于它的个位数字的平方,且个 位数字比十位数字大3,则这个两位数为 ( ) A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-36 3. 一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,共 送贺卡72张,共有 人. 4. 若一个多边形的对角线条数为9,则这个多 边形的边数为 . 答案讲解 5. 某球赛共有若干支球队参赛.第一 阶段为小组赛,第二阶段为淘汰赛. 在小组赛阶段,所有参赛球队将被 分成8个小组(每组参赛球队的数量相同), 分别进行单循环赛(两支球队之间只踢一 场),根据规则,小组前2名的球队顺利出 线,进入淘汰赛.已知本次小组赛阶段共有 48场比赛,则共有多少支队伍参加比赛? [综合提升] 答案讲解 6. 有一种传染性疾病,传播速度极快, 据统计,在人口密集的某城市里,通 常情况下,每天一人能传播若干人, 通过计算解答下面的问题. (1) 现有一人患了这种疾病,开始两天共有 225人患上此病,则每人一天传染了几人? (2) 两天后,人们有所觉察,这样平均每天一 人以少传播5人的速度在递减,求再过两天 共有多少人患有此病. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备