21.2 解一元二次方程2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

56 21.2　解一元二次方程2 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则x1+x2= ,x1x2= . 典例1 不解方程,求下面方程的两根之和与两 根之积. (1) (x+1)(x-2)=2; (2) 3x2+7x=6. 首先整理为一元二次方程的一般形式,再 利用根与系数的关系求解即可. 解答: 解有所悟:求一元二次方程两个根的和或积时,要 把方程化为一般形式,先用根的判别式确定方程有 无实数根,再利用根与系数的关系进行计算. 典例2 已知x1,x2 是方程2x2-3x-5=0的 两个根,不解方程,求下列代数式的值: (1) x21+x22; (2) |x1-x2|; (3) x1 x2+ x2 x1. x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2;|x1-x2|2= (x1+x2)2-4x1x2; x1 x2+ x2 x1= x21+x22 x1x2 . 然后把 x1+x2和x1x2的值整体代入求解即可. 解答: 解有所悟:求关于一元二次方程两个根的代数式的 值,只需先将代数式转化为含有x1+x2,x1x2的形 式,然后将x1+x2,x1x2的值整体代入求解即可. 典例3 已知关于x的方程x(x-2m)=-m2+ m+1有两个实数根. (1) 求m 的取值范围; (2) 若x1,x2是方程x(x-2m)=-m2+m+ 1的两个根,且x21+x22=1+x1x2,求m 的值. (1) 根据题意得Δ≥0,得到关于m 的不 等式,求解即可得到m 的取值范围;(2) 利用根 与系数的关系,解关于 m 的一元二次方程 即可. 解答: 解有所悟:根据方程的两个实数根满足的条件求字 母的值时,通常要考虑二次项系数不为0,Δ≥0,如 果有其他附加条件的话也要一并考虑在内. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 57 [基础过关] 1. 已知α,β满足α+β=6,且αβ=8,则以α,β 为两根的一元二次方程是 ( ) A. x2+6x+8=0 B. x2-6x+8=0 C. x2-6x-8=0 D. x2+6x-8=0 2. 若x1=a,x2=b是方程x2-2x-4=0的两 根,则a+b ab 的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 1 2 D. -12 3. (贵港中考)若x=-2是一元二次方程x2+ 2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及 m 的值分别是 ( ) A. x=0,m=-2 B. x=0,m=0 C. x=-2,m=-2 D. x=-2,m=0 4. 方程x2-(k2-4)x+k+1=0的两实数根 互为相反数,则k的值为 ( ) A. ±4 B. ±2 C. 2 D. -2 5. 写出两根分别为3和4的一个一元二次方 程: . 答案讲解 6. (鄂州中考)若实数a,b分别满足 a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且 a≠b,则1a+ 1 b 的值为 . 7. (随州中考)已知关于x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的 实数根x1,x2. (1) 求k的取值范围; (2) 若x1x2=5,求k的值. [综合提升] 8. (呼和浩特中考)已知x1,x2 是方程x2- x-2022=0的两个实数根,则代数式x31- 2022x1+x22的值是 ( ) A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 答案讲解 9. (内江中考)已知x1,x2 是关于x 的方程x2-2x+k-1=0的两个实 数根,且x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1,则k 的值为 . 答案讲解 10. 已知▱ABCD 的两边AB,AD 的 长是关于x的方程x2-mx+m- 1=0的两个实数根. (1) m 为何值时,四边形ABCD 是菱形? (2) 若AB 的长为3,求▱ABCD 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 29 数 5. x=-b± b 2-4ac 2a (b2-4ac≥0) 6. 求根公式 7. (1) 一般形式 (2) b2-4ac (3) b2-4ac≥0 ① a≠0 ② b2-4ac≥0 8. 因式分解 9. (1) 零 (2) 乘积 10. (1) 不等 (2) 相等 (3) Δ<0 典例演练 典例1 (1) x1=3,x2=-1.(2) x1=2+ 7,x2=2- 7.(3) x1= 3+ 11 2 ,x2= 3- 11 2 . (4) x1=-2, x2= 5 3. 典例2 (1) ① 3 ② m<3且 m≠2 ③ m>3 (2) ① m≤3 ② m≤3且m≠2 典例3 (1) 2x2+16x+20=2(x2+8x+16)-12= 2(x+4)2-12.∵ (x+4)2≥0,∴ 2(x+4)2-12≥ -12.∴ 多项式2x2+16x+20的最小值是-12. (2) -x2+12x-25=-(x2-12x+36)+11=-(x- 6)2+11.∵ -(x-6)2≤0,∴ -(x-6)2+11≤11.∴ 多 项式-x2+12x-25有最大值,最大值为11. 预学训练 1. D 2. A 3. C 4. C 5. 1 6. 0或3 7. (1) x1=-1+ 2,x2=-1- 2.(2) x1=2+22, x2=2-22.(3) x1=-2,x2=2. 8. A 9. a≥-254 且a≠0 10. (1) ∵ Δ=(-m)2-4×1×(2m-4)=m2-8m+ 16=(m-4)2≥0,∴ 无论m 取何实数,该方程总有两个 实数根.(2) ∵ x2-mx+2m-4=0,即(x-2)[x- (m-2)]=0,∴ x1=2,x2=m-2.∵ 该方程的两个实数 根均为正数,∴ m-2>0.∴ m>2.∴ m 可以取的最小 整数值为3. 21.2 解一元二次方程2 知识梳理 -ba c a 典例演练 典例1 (1) x2-x-4=0,∵ Δ=(-1)2-4×1× (-4)=17>0,∴ x1+x2=- b a =1 ,x1x2= c a = -4.(2) 3x2+7x-6=0,∵ Δ=72-4×3×(-6)= 121>0,∴ x1+x2=- b a=- 7 3 ,x1x2= c a=-2. 典例2 依题意,得x1+x2= 3 2 ,x1x2=- 5 2. (1) x21+ x22=(x1+x2)2-2x1x2= 3 2 2 -2× -52 =294. (2) |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 3 2 2 -4× -52 =494,∴ |x1-x2|= 7 2. (3) x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1x2 = 29 4 -52 =-2910. 典例3 (1) ∵ x(x-2m)=-m2+m+1,∴ x2- 2mx+m2-m-1=0.∴ Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)= 4m+4.∵ 原方程有两个实数根,∴ 4m+4≥0,解得 m≥-1.(2) ∵ x1,x2 是方程x(x-2m)=-m2+m+ 1的两个根,∴ x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1.∵ x21+ x22=1+x1x2,∴ (x1+x2)2=1+3x1x2.∴ (2m)2=1+ 3(m2-m-1).∴ m2+3m+2=0,解得 m1=-1, m2=-2.∵ m≥-1,∴ m=-1. 预学训练 1. B 2. D 3. B 4. D 5. 答案不唯一,如x2-7x+ 12=0 6. 4 3 7. (1) 根据题意,得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0,解得 k>34. (2) 根据题意,得x1x2=k2+1.∵ x1x2=5, ∴ k2+1=5,解得k1=-2,k2=2.∵ k>34 ,∴ k=2. 8. A 解析:把x=x1 代入原方程,得x21-x1-2022= 0,即x21-2022=x1.∵ x1,x2 是方程x2-x-2022= 0的两个实数根,∴ x1+x2=1,x1x2=-2022.∴ 原 式=x1(x21-2022)+x22=x21+x22=(x1+x2)2- 2x1x2=1+4044=4045. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 30 9. 2 解析:∵ x1,x2 是关于x的方程x2-2x+k-1= 0的两个实数根,∴ x1+x2=2,x1x2=k-1,x21-2x1+ k-1=0.∴ x21=2x1-k+1.∵ x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2-1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 = 2 (x1 + x2 ) - k. ∴ 22-2(k-1) k-1 =4-k ,解得k=2或k=5.当k=2时, 关于x的方程为x2-2x+1=0,Δ≥0,符合题意;当k= 5时,关于x的方程为x2-2x+4=0,Δ<0,方程无实数 根,不符合题意.∴ k=2. 10. (1) ∵ ▱ABCD 是菱形,∴ AB=AD.∴ 方程x2- mx+m-1=0有两个相等的实数根.∴ (-m)2-4(m- 1)=0.∴ m1=m2=2.∴ 当m=2时,四边形ABCD 是 菱形.(2) ∵ AB,AD 的长是关于x 的方程x2-mx+ m-1=0的两个实数根,AB 的长为3,∴ AB+AD=m, 3是方程的一个根.∴ 32-3m+m-1=0,解得m=4. ∴ AB+AD=4.∴ 2(AB+AD)=8,即▱ABCD 的周长 为8. 21.3 实际问题与一元二次方程1 知识梳理 1. x x (1+x) x(1+x) (1+x)2 (1+x)n 2. (x-1) 12x (x-1) 3. 10a+b 典例演练 典例1 (1) 设每位发病者平均每天传染x 人.依题意, 得2(1+x)2=50,解得x1=4,x2=-6(不合题意,舍 去).∴ 每位发病者平均每天传染4人.(2) 50×(1+4)= 50×5=250(人),∵ 250>200,∴ 再过一天发病人数会超 过200. 典例2 14 解析:设 A组共有x 个班.依题意,得 1 2x (x-1)=21,解得x1=7,x2=-6(不合题意,舍 去).∴ 九年级共有7×2=14(个)班. 典例3 53或35 解析:设原两位数个位数字为x,则十 位数字为8-x.由题意,得[10×(8-x)+x](10x+8- x)=1855,解得x1=3,x2=5.∴ 原来十位数字为5或 3.∴ 原来这个两位数为53或35. 预学训练 1. B 2. C 3. 9 4. 6 5. 设共有x支队伍参加比赛,则在小组赛阶段,每个小组 有1 8x 支队伍.根据题意,得8×12× 1 8x 1 8x-1 = 48,整理,得x2-8x-768=0,解得x1=32,x2=-24(不 合题意,舍去).∴ 共有32支队伍参加比赛. 6. (1) 设每人一天传染了x 人.依题意,得1+x+(1+ x)×x=225,解得x1=-16(不合题意,舍去),x2= 14.∴ 每人一天传染了14人.(2) 225+225×(14-5)+ [225+225×(14-5)]×(14-5-5)=225+2025+ 2250×4=11250(人).∴ 再过两天共有11250人患有 此病. 21.3 实际问题与一元二次方程2 知识梳理 1. a(1+x)[或a(1-x)] a(1+x)(1+x)[或a(1- x)(1-x)] a(1+x)2[或a(1-x)2] 2. (b-a) (b-a)c 典例演练 典例1 (1) 设2020年到2022年该市数字阅读市场规模 的年平均增长率为x.根据题意,得400(1+x)2=576,解 得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增 长率为20%.(2) 576×(1+20%)=691.2(万元), ∵ 691.2<700,∴ 预计2023年该市数字阅读市场规模不 能达到700万元. 典例2 (1) 当每件的售价降低x元时,每件的销售利润 为(10-x)元,每天可售出(3000+1000x)件.根据题意, 得(10-x)(3000+1000x)=40000,整理得x2-7x+ 10=0,解得x1=2,x2=5.∵ 尽可能地让利顾客,∴ x= 5.∴ 当x为5时,该批发商场每天卖出该款商品的利润 为40000元.(2) 该批发商场每天卖出该款商品的利润不 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈