21.2 解一元二次方程1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

53 21.2　解一元二次方程1 1. 根据平方根的意义直接 来求一元 二次方程的解的方法,叫做直接开平方法. 2. 直接开平方法步骤:(1) 将方程转化为x2= p(p≥0)或(nx+m)2=p(p≥0)的形式; (2) 直接开平方得到两个 ; (3) 解这两个 得到原方程的 两个根. 3. 把一元二次方程左边配成一个含有未知数 的 ,右边是一个 ,进 而可用 来求解,这种通过配成 完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫 做配方法. 4. 用配方法解一元二次方程的步骤:(1) 把原 方程化为 的形式;(2) 方程两边同 除以 ,使二次项系数为 ,并 把常数项移到方程 ;(3) 方程两边 同时加上 ;(4) 把左边配成 一个 ,右边化为一个常数;(5) 如 果右边是 ,那么就可以进一步通过 直接开平方法来求出它的解,如果右边是一 个 ,那么判定此方程无实数解. 5. 把 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 6. 用 解一元二次方程的方法是公 式法. 7. 用公式法解一元二次方程的一般步骤: (1) 把方程化成 ,进而确定a,b,c的 值;(2) 求出 的值;(3) 在 的前提下,把a,b,c的值代入公式进行计 算求出方程的根.注意:用公式法解一元二 次方程的前提条件有两个:① ; ② . 8. 因式分解法就是利用 求出方程的 解的方法. 9. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1) 移项,使方程的右边化为 ; (2) 将方程的左边分解为两个一次因式的 ;(3) 令每个因式分别为零,得到两 个一元一次方程;(4) 解这两个一元一次方 程得到原方程的两个根. 10. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 与Δ=b2-4ac有如下关系:(1) 当Δ>0 时,方程有两个 的实数根;(2) 当 Δ=0时,方程有两个 的实数根; (3) 当 时,方程无实数根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 选用适当的方法解下列方程: (1) 2(1-x)2-8=0; (2) x2-4x-3=0; (3) 2x2-6x-1=0; (4) 3x(x+2)=5(x+2). (1) 利用直接开平方法解方程得出答案; (2) 利用配方法求解即可;(3) 利用公式法解方 程得出答案;(4) 直接利用提取公因式法分解 因式,进而解方程即可. 解答: 解有所悟:要根据一元二次方程的特点来选择解 法,优先选择直接开平方法和因式分解法,其次是 公式法和配方法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 54 典例2(1) 已知关于x 的一元二次方程(m- 2)x2+2x+1=0. ① 若该方程有两个相等的实数根,则m 的值为 ; ② 若该方程有两个不等的实数根,则m 的取值 范围是 ; ③ 若该方程无实数根,则 m 的取值范围是 . (2) 已知关于x的方程(m-2)x2+2x+1=0. ① 若该方程有实数根,则 m 的取值范围是 ; ② 若该方程有两个实数根,则m 的取值范围是 . (1) 该方程为一元二次方程,二次项系数 不为零.当方程有两个不等的实数根时,Δ>0; 当方程有两个相等的实数根时,Δ=0;当方程无 实数根时,Δ<0.(2) ① 当m-2=0,即m=2 时,原方程为一元一次方程,有一个实数根;当 m-2≠0时,由根的判别式的意义得到Δ≥0, 然后综合两种情况得到m 的取值范围.② 当方 程有两个实数根时,方程一定为一元二次方程, 由根的判别式的意义得到m-2≠0且Δ≥0即 可求解. 解答: 解有所悟:当方程ax2+bx+c=0中的a不确定是 否为零时,需要分类讨论,原方程可能是一元一次 方程也可能是一元二次方程;若已知方程有两个 根,则该方程一定是一元二次方程,此时要注意 a≠0. 典例3 阅读材料: 在求多项式x2+4x+8的最小值时,小明 的解法如下:x2+4x+8=x2+4x+4+4= (x+2)2+4.∵ (x+2)2≥0,∴ (x+2)2+4≥ 4,即x2+4x+8的最小值为4. 请解决下面的问题: (1) 求多项式2x2+16x+20的最小值; (2) 猜想多项式-x2+12x-25有最大值还是 最小值,并求出这个最值. (1) 利用配方法把原式化为完全平方式与 一个数的和的形式,根据偶次方的非负性解答; (2) 利用配方法把原式进行变形,根据偶次方 的非负性解答即可. 解答: 解有所悟:将一个二次三项式通过配方转化为完全 平方式加(或减)一个数的形式,当二次项系数为正 时,代数式有最小值;当二次项系数为负时,代数式 有最大值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下 列 一 元 二 次 方 程 中,根 为 x = -5± 52+4×3×1 2×3 的是 ( ) A. 3x2+5x+1=0 B. 3x2-5x+1=0 C. 3x2-5x-1=0 D. 3x2+5x-1=0 2. 将方程3x2-9x+2=0配方成(x+m)2= n的形式为 ( ) A. x-32 2 =1912 B. (x-3)2=94 C. (x+3)2=2712 D. x+32 2 =274 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 55 3. 下列一元二次方程无实数根的是 ( ) A. x2+x-2=0 B. x2-2x=0 C. x2+x+5=0 D. x2-2x+1=0 4. 已知一元二次方程(x-2)2=3的两根为a, b,且a>b,则2a+b的值为 ( ) A. 9 B. -3 C. 6+3 D. -6+3 5. (长沙中考)关于x 的一元二次方程x2+ 2x+t=0有两个相等的实数根,则实数t的 值为 . 6. 当x= 时,代数式x2-6与6-3x 的值互为相反数. 7. (贵阳中考改编)解下列方程. (1) x2+2x-1=0; (2) x2-4x=4; (3) x2-4=0. [综合提升] 答案讲解 8. (巴中中考)对于实数a,b,定义新 运算:a※b=ab2-b.若关于x 的 方程1※x=k 有两个不等的实数 根,则k的取值范围是 ( ) A. k>-14 B. k<-14 C. k>-14 且k≠0 D. k≥-14 且k≠0 9. 关于x的方程ax2-5x-1=0有两个实数 根,则a的取值范围是 . 答案讲解 10. 已知关于x 的方程x2-mx+ 2m-4=0. (1) 求证:无论m 取何实数,该方 程总有两个实数根; (2) 如果该方程的两个实数根均为正数,求 m 的最小整数值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 28 ∴ ∠ADO=135°-90°=45°.过点A 作AG⊥BC于点G, ∴ 易得AG=DG=2.∵ OG=1,∴ OD=1.∴ D(-1,0). ② 当∠DFE=90°时,如图②,易得OB=3,AF=2,OF= 1.∴ BF=OB+OF=4.∴ AB= AF2+BF2 = 25.由翻折可得AE=AB=25,BD=DE,∴ EF= AE-AF=25-2.设DF=a,则BD=DE=4-a.在 Rt△DEF 中,由勾股定理,得DF2+EF2=DE2,∴ a2+ (25-2)2=(4-a)2,解得a= 5-1.∴ BD=4- (5-1)=5- 5.∴ OD=OB-BD=3-(5- 5)= 5-2.∴ D(2- 5,0).综上所述,点D 的坐标为(-1, 0)或(2-5,0). 第21题 3 预学储备 第二十一章　一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识梳理 1. ① 整式 整式 未知数 ② 一 ③ 2 2. ax2+ bx+c=0(a≠0) ax2 a bx c 3. 相等 典例演练 典例1 B 解析:∵ 方程(m-2)x|m|-2x=3是关于x 的一元二次方程,∴ |m|=2,且m-2≠0.∴ m=-2. 典例2 (1) x2+x-24=0,它的二次项系数为1,一次项 系数为1,常数项为-24.(2) x2-4x=0,它的二次项系 数为1,一次项系数为-4,常数项为0.(3) 3x2-4=0,它 的二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为-4. (4) 5x2-14x-19=0,它的二次项系数为5,一次项系数 为-14,常数项为-19. 典例3 -2023 解析:∵ a 是方程x2-2023x+1= 0的一个根,∴ a2-2023a+1=0,即a2+1=2023a, a2-2023a=-1.∴ a3-2023a2-2023a2+1=a (a2- 2023a)-20232023a=-a- 1 a =- a2+1 a =- 2023a a = -2023. 预学训练 1. D 2. C 3. C 4. x2-3x=0 5. 6 6. -2 解析:∵ (2-a)xa 2-2-5=0是一元二次方程, ∴ 2-a≠0, a2-2=2, 解得a=-2. 因忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错 一元二次方程的二次项系数中如果含有字母,那 么一定要保证二次项系数不为0. 7. (11-2x)(7-2x)=21 8. (1) ① 由题意,得m2-1=1,解得m=± 2.∴ 当 m=±2时,该方程是一元一次方程.② 由题意,得m- 3=0,解得m=3.∴ 当m= 3时,该方程是一元一次 方程.③ 由题意,得 m2-1=0,解得 m=±1.∴ 当 m=±1时,该方程是一元一次方程.综上所述,m 的值 为±2或3或±1.(2) 由题意,得m2-1=2且m-3≠ 0,解得m=-3. 9. B 解析:∵ m 为方程x2+3x-2022=0的根, ∴ m2+3m-2022=0.∴ m2+3m=2022.∴ 原式= m3+3m2-m2-3m-2022m+2022=m(m2+3m)- (m2+3m)-2022m+2022=2022m-2022-2022m+ 2022=0. 10. y1=-1,y2=1 11. (1) 1 (2) -1 (3) -2 21.2 解一元二次方程1 知识梳理 1. 开平方 2. (2) 一元一次方程 (3) 一元一次方程 3. 完全平方式 非负常数 直接开平方法 4. (1) ax2+ bx+c=0(a≠0) (2) 二次项系数 1 右边 (3) 一次 项系数一半的平方 (4) 完全平方式 (5) 非负数 负 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 29 数 5. x=-b± b 2-4ac 2a (b2-4ac≥0) 6. 求根公式 7. (1) 一般形式 (2) b2-4ac (3) b2-4ac≥0 ① a≠0 ② b2-4ac≥0 8. 因式分解 9. (1) 零 (2) 乘积 10. (1) 不等 (2) 相等 (3) Δ<0 典例演练 典例1 (1) x1=3,x2=-1.(2) x1=2+ 7,x2=2- 7.(3) x1= 3+ 11 2 ,x2= 3- 11 2 . (4) x1=-2, x2= 5 3. 典例2 (1) ① 3 ② m<3且 m≠2 ③ m>3 (2) ① m≤3 ② m≤3且m≠2 典例3 (1) 2x2+16x+20=2(x2+8x+16)-12= 2(x+4)2-12.∵ (x+4)2≥0,∴ 2(x+4)2-12≥ -12.∴ 多项式2x2+16x+20的最小值是-12. (2) -x2+12x-25=-(x2-12x+36)+11=-(x- 6)2+11.∵ -(x-6)2≤0,∴ -(x-6)2+11≤11.∴ 多 项式-x2+12x-25有最大值,最大值为11. 预学训练 1. D 2. A 3. C 4. C 5. 1 6. 0或3 7. (1) x1=-1+ 2,x2=-1- 2.(2) x1=2+22, x2=2-22.(3) x1=-2,x2=2. 8. A 9. a≥-254 且a≠0 10. (1) ∵ Δ=(-m)2-4×1×(2m-4)=m2-8m+ 16=(m-4)2≥0,∴ 无论m 取何实数,该方程总有两个 实数根.(2) ∵ x2-mx+2m-4=0,即(x-2)[x- (m-2)]=0,∴ x1=2,x2=m-2.∵ 该方程的两个实数 根均为正数,∴ m-2>0.∴ m>2.∴ m 可以取的最小 整数值为3. 21.2 解一元二次方程2 知识梳理 -ba c a 典例演练 典例1 (1) x2-x-4=0,∵ Δ=(-1)2-4×1× (-4)=17>0,∴ x1+x2=- b a =1 ,x1x2= c a = -4.(2) 3x2+7x-6=0,∵ Δ=72-4×3×(-6)= 121>0,∴ x1+x2=- b a=- 7 3 ,x1x2= c a=-2. 典例2 依题意,得x1+x2= 3 2 ,x1x2=- 5 2. (1) x21+ x22=(x1+x2)2-2x1x2= 3 2 2 -2× -52 =294. (2) |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2= 3 2 2 -4× -52 =494,∴ |x1-x2|= 7 2. (3) x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1x2 = 29 4 -52 =-2910. 典例3 (1) ∵ x(x-2m)=-m2+m+1,∴ x2- 2mx+m2-m-1=0.∴ Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)= 4m+4.∵ 原方程有两个实数根,∴ 4m+4≥0,解得 m≥-1.(2) ∵ x1,x2 是方程x(x-2m)=-m2+m+ 1的两个根,∴ x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1.∵ x21+ x22=1+x1x2,∴ (x1+x2)2=1+3x1x2.∴ (2m)2=1+ 3(m2-m-1).∴ m2+3m+2=0,解得 m1=-1, m2=-2.∵ m≥-1,∴ m=-1. 预学训练 1. B 2. D 3. B 4. D 5. 答案不唯一,如x2-7x+ 12=0 6. 4 3 7. (1) 根据题意,得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0,解得 k>34. (2) 根据题意,得x1x2=k2+1.∵ x1x2=5, ∴ k2+1=5,解得k1=-2,k2=2.∵ k>34 ,∴ k=2. 8. A 解析:把x=x1 代入原方程,得x21-x1-2022= 0,即x21-2022=x1.∵ x1,x2 是方程x2-x-2022= 0的两个实数根,∴ x1+x2=1,x1x2=-2022.∴ 原 式=x1(x21-2022)+x22=x21+x22=(x1+x2)2- 2x1x2=1+4044=4045. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈