21.1 一元二次方程-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

28 ∴ ∠ADO=135°-90°=45°.过点A 作AG⊥BC于点G, ∴ 易得AG=DG=2.∵ OG=1,∴ OD=1.∴ D(-1,0). ② 当∠DFE=90°时,如图②,易得OB=3,AF=2,OF= 1.∴ BF=OB+OF=4.∴ AB= AF2+BF2 = 25.由翻折可得AE=AB=25,BD=DE,∴ EF= AE-AF=25-2.设DF=a,则BD=DE=4-a.在 Rt△DEF 中,由勾股定理,得DF2+EF2=DE2,∴ a2+ (25-2)2=(4-a)2,解得a= 5-1.∴ BD=4- (5-1)=5- 5.∴ OD=OB-BD=3-(5- 5)= 5-2.∴ D(2- 5,0).综上所述,点D 的坐标为(-1, 0)或(2-5,0). 第21题 3 预学储备 第二十一章　一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识梳理 1. ① 整式 整式 未知数 ② 一 ③ 2 2. ax2+ bx+c=0(a≠0) ax2 a bx c 3. 相等 典例演练 典例1 B 解析:∵ 方程(m-2)x|m|-2x=3是关于x 的一元二次方程,∴ |m|=2,且m-2≠0.∴ m=-2. 典例2 (1) x2+x-24=0,它的二次项系数为1,一次项 系数为1,常数项为-24.(2) x2-4x=0,它的二次项系 数为1,一次项系数为-4,常数项为0.(3) 3x2-4=0,它 的二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为-4. (4) 5x2-14x-19=0,它的二次项系数为5,一次项系数 为-14,常数项为-19. 典例3 -2023 解析:∵ a 是方程x2-2023x+1= 0的一个根,∴ a2-2023a+1=0,即a2+1=2023a, a2-2023a=-1.∴ a3-2023a2-2023a2+1=a (a2- 2023a)-20232023a=-a- 1 a =- a2+1 a =- 2023a a = -2023. 预学训练 1. D 2. C 3. C 4. x2-3x=0 5. 6 6. -2 解析:∵ (2-a)xa 2-2-5=0是一元二次方程, ∴ 2-a≠0, a2-2=2, 解得a=-2. 因忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错 一元二次方程的二次项系数中如果含有字母,那 么一定要保证二次项系数不为0. 7. (11-2x)(7-2x)=21 8. (1) ① 由题意,得m2-1=1,解得m=± 2.∴ 当 m=±2时,该方程是一元一次方程.② 由题意,得m- 3=0,解得m=3.∴ 当m= 3时,该方程是一元一次 方程.③ 由题意,得 m2-1=0,解得 m=±1.∴ 当 m=±1时,该方程是一元一次方程.综上所述,m 的值 为±2或3或±1.(2) 由题意,得m2-1=2且m-3≠ 0,解得m=-3. 9. B 解析:∵ m 为方程x2+3x-2022=0的根, ∴ m2+3m-2022=0.∴ m2+3m=2022.∴ 原式= m3+3m2-m2-3m-2022m+2022=m(m2+3m)- (m2+3m)-2022m+2022=2022m-2022-2022m+ 2022=0. 10. y1=-1,y2=1 11. (1) 1 (2) -1 (3) -2 21.2 解一元二次方程1 知识梳理 1. 开平方 2. (2) 一元一次方程 (3) 一元一次方程 3. 完全平方式 非负常数 直接开平方法 4. (1) ax2+ bx+c=0(a≠0) (2) 二次项系数 1 右边 (3) 一次 项系数一半的平方 (4) 完全平方式 (5) 非负数 负 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 第二十一章　一元二次方程 21.1　一元二次方程 1. 一元二次方程必须同时满足三个条件: ① 方程,即等号两边都是 ; 方程中如果有分母,那么分母中没有 ;② 只含有 个未知数;③ 未 知数的最高次数是 . 2. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程经 过整理,都能化成如下形式: . 这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其 中 叫做二次项, 叫做二次 项系数; 叫做一次项; 叫 做常数项. 3. 能使一元二次方程左右两边 的未 知数的值是一元二次方程的解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 若方程(m-2)x|m|-2x=3是关于x 的一元二次方程,则m 的值 ( ) A. 为2 B. 为-2 C. 为±2 D. 不存在 利用定义:只含有一个未知数,并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 判定即可. 解答: 解有所悟:确定一元二次方程中字母的值时,不仅 要考虑未知数的最高次数是2,还要考虑二次项的 系数不等于0. 典例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形 式(a>0),并写出二次项系数、一次项系数和常 数项. (1) (x+4)(x-3)=12; (2) (x+2)2-2x(x-2)=4x+4; (3) 3x(x+2)=2(3x+2); (4) 4(x-5)2=9(x-3)2. 对已知方程通过去括号、移项、合并同类 项等步骤将方程整理成ax2+bx+c=0的形 式,即可得解. 解答: 解有所悟:一元二次方程化为一般形式ax2+bx+ c=0(a≠0)后,若没有出现一次项bx,则b=0;若 没有出现常数项c,则c=0. 典例3 已知a是方程x2-2023x+1=0的一 个根,则a3-2023a2-2023a2+1= . 由a 是方程x2-2023x+1=0的一个 根,将x=a 代入方程,得到关于a 的等式,变 形后代入所求式子中计算,即可求出其值. 解答: 解有所悟:求代数式的值时,若涉及的字母的值不 能直接求出,则用整体代入法求解,即将所求代数 式或其中一部分看成一个整体.必要时,需进行适 当的拆分或提公因式再代入求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 52 [基础过关] 1. 下列方程中,是一元二次方程的为 ( ) A. x-1=0 B. x+y=2 C. x2+1x=1 D. x2-1=0 2. 若关于x的一元二次方程x2+2x-t=0的 一个根为1,则t的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -1 3. 将方程4x(x+2)=25化成ax2+bx+c=0 (a>0)的形式,则a,b,c的值分别为( ) A. 4,8,25 B. 4,2,-25 C. 4,8,-25 D. 1,2,25 4. 若一个一元二次方程的二次项系数为1,常 数项为0,其中一个根为x=3,则该方程的 一般形式为 . 5. (资阳中考)若a是一元二次方程x2+2x-3= 0的一个根,则2a2+4a的值是 . 6. ★若(2-a)xa 2-2-5=0是一元二次方程,则 a= . 7. (青海中考)如图,小明同学用一张长11cm、 宽7cm 的矩形纸板制作一个底面积为 21cm2的无盖长方体纸盒,他将纸板的四个 角各剪去一个同样大小的正方形,将四周 向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形 的边长为xcm,则可列出关于x 的方程为 . 第7题 答案讲解 8. 已知关于x的方程(m-3)xm 2-1- x=3. (1) 当m 为何值时,该方程是关于 x的一元一次方程? (2) 当m 为何值时,该方程是关于x的一元 二次方程? [综合提升] 答案讲解 9. (遂宁中考)已知 m 为方程x2+ 3x-2022=0的根,则m3+2m2- 2025m+2022的值为 ( ) A. -2022 B. 0 C. 2022 D. 4044 10. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0 的两个实数根分别为3和5,则关于y 的 方程(y+4)2+b(y+4)+c=0的解是 . 11. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0. (1) 若a+b+c=0,则方程必有一个根为 x= ; (2) 若a-b+c=0,则方程必有一个根为 x= ; (3) 若4a-2b+c=0,则方程必有一个根 为x= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版)