专题6 一次函数与四边形中的动点问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

21 14. D 15. ∵ 对称点O'在直线y=2x+3上,∴ 可设O'(m, 2m+3).如图,设直线y=-x+k与x轴、y轴的交点为 M,N,连接O'M,O'N,设直线MN 与OO'交于点P,则 OM=ON=|k|.∴ △MON 是等腰直角三角形.由对称 性可得点O'的横坐标与纵坐标相等,∴ m=2m+3. ∴ m=-3.∴ O'(-3,-3).∴ P -32 ,-32 .将 -32 ,-32 代入y=-x+k,得-32=32+k,解得 k=-3. 第15题 16. y=x+2 解析:∵ 将坐标系折叠,使l1 与l2 重合, 此时点(-1,0)与点(0,-1)也重合,∴ 坐标系是沿直线 y=x折叠的.∵ 直线l1 与直线y=x平行,折叠后l1 与 l2 重合,∴ 直线l2 也与直线y=x 平行.∴ 可设直线 l2对应的函数解析式为y=x+b.∵ 直线y=x-2过点 (0,-2),该点折叠后的对应点为(-2,0),∴ 直线l2 过 点(-2,0).∴ 0=-2+b.∴ b=2.∴ 直线l2 对应的函 数解析式为y=x+2. 专题六　一次函数与四边形中的 动点问题 1. (1) ∵ CE 平分∠ACB,∴ ∠ACE=∠BCE.∵ MN∥ BC,∴ ∠OEC=∠ECB.∴ ∠OEC=∠OCE.∴ OE= OC.同理可得OC=OF,∴ OE=OF.(2) 当点O 运动到 AC的中点处时,四边形AECF 是矩形.∵ O 为AC 的中 点,∴ AO=CO.又∵ EO=FO,∴ 四边形AECF 为平行 四边形.∵ CE 平分∠ACB,∴ ∠ACE=12∠ACB. 同理 可得∠ACF=12∠ACG ,∴ ∠ECF=∠ACE+∠ACF= 1 2 (∠ACB+∠ACG)=12×180°=90°.∴ 四边形AECF 是矩形.(3) △ABC 是直角三角形且∠ACB=90°. ∵ ∠ACB=90°,∴ AC⊥BC.∵ MN∥BC,∴ AC⊥ MN,即AC⊥EF.由(2)知四边形AECF 是矩形,∴ 矩形 AECF 是正方形. 2. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠B =90°. ∵ ∠BAC=60°,∴ ∠ACB=90°-∠BAC=30°.由题意, 得AE=2tcm,CF=4tcm.∵ FO⊥BC,∴ ∠FOC= 90°.∵ ∠ACB=30°,∴ OF=12CF=2tcm.∴ AE= OF.(2) 四边形AEOF 能成为菱形.∵ ∠FOC=∠B= 90°,∴ OF∥AB.∵ AE=OF,∴ 四边形AEOF 是平行 四边形.当AE=AF 时,四边形AEOF 是菱形,即2t= 60-4t,解得t=10,∴ 当t=10时,四边形AEOF 是菱 形.(3) ① 当∠OFE=90°时,∠OFE=∠FOC,∴ EF∥ BC.∴ ∠AFE=∠ACB=30°,∠AEF=∠B=90°.在 Rt△AEF 中,∠AFE=30°,∴ AF=2AE,即60-4t= 2×2t,解得t=152.② 当∠OEF=90°时,∵ 四边形 AEOF 是 平 行 四 边 形,∴ OE∥AC.∴ ∠AFE = ∠OEF =90°.在 Rt△AEF 中,∵ ∠BAC =60°, ∴ ∠AEF=30°.∴ AE=2AF,即2t=2(60-4t),解得 t=12.易知不存在∠EOF=90°的情况.综上所述,当t= 15 2 或t=12时,△OEF 为直角三角形. 在动点问题中探索构成特殊形状图形的时刻 在动点问题中,要清楚动点的运动路径,把动点走 完的路程和未走完的路程用含时间t的式子表示出 来.先假设特殊形状的图形存在,在这个条件的基础 上,分析图形中线段间的数量关系和位置关系,再根据 特殊形状图形中线段间的数量关系建立方程求解. 3. (1) 当0≤t<2.5时,∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°.∴ ∠BAC= ∠DCA.∵ AB=6cm,BC=8cm,∴ 在Rt△ABC 中, AC= AB2+BC2=10cm.∵ G,H 分别是AB,DC 的 中点,∴ AG=12AB ,CH=12CD.∴ AG=CH.∵ E,F 是对角线AC上的两个动点,分别从点A,C 同时出发,相 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 向而行,速度均为2cm/s,∴ AE=CF.∴ AF=CE. ∴ △AGF≌△CHE.∴ GF=HE,∠AFG=∠CEH. ∴ GF∥HE.∴ 四边形EGFH 为平行四边形.当2.5< t≤5时,同理可得四边形GEHF 为平行四边形.∴ 以E, G,F,H 为顶点的四边形始终是平行四边形.(2) 连接 GH,由(1)可知四边形EGFH(或四边形GEHF)是平行 四边形,∵ G,H 分别是AB,DC 的中点,∴ 易得四边形 GBCH 是矩形.∴ GH=BC=8cm.∴ 当EF=GH= 8cm时,四边形EGFH(或四边形GEHF)是矩形.分两 种情况:① 当0≤t<2.5时,易得AE=CF=2tcm,则 EF=(10-4t)cm.∴ 10-4t=8,解得t=0.5.② 当 2.5<t≤5时,EF=(2t+2t-10)cm.∴ 2t+2t-10=8, 解得t=4.5.综上所述,当t的值为4.5或0.5时,以E, G,F,H 为顶点的四边形是矩形.(3) 由题意,可知EF 为 所围菱形的对角线,此时点G 在BC上点H 在AD 上,以 E,G,F,H 为顶点的四边形GEHF 如图所示,连接AG, CH,GH,设GH 与AC交于点O.∵ 四边形GEHF 是菱 形,∴ GH⊥EF,OG=OH,OE=OF.∵ AF=CE, ∴ OA=OC.∴ 四边形AGCH 是菱形.∴ AG=CG.设 AG=CG=xcm,则BG=(8-x)cm.由勾股定理,得AB2+ BG2=AG2,∴ 62+(8-x)2=x2,解得x=254.∴ BG=8- 25 4= 7 4 (cm).∴ AB+BG=6+74= 31 4 (cm).∴ 运动的 时间为31 4÷2= 31 8 (s),即t的值为318. 第3题 4. (1) ∵ A(8,0),B(10,6),且四边形OABC 是平行四 边形,∴ OA=8=BC.∴ C(2,6).设直线AC对应的函数 解析式为y=kx+b.把 A(8,0),C(2,6)代入,得 8k+b=0, 2k+b=6, 解得 k=-1, b=8. ∴ 直线AC对应的函数解析式 为y=-x+8.(2) 由C(2,6),易得直线OC对应的函数解 析式为y=3x.如图,当点M 在点N 左侧时,设M(x,0), 则易得P(x,3x),N(8-3x,0),Q(8-3x,3x).∴ PQ= 8-3x-x=8-4x,MN=8-3x-x=8-4x,PQ∥ MN.∴ PQ=MN.∴ 四边形PMNQ 为平行四边形.当 点M 在点N 右侧时,同理可得四边形PMNQ 为平行四 边形.∵ ∠PMN =90°,∴ 四边形 PMNQ 是 矩 形. (3) 8 7 或8. 第4题 第5题 5. (1) 将C(2,8)代入y=kx+12,得2k+12=8, ∴ k=-2.∴ 直线AC对应的函数解析式为y=-2x+ 12.∴ 易得A(6,0).∴ OA=6.∵ 直线BC∥x轴,且交直 线y=x于点B,∴ 易得B(8,8).∴ BC=6.∴ BC= OA.又∵ BC∥OA,∴ 四边形OABC 是平行四边形. (2) 如图,设OB 与AC 交于点K.由题意可知BN= OM=t.∵ 四边形OABC 是平行四边形,∴ K(4,4). ∵ B(8,8),∴ 易得OB=82.① ∵ t=522 ,且5 22< 4,∴ 此时点M,N 未相遇,且MN=82-2t=32.过 点A 作AG⊥OB 于点G.∵ 易得∠AOB=45°,OA=6, ∴ OG=AG=32.∵ BC∥OA,∴ ∠OBC=∠BOA.又 ∵ BC=OA,OB=BO,∴ △OBC≌△BOA.∴ △OBC 与△BOA 的 边 OB 上 对 应 的 高 相 等.∴ S△CMN = 1 2MN ·AG=12×3 2×3 2=9.② 存在t值,使 △CMN 为直角三角形.当∠CNM=90°时,易得CN= AG,在 Rt△CBN 和 Rt△AOG 中, CB=AO, CN=AG, ∴ Rt△CBN≌Rt△AOG.∴ BN=OG=3 2.∴ t= 32.当∠CMN=90°时,点M,N 已经相遇,点M 在点N 右侧,此时∠CBO=∠AOB=45°,又∵ BC=6,∴ BM= 3 2.∴ OM=5 2.∴ t=5 2.当∠MCN=90°时, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 ∵ OM=BN,∴ 易得 KM=KN.∴ CK=12MN. 由 C(2,8),K(4,4),易得CK=25,又易得MN=|82- 2t|,∴ 25=12|82-2t|.∴ t=42+25或t= 42-25.综上所述,t的值为32或52或42- 25或42+25. 6. (1) 在y= 3 4x+6 中,令x=0,得y=6.∴ B(0,6).令 y=0,得x=-8,∴ A(-8,0).∵ A(-8,0),B(0,6), ∴ OA =8,OB =6.∵ ∠AOB =90°,∴ AB = OA2+OB2=10.过点C作CH⊥AB 于点H.设OC= t.∵ BC 平分∠ABO,∠AOB=90°,∴ CH=OC=t. ∵ S△ABO=S△ABC+S△BCO,∴ 1 2OA ·OB=12AB · CH+12OC ·OB.∴ 6×8=10t+6t.∴ t=3.∴ OC= 3.∴ 点C的坐标为(-3,0).(2) 由B(0,6),C(-3,0), 易得直线BC对应的函数解析式为y=2x+6.设M(m, 2m+6),N(n,2n+6).如图①,过点M 作MF⊥x轴于点 F,过点N 作NE⊥x 轴于点E.∵ △AMN 为等腰直角 三角 形,∴ AM =AN.∵ ∠NAE+∠MAF=90°, ∠MAF + ∠AMF = 90°,∴ ∠AMF = ∠NAE. ∵ ∠AFM=∠NEA=90°,AM =NA,∴ △FMA≌ △EAN.∴ AF=NE,MF=AE,即-2n-6=m+8, 2m+6=8+n,解得m=-2,n=-6.∴ 点M 的坐标为 (-2,2).(3) 存在.设P(0,p).① 当AB 是边时,如图 ②.∵ 以A,B,P,Q 为顶点的四边形为菱形,∴ BP= AB=10,BP'=AB=10,OA=OQ″=8,OB=OP″=6. ∵ B(0,6),∴ P(0,16),P'(0,-4),P″(0,-6).∵ A(-8, 0),∴ Q(-8,10),Q'(-8,-10),Q″(8,0).② 当AB 是 对角线时,如图③.∵ 以A,B,P,Q 为顶点的四边形为菱 形,∴ AP=BP.∴ BP2=AP2.易得BP2=(p-6)2,AP2= 82+p2,∴ (p-6)2=82+p2,解得p=- 7 3.∴ P 0, -73 .∴ BP=6+73= 25 3.∴ Q -8,253 .综上所述, 点Q 的 坐 标 为(-8,10)或(-8,-10)或(8,0) 或 -8,253 . 第6题 专题七　三种建模思想的应用 1. C 2. (1) 设甲种运动鞋的售价为m 元/双,乙种运动鞋的售 价为n 元/双.由题意,得 m-n=80, 4m=6n, 解得 m=240, n=160. ∴ 甲种运动鞋的售价为240元/双,乙种运动鞋的售价为 160元/双.(2) 设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种运动 鞋(200-x)双.根据题意,得 (240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700①, (240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300②. 解不等 式①,得x≥95;解不等式②,得x≤105.∴ 不等式组的解 集是95≤x≤105.∵ x是正整数,105-95+1=11,∴ 该 专卖店有11种进货方案.(3) 设总利润为W 元.由题意, 得W=(240-100-a)x+(160-80)(200-x)=(60- a)x+16000(95≤x≤105).① 当50<a<60时,60-a> 0,此时W 随x的增大而增大,∴ 当x=105时,W 有最大 值,200-x=95.∴ 此时应购进甲种运动鞋105双,购进 乙种运动鞋95双.② 当a=60时,60-a=0,W = 16000.∴ (2)中 所 有 方 案 获 得 的 最 大 利 润 都 为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 40 专题六　一次函数与四边形中的动点问题 动点问题一直是中考的重点和热点,常常与三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、函数结 合在一起进行考查.动点问题体现了数学中的运动变化思想、分类讨论思想、方程思想,动点问题 的背景一般是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系,分析过程中要特别关注图形的特殊性 (特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置),分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系,找 到变化中的不变量,从而解决问题. 类型一 动点与特殊图形 1. 新考法 探究题 如图,在△ABC 中,O 为 边AC 上的一个动点,过点O 作直线MN∥ BC,设MN 交△ABC 的外角平分线CF 于 点F,交∠ACB 的平分线CE 于点E. (1) 求证:EO=FO. (2) 当点O 运动到何处时,四边形AECF 是 矩形? 请证明你的结论. (3) 在(2)的条件下,若四边形AECF 是正 方形,请猜想△ABC 的形状并证明你的 结论. 第1题 2. ★如图,在 矩 形 ABCD 中,AC=60cm, ∠BAC=60°,点E 从点A 出发,沿AB 方向 以2cm/s的速度向点B 运动,同时点F 从 点C 出发,沿CA 方向以4cm/s的速度向点 A 运动,当其中一个点到达终点时,另一个 点也随之停止运动.设点E,F 运动的时间 是ts(0<t≤15).过点F 作FO⊥BC 于点 O,连接OE,EF. (1) 求证:AE=OF. (2) 四边形AEOF 能否成为菱形? 如果能, 求出相应的t的值;如果不能,请说明理由. (3) 当t为何值时,△OEF 为直角三角形? 第2题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 41 答案讲解 3. 如 图,在 矩 形 ABCD 中,AB = 6cm,BC=8cm,E,F 是对角线 AC 上的两个动点,分别从点A,C 同时出发,相向而行,速度均为2cm/s,运动 时间为ts(0≤t≤5). (1) 若G,H 分别是AB,DC 的中点,且t≠ 2.5,求证:以E,G,F,H 为顶点的四边形始 终是平行四边形. (2) 在(1)的条件下,当t为何值时,以E,G, F,H 为顶点的四边形为矩形? (3) 若G,H 分别是折线A-B-C,C-D-A 上 的动点,分别从点A,C 开始,以2cm/s的速 度与点E,F 同时出发,当t为何值时,以E, G,F,H 为顶点的四边形为菱形? 第3题 类型二 动点与一次函数 4. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是平行四边形,点A,B 的坐标分别为(8,0), (10,6). (1) 求直线AC 对应的函数解析式. (2) 点M 从点O 出发,以每秒1个单位长度 的速度沿x轴向右运动,点N 从点A 出发, 以每秒3个单位长度的速度沿x 轴向左运 动,两点同时出发.过点M,N 作x轴的垂线 分别交直线OC,AC 于点P,Q,则四边形 PMNQ 为什么特殊四边形(点M,N 重合时 除外)? (3) 在(2)的条件下,当点M 运动 秒 时,四边形 PMNQ 是正方形(直接写出 结论). 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 42 答案讲解 5. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y=kx+12(k≠0)经过点C(2,8), 与x轴交于点A,过点C 作x轴的 平行线交直线y=x于点B,连接OC,AB. (1) 求证:四边形OABC 是平行四边形. (2) 动点M 从点O 出发,沿对角线OB 以每 秒1个单位长度的速度向点B 运动;动点N 从点B 出发,沿对角线BO 以每秒1个单位 长度的速度向点O 运动.设点M 和点N 同 时出发,运动时间为t秒. ① 当t=522 时,求△CMN 的面积. ② 是否存在t值,使△CMN 为直角三角形? 若存在,请求出t的值;若不存在,请说明 理由. 第5题 答案讲解 6. 如图①,直线y= 3 4x+6 与x 轴、 y轴分别交于A,B 两点,∠ABO 的平分线与x轴相交于点C. (1) 求点C 的坐标. (2) 如图②,在直线BC 上有两点M,N,点 M 在点N 上方,△AMN 是等腰直角三角 形,∠MAN=90°,求点M 的坐标. (3) 点P 在y 轴上,在平面上是否存在点 Q,使以A,B,P,Q 为顶点的四边形为菱 形? 若存在,请写出点Q 的坐标;若不存在, 请说明理由. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版)