专题5 轴对称变换-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

19 ∴ ∠AEB=∠AEM=90°.在△ABE 中,∵ ∠1+∠3+ ∠AEB=180°,∴ ∠3=90°-∠1.同理,∠4=90°- ∠2.∵ ∠1=∠2,∴ ∠3=∠4.∴ AB=AM.∴ AC- AB=AC-AM =CM.∵ ∠4 是 △BCM 的 外 角, ∴ ∠4=∠5+∠C.∵ ∠3=∠4,∴ ∠ABC=∠3+ ∠5=∠4+∠5.∵ ∠ABC=3∠C,∴ 3∠C=∠4+ ∠5=2∠5+∠C.∴ ∠5=∠C.∴ CM=BM.∵ AB= AM,BE⊥AE,∴ BM=2BE.∴ AC-AB=BM=2BE. 利用图形归一法证明线段差问题 在同一条直线上的三条线段,我们很容易得出三 条线段之间的数量关系.如果三条线段不在同一条直 线上,那么需要构造等量关系把三条线段转移到同一 条直线上.本题出现了角平分线AE,并且BE⊥AE,这 个图形恰好是等腰三角形三线合一的一部分,故延长 BE 交AC 于点M,构造等腰三角形,从而解决问题. 专题五　轴对称变换 1. C 2. D 解析:如图,连接BQ,BD.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ AC⊥BD,AC 平分BD.∵ Q 是AC 上一动点, ∴ BQ=DQ.∴ DQ+PQ=BQ+PQ.当P,Q,B 三点在 同一条直线上时,BQ+PQ 的值最小,为线段BP 的 长.∵ △PDQ 的周长=DP+DQ+PQ,∴ 此时DQ+ PQ 的值最小,即△PDQ 的周长最小.∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=AD.∵ ∠BAD=60°,∴ △BAD 是等边 三角形.又∵ P 是AD 的中点,∴ BP⊥AD, AP=DP= 1.∴ ∠APB=90°.∴ BP= AB2-AP2= 22-12= 3.∴ DQ+PQ 的最小值为3.又∵ DP=1,∴ △PDQ 周长的最小值是1+3. 第2题 3. D 解析:如图,连接BD,BP.∵ 在正方形ABCD 中, AC⊥BD,AC 平分BD,∴ PD=PB.∴ PD+PE= PB+PE.由两点之间线段最短,可知当点P 在BE 和AC 的交点P'处时,PD+PE 有最小值,最小值为BE 的 长. ∵ 正方形 ABCD 的面积为12,∴ AB=2 3.又 ∵ △ABE 是等边三角形,∴ BE=AB=23.∴ PD+ PE 的最小值为23. 第3题 4. (1) 2 3 ,0 73 (2) (-10,0) 解析:(1) 如图, ∵ A(-2,1),∴ 点A 关于x 轴的对称点A'的坐标为 (-2,-1).设直线A'B 对应的函数解析式为y= kx+ b.将A'(-2,-1),B(6,2)代入,得 -2k+b=-1, 6k+b=2, 解得 k=38 , b=-14. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线A'B 对应的函数解析式为y= 3 8x- 1 4. 当y=0时,x= 2 3.∴ P 23 ,0 .∵ A'(-2,-1), B(6,2),∴ 易 得 A'B= (-2-6)2+(-1-2)2 = 73,即PA+PB 的最小值为 73.(2) 如图,由题意,可 得当点P'到A,B 两点距离之差的绝对值最大时,点P' 在直线AB 上.设直线AB 对应的函数解析式为y=mx+ n.将A(-2,1),B(6,2)代入,得 -2m+n=1, 6m+n=2, 解得 m=18 , n=54. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ y= 1 8x+ 5 4. 令y=0,得x=-10.∴ 点P 的坐标为(-10,0). 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 5. B 6. 52° 解析:如图,作点A 关于BC,CD 的对称点A', A″,连接A'A″,交BC 于点M,交CD 于点N,则A'A″的 长即为△AMN 周长的最小值.作 DA 的延长线AH, ∵ ∠BAD=116°,∴ ∠HAA'=64°.∴ ∠A'+∠A″= ∠HAA'=64°.∵ 作点A 关于BC,CD 的对称点A',A″, ∴ MA = MA',NA = NA″.∴ ∠A'= ∠MAA', ∠NAD = ∠A″.又 ∵ ∠A'+ ∠MAA'= ∠AMN, ∠NAD+ ∠A″= ∠ANM,∴ ∠AMN + ∠ANM = ∠A'+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2 (∠A'+∠A″)= 2×64°=128°.∴ ∠MAN =180°- (∠AMN + ∠ANM)=52°. 第6题 7. B 8. 作点A 关于y轴的对称点A',点B 关于x轴的对称点 B',连接A'B',分别交x 轴、y 轴于点C,D,此时AD+ CD+BC 的值最小.由对称性可知A'(-1,3),B'(3, -1).设直线A'B'对应的函数解析式为y=kx+b,则 -k+b=3, 3k+b=-1, 解得 k=-1 , b=2. ∴ 直线A'B'对应的函数解 析式为y=-x+2,即直线CD 对应的函数解析式为 y=-x+2.当y=0时,x=2,∴ 点C的坐标为(2,0).当 x=0时,y=2,∴ 点D 的坐标为(0,2). 9. 如图,EF 处即为天桥的位置. 第9题 利用平移的方法求最短距离 涉及最短距离的知识点有两点之间线段最短和垂 线段最短.本题中,街道的宽度是定值,所以桥的两端 与A,B 的距离之和就决定了由A 到B 的路线的 长度. 10. 如图,CD 处即为绿化带的位置. 第10题 11. D 解析:由题意可求得DE=2,CE=4,AB=BC= AD=6.∵ 将 △ADE 沿 AE 对 折 得 到 △AFE, ∴ ∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°,AF=AD=AB, EF = DE = 2.在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中, AB=AF, AG=AG, ∴ Rt△ABG≌Rt△AFG.故①正确.∴ BG= GF,∠BGA=∠FGA.设BG=GF=x,则CG=6-x.在 Rt△EGC 中,EG=x+2,CG=6-x,CE=4,∴ (x+ 2)2=(6-x)2+42,解得x=3.∴ BG=CG=3.故③正 确.在五边形ABGED 中,∠BGE+∠GED=540°-90°- 90°-90°=270°,即 2∠AGB +2∠AED =270°, ∴ ∠AGB+∠AED=135°.故②正确.∵ S△EGC= 1 2GC · CE=12×3×4=6 ,S△AFE= 1 2AF ·EF=12×6×2=6 , ∴ S△EGC=S△AFE.故④正确.综上所述,正确的个数是4. 12. 75° 13. (1) ∵ A(8,0),C(0,6),四边形OABC 为矩形, ∴ AB=OC=6,OA=BC=8,∠B=90°.由折叠,可知 △AOP≌△AO'P,∴ O'A=OA=8.在Rt△AO'B 中, BO'= O'A2-AB2=27,∴ CO'=BC-BO'=8- 27.∴ 点O'的坐标为(8-27,6).(2) 如图,连接 AD.设CD=x,则BD=BC-CD=8-x,O'D=CD= x,根据折叠可知AO'=AO=8,∠PO'A=∠POA=90°, 在Rt△ADO'中,AD2=AO'2+DO'2=82+x2=x2+64; 在Rt△ABD 中,AD2=BD2+AB2=(8-x)2+62= x2-16x+100.∴ x2+64=x2-16x+100,解得x= 9 4.∴ CD=94.∴ 点D 的坐标为 94 ,6 . 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 14. D 15. ∵ 对称点O'在直线y=2x+3上,∴ 可设O'(m, 2m+3).如图,设直线y=-x+k与x轴、y轴的交点为 M,N,连接O'M,O'N,设直线MN 与OO'交于点P,则 OM=ON=|k|.∴ △MON 是等腰直角三角形.由对称 性可得点O'的横坐标与纵坐标相等,∴ m=2m+3. ∴ m=-3.∴ O'(-3,-3).∴ P -32 ,-32 .将 -32 ,-32 代入y=-x+k,得-32=32+k,解得 k=-3. 第15题 16. y=x+2 解析:∵ 将坐标系折叠,使l1 与l2 重合, 此时点(-1,0)与点(0,-1)也重合,∴ 坐标系是沿直线 y=x折叠的.∵ 直线l1 与直线y=x平行,折叠后l1 与 l2 重合,∴ 直线l2 也与直线y=x 平行.∴ 可设直线 l2对应的函数解析式为y=x+b.∵ 直线y=x-2过点 (0,-2),该点折叠后的对应点为(-2,0),∴ 直线l2 过 点(-2,0).∴ 0=-2+b.∴ b=2.∴ 直线l2 对应的函 数解析式为y=x+2. 专题六　一次函数与四边形中的 动点问题 1. (1) ∵ CE 平分∠ACB,∴ ∠ACE=∠BCE.∵ MN∥ BC,∴ ∠OEC=∠ECB.∴ ∠OEC=∠OCE.∴ OE= OC.同理可得OC=OF,∴ OE=OF.(2) 当点O 运动到 AC的中点处时,四边形AECF 是矩形.∵ O 为AC 的中 点,∴ AO=CO.又∵ EO=FO,∴ 四边形AECF 为平行 四边形.∵ CE 平分∠ACB,∴ ∠ACE=12∠ACB. 同理 可得∠ACF=12∠ACG ,∴ ∠ECF=∠ACE+∠ACF= 1 2 (∠ACB+∠ACG)=12×180°=90°.∴ 四边形AECF 是矩形.(3) △ABC 是直角三角形且∠ACB=90°. ∵ ∠ACB=90°,∴ AC⊥BC.∵ MN∥BC,∴ AC⊥ MN,即AC⊥EF.由(2)知四边形AECF 是矩形,∴ 矩形 AECF 是正方形. 2. (1) ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠B =90°. ∵ ∠BAC=60°,∴ ∠ACB=90°-∠BAC=30°.由题意, 得AE=2tcm,CF=4tcm.∵ FO⊥BC,∴ ∠FOC= 90°.∵ ∠ACB=30°,∴ OF=12CF=2tcm.∴ AE= OF.(2) 四边形AEOF 能成为菱形.∵ ∠FOC=∠B= 90°,∴ OF∥AB.∵ AE=OF,∴ 四边形AEOF 是平行 四边形.当AE=AF 时,四边形AEOF 是菱形,即2t= 60-4t,解得t=10,∴ 当t=10时,四边形AEOF 是菱 形.(3) ① 当∠OFE=90°时,∠OFE=∠FOC,∴ EF∥ BC.∴ ∠AFE=∠ACB=30°,∠AEF=∠B=90°.在 Rt△AEF 中,∠AFE=30°,∴ AF=2AE,即60-4t= 2×2t,解得t=152.② 当∠OEF=90°时,∵ 四边形 AEOF 是 平 行 四 边 形,∴ OE∥AC.∴ ∠AFE = ∠OEF =90°.在 Rt△AEF 中,∵ ∠BAC =60°, ∴ ∠AEF=30°.∴ AE=2AF,即2t=2(60-4t),解得 t=12.易知不存在∠EOF=90°的情况.综上所述,当t= 15 2 或t=12时,△OEF 为直角三角形. 在动点问题中探索构成特殊形状图形的时刻 在动点问题中,要清楚动点的运动路径,把动点走 完的路程和未走完的路程用含时间t的式子表示出 来.先假设特殊形状的图形存在,在这个条件的基础 上,分析图形中线段间的数量关系和位置关系,再根据 特殊形状图形中线段间的数量关系建立方程求解. 3. (1) 当0≤t<2.5时,∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°.∴ ∠BAC= ∠DCA.∵ AB=6cm,BC=8cm,∴ 在Rt△ABC 中, AC= AB2+BC2=10cm.∵ G,H 分别是AB,DC 的 中点,∴ AG=12AB ,CH=12CD.∴ AG=CH.∵ E,F 是对角线AC上的两个动点,分别从点A,C 同时出发,相 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 37 专题五　轴对称变换 轴对称变换主要考查图形的轴对称的性质与图形轴对称变换相关的计算、逻辑推理证明,轴 对称变换常与三角形、四边形相结合,以折叠为背景设计题目,还可以与函数知识相结合,考查对 函数知识的理解.解题主要运用的数学思想方法有转化思想、分类讨论思想、数形结合思想,本专 题展示了轴对称与最值问题、折叠问题、函数的综合应用,目的在于通过专题的练习,感受轴对称 与最值问题的综合应用的实质是两点间线段最短、垂线段最短,解决折叠问题的关键是要把握折 叠前后的对应关系,抓住不变量解题,函数图象的轴对称变换要关注变化前、后点的坐标的变化. 类型一 轴对称与最值问题 (一) 两定点一动点型 1. 如图,等边三角形ABC 的边长为4,AD 是 边BC 上的中线,F 是AD 上的动点,E 是边 AC 上的一点.若AE=2,当EF+CF 取得 最小值时,∠ECF 的度数为 ( ) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 第1题 第2题 2. 如图,菱形ABCD 的边长为2,∠BAD= 60°,P 是边AD 的中点,Q 是对角线AC 上 一动点,则△PDQ 周长的最小值是 ( ) A. 3 B. 3+3 C. 2+3 D. 1+3 3. 如图,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在 对角线AC 上有一动点P,使PD+PE 的值 最小,则这个最小值为 ( ) 第3题 A. 6 B. 26 C. 3 D. 23 答案讲解 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,1),B(6,2),P 是x 轴上一 动点. (1) 当点P 的坐标是 时,PA+PB 的值最小,是 ; (2) 当点P 的坐标是 时,|PA- PB|有最大值. 第4题 (二) 一定点两动点型 5. 如图,在△ABC 中,∠A=60°,AC=2,BD 平分∠ABC,E,F 分别为BC,BD 上的动 点,则CF+EF 的最小值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 第5题 第6题 6. 如图,在四边形ABCD 中,∠BAD=116°, ∠B=∠D=90°,在BC,CD 上分别找一点 M,N,使△AMN 的周长最小,此时∠MAN 的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 38 (三) 两定点两动点型 答案讲解 7. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC为矩形.点A 在x轴正半轴 上,点C在y轴正半轴上,且OA= 6,OC=4,D 为OC 的中点,点E,F 在线段 OA 上,点E 在点F 左侧,EF=3.当四边形 BDEF的周长最小时,点E的坐标是 ( ) 第7题 A. 1 2 ,0 B. (1,0) C. 3 2 ,0 D. (2,0) 8. 如图,在x 轴上找一点C,在y 轴上找一点 D,使AD+CD+BC 的值最小,并求出直线 CD 对应的函数解析式及点C,D 的坐标. 第8题 (四) 两定点一定长 9. ★如图,A,B 两个单位分别位于一条封闭式 街道的两旁,现准备合作修建一座过街天 桥,那么天桥建在何处才能使由A 到B 的路 线最短? 注意,天桥必须与街道垂直,天桥 的宽度不计.请在图中画出天桥的位置,不 需说明画法,保留画图痕迹. 第9题 10. 新考法 操作实践题 如图①,两个居民小 区A 和B 在河岸l的同侧,现欲在河岸边 建一个长度为s米的绿化带CD,使点C 到 小区A 的距离与点D 到小区B 的距离之 和最短.请在图②中画出绿化带的位置,不 需说明画法,保留画图痕迹. 第10题 类型二 折叠型问题 (一) 折叠与特殊的平行四边形 11. 如图,正方形ABCD 的边长为6,点E 在边 CD 上,且CD=3DE.将△ADE 沿AE 对 折得到△AFE,延长EF 交边BC 于点G, 连接AG,CF.有下列结论:① △ABG≌ △AFG;② ∠AGB + ∠AED =135°; ③ BG=CG;④ S△EGC=S△AFE.其中,正确 的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第11题 第12题 12. 如图,在菱形纸片ABCD 中,∠A=60°,折 叠菱形纸片ABCD,使点C 落在DP(P 为 AB 的中点)所在的直线上,得到经过点D 的折痕DE,则∠DEC 的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 39 答案讲解 13. 将一张矩形纸片OABC 放置在平 面直角坐标系中,点A,C 的坐标 分别为(8,0),(0,6).P 是边OC 上的一点(点P 不与点O,C 重合),沿着 AP 折叠该纸片,得点O 的对应点O'. (1) 如图①,当点O'落在边BC 上时,求点 O'的坐标; (2) 如图②,若点O'落在边BC 的上方, O'P,O'A 分别与边BC 交于点D,E,当 CD=O'D 时,求点D 的坐标. 第13题 (二) 对称与函数 14. 若直线l1经过点A(0,-6),直线l2 经过 点(3,2),且l1 与l2 关于y 轴对称,则l1, l2与x轴交点之间的距离为 ( ) A. 1 B. 3 2 C. 3 D. 9 2 15. 在平面直角坐标系中,若原点O 关于直线 y=-x+k(k<0)的对称点O'在直线y= 2x+3上,求k的值. (三) 折叠与函数 答案讲解 16. 在平面直角坐标系中有两条直线 l1,l2,直线l1 对应的函数解析式 为y=x-2.如果将坐标系折叠, 使l1与l2 重合,此时点(-1,0)与点(0, -1)也重合,则直线l2 对应的函数解析式 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优