专题3 特殊四边形与特殊平行四边形中的四种数学思想-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

12 前两人相距80m时,两人所走的路程和为1200-80= 1120(m),∴ 1120÷(80+60)=8(min).② 相遇后两人相 距80m时,两人所走的路程和为1200+80=1280(m), ∴ 1280÷(80+60)=647 (min).综上所述,在乙运动的过 程中,两人出发后经过8min或647min 时相距80m. 5. (1) 设B施工队每天修建公路x千米,则A施工队每 天修建公路2x 千米.根据题意,得200x = 200 2x+25 ,解得 x=4.经检验,x=4是该方程的解且符合题意.∴ B施工 队每天修建公路4千米.(2) 设B施工队先单独做m 天, 总费用为W 万元.根据题意,得W=12m+200-4m4+8 × (40+12)=-163m+ 2600 3 .∵ -163<0 ,∴ W 随m 的增 大而减小.完成工程需要 m+200-4m4+8 天,由题意,得 m+200-4m4+8 ≤20 ,解得m≤5.∴ 当m=5时,W 的值最 小,为-163×5+ 2600 3 =840.∴ B施工队先单独做5天, 该区需付的全部费用最低,最低费用是840万元. 6. C 解析:由题图可知,当用完油箱的油时,小轿车比客 车多行驶500-400=100(km),故选项A正确,不符合题 意.小轿车的耗油量为50500=0.1 (L/km),客车的耗油量 为80 400=0.2 (L/km),故选项B正确,不符合题意.由点 (0,80),(400,0)可得客车油箱剩余油量y2(L)关于行驶 路程x(km)的函数解析式为y2=-0.2x+80;由点(0, 50),(500,0)可得小轿车油箱剩余油量y1(L)关于行驶路 程x(km)的函数解析式为y1=-0.1x+50.当y2= 18时,-0.2x+80=18,解得x=310;当y1=18时, -0.1x+50=18,解得x=320.∴ 只有当小轿车行驶 320km,客车行驶310km时,两车油箱剩余油量都为 18L,故选项 C错误,符合题意.当x=300时,y1= -0.1x+50=-0.1×300+50=20,y2=-0.2x+80= -0.2×300+80=20.∴ 两车油箱剩余油量相同,故选项 D正确,不符合题意. 7. 设烧杯的底面积为Scm2,高为h1cm,注水速度为 vcm3/s,注满水槽所用时间为t0s.(1) 由题图,得当注水 18s时,烧杯刚好注满;当注水90s时,水槽内的水面高度 恰好是h1cm(即烧杯高度),Sh1=18v,100h1=90v,则 100h1=90× 1 18Sh1 ,即S=20.∴ 烧杯的底面积为 20cm2.(2) 若h1=9,则v= Sh1 18= 1 18×20×9=10 ,∴ 注 水速度为10cm3/s.由vt0=100×20,解得t0=200.∴ 注 满水槽所用的时间为200s.(3) ① h=0(0≤t<18). ② 由(2),得当18≤t<90时,图象过点(90,9),(18,0), 设h=kt+b,则 18k+b=0, 90k+b=9, 解得 k=18 , b=-94. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ h=18t- 9 4 (18≤t<90).③ 由(2),得当90≤t≤200时,图象过点 (200,20),(90,9),设h=mt+n,则 200m+n=20, 90m+n=9, 解得 m=110 , n=0. ∴ h= 110t(90≤t≤200).综 上 所 述, h= 0(0≤t<18), 1 8t- 9 4 (18≤t<90), 1 10t (90≤t≤200). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 利用数形结合思想解决注水问题 数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数” 和“以数辅形”两个方面.本题首先根据实物图提供的 信息明确注水后水槽中水面的高度h与注水时间t之 间的关系,再结合函数图象,明确各个时间节点时水槽 中水面的高度h,借助注水量等于容器中水的体积这个 等量关系建立方程,求出烧杯的底面积、注水速度及注 满水槽所用的时间,以形助数,寻找问题的答案. 专题三　特殊四边形与特殊平行 四边形中的四种数学思想 1. D 2. 1 解析:如图,连接AG,EG.∵ E 是CD 的中点, ∴ DE=CE=4.设CG=x,则BG=8-x.∵ HG 垂直平 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 分AE,∴ AG=EG.在Rt△ABG 和Rt△GCE 中,根据 勾股定理,易得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8- x)2=42+x2,解得x=7.∴ BG=BC-CG=8-7=1. 第2题 3. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AB=BC=CD= AD,∠B=∠D.∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB= ∠AFD=90°.在△ABE 和△ADF 中, ∠AEB=∠AFD, ∠B=∠D, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ADF.(2) 设菱形的边长为x.∵ AB= CD=x,CF=2,∴ DF=x-2.∵ △ABE≌△ADF, ∴ BE=DF=x-2.在Rt△ABE 中,根据勾股定理,得 AE2+BE2=AB2,即42+(x-2)2=x2,解得x=5. ∴ 菱形的边长是5. 4. 连接AF.∵ O 是AC 的中点,l⊥AC,∴ AF=CF. ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ ∠D=90°,AB=DC=6.设 AF=CF=x,则DF=6-x.在Rt△ADF 中,∵ AF2= AD2+DF2,∴ x2=42+(6-x)2,解 得 x=133. ∴ CF=133. 5. B 6.5cm2 7. 23° 解析:如图,连接AC.∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=BC=CD=AD,AB∥CD.∵ ∠B=∠EAF= 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∠BCD=180°-∠B= 120°.∴ AB =AC,∠B = ∠BAC = ∠ACF =60°. ∴ ∠BAC=∠EAF.∴ ∠BAE=∠CAF.又∵ AB= AC,∠B=∠ACF,∴ △ABE≌△ACF.∴ AE=AF.又 ∵ ∠EAF=60°,∴ △AEF 是等边三角形.∴ ∠AEF= 60°= ∠B.∵ ∠AEC = ∠B + ∠BAE = ∠AEF + ∠CEF,∴ ∠CEF=∠BAE=23°. 第7题 8. (1) 连接BD.∵ 四边形ABCD 为平行四边形,∴ 易 得BD 过点O.∵ OE⊥BC,∴ S△OBC= 1 2BC ·OE= 1 2×5×3= 15 2.∴ S▱ABCD=4S△OBC=30.(2) AF+OF= 2EG.如图,过点E 作EH⊥EG,与GC的延长线交于点 H.∵ OE⊥BC,EH⊥EG,∴ ∠OEC=∠GEH=90°. ∴ ∠OEG + ∠GEC = ∠GEC + ∠CEH = 90°. ∴ ∠OEG=∠CEH.∵ ∠ACB=45°,∴ ∠COE=45°= ∠ACB.∴ OE=CE.在▱ABCD 中,AB∥CD,∵ FG⊥ AB,∴ FG⊥CD.∴ ∠EOG+∠ECG=360°-90°- 90°=180°.∵ ∠ECH +∠ECG=180°,∴ ∠EOG= ∠ECH.∴ △OEG ≌ △CEH.∴ OG =CH,EG = EH.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OA=OC,AB∥ CD.∴ ∠OAF = ∠OCG.∵ ∠AOF = ∠COG, ∴ △OAF≌△OCG.∴ AF=CG,OF=OG.∴ OF= CH.∵ CG +CH =GH,∴ AF +OF =GH. ∵ ∠GEH=90°,EG=EH,∴ 易 得 GH = 2EG. ∴ AF+OF=2EG. 第8题 9. (1) 画出辅助线如图所示.∵ 四边形ABCD 为正方 形,∴ AB=AD,∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG= ∠C=90°.在△ABG 和△ADF 中, AB=AD, ∠ABG=∠ADF, BG=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△ADF.∴ ∠BAG=∠DAF,AG=AF. ∵ ∠FAE =45°,∴ ∠GAE = ∠BAG + ∠BAE = ∠DAF+ ∠BAE =90°-45°=45°.∴ ∠GAE = ∠FAE.在 △AEF 和 △AEG 中, AF=AG, ∠FAE=∠GAE, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△AEG.∴ EF=EG.∵ EG=BE+BG, BG=DF,∴ EF=BE+DF.(2) BN2+DM2=MN2.理 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 由:如图,在AG 上截取AH=AM,连接 HN,BH.在 △AHB 和△AMD 中, AB=AD, ∠HAB=∠MAD, AH=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AHB≌ △AMD.∴ BH=DM,∠ABH=∠ADB.∵ AB=AD, ∠BAD=90°,∴ ∠ADB=∠ABD=45°.∴ ∠ABH=45°. ∴ ∠HBN=90°.∴ BN2+BH2=HN2.在△AHN 和 △AMN 中, AH=AM, ∠HAN=∠MAN, AN=AN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AHN ≌ △AMN. ∴ HN=MN.∴ BN2+DM2=MN2. 第9题 10. 11或5 解析:过点A 作AM⊥直线BC 于点M,过 点D 作DN⊥直线BC 于点N.∵ AD 与BC 之间的距离 为4,∴ AM=DN=4.易得四边形 AMND 为矩形, ∴ AD = MN = 5.在 Rt△ABM 中,BM = AB2-AM2= 52-42=3.同理可得CN=3.如图 ①,BC=3+5+3=11;如图②,BC=3+5-3=5;如图 ③,BC=5-3+3=5.综上所述,BC 的长为11或5. 第10题 11. 52或45 解析:如图,∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD = ∠B =90°.① 当 AP =AE =5 时, ∵ ∠BAD=90°,∴ △AEP 是等腰直角三角形.∴ 易得 底边PE=2AE=52.② 当P1E=AE=5时,∵ BE= AB - AE =8-5=3,∠B =90°,∴ P1B = P1E2-BE2 =4.∴ 底 边 AP1 = AB2+P1B2 = 45.综上所述,等腰三角形AEP 的底边长为52或45. 第11题 12. (1) 2.(2) 分两种情况:① 当AC是“美妙线”时,如图 ①.∵ AC 平 分∠BAD,∠BAD=60°,∴ ∠BAC= ∠CAD=12∠BAD=30°.∵ ∠B=90°,∴ AC=2BC.设 BC=x,则AC=2x.∵ AB=3+3,∴ x2+(3+3)2= (2x)2.∴ x=±(3+1).∵ x>0,∴ x= 3+1. ∴ BC= 3+1.∵ AC 平 分 ∠BCD,∴ ∠ACD = ∠ACB.∵ ∠BAC = ∠DAC,AC =AC,∠ACB = ∠ACD,∴ △ABC≌△ADC.∴ S四边形ABCD=2S△ABC= 2×12× (3+3)×(3+1)=6+43.② 当BD 是“美妙 线”时,如图②,过点D 作DH⊥AB 于点H.∵ ∠ABC= 90°,BD 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABD = ∠CBD =45°. ∵ DH⊥AB,∴ ∠DHB=∠DHA=90°.∴ ∠HDB= 45°.∴ ∠HDB=∠HBD.∴ DH=BH.∵ ∠A=60°, ∴ ∠ADH=30°.∴ AD=2AH.设AH=a,则AD=2a, ∴ DH= (2a)2-a2 = 3a.∴ BH= 3a.∴ a+ 3a=3+3.∴ a= 3.∴ DH=3.同①中的证法可得 △ABD≌△CBD.∴ S四边形ABCD=2S△ABD=2× 1 2AB · DH=(3+3)×3=9+33.综上所述,四边形ABCD 的 面积为6+43或9+33. 第12题 13. (1) ②④.(2) 如图①,连接 AE,BF.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=BC=CD,∠ABC=∠C= 90°.∵ EC=DF,∴ BE=CF.∴ △ABE≌△BCF. ∴ AE=BF.∴ 四边形ABEF 是等角线四边形.(3) 当 点D 在AB 的上方时,如图②.由题意,得DE 是AB 的垂 直平分线,∴ AE=BE=2.∵ ∠ABC=90°,AB=4, BC=3,∴ AC= AB2+BC2=5.∵ 四边形ABCD 为 等角线四边形,∴ AC=BD=5.∴ 在Rt△BDE中,DE= BD2-BE2= 25-4= 21.∴ S四边形ABCD=S△ABD+ S△BCD= 1 2AB ·DE+12BC ·BE=2 21+3.当点D 在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 AB 的下方时,如图③,过点D 作DF⊥BC,交CB 的延长 线于点F.∵ 四边形ACBD 为等角线四边形,∴ AB= CD=4.∵ DE⊥AB,∠ABF=90°,DF⊥CF,∴ 四边形 DEBF 是矩形.∴ BE=DF=2,DE=BF.∴ CF= CD2-DF2= 16-4=2 3.∴ BF=2 3-3. ∴ S四边形ACBD=S△ABD+S△ABC= 1 2×4× (23-3)+ 1 2×4×3=43. 综上所述,这个等角线四边形的面积为 43或2 21+3. 第13题 14. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠ABE=∠C= 90°,AB=BC=AD=CD.∴ ∠ABM+∠CBF=90°. ∵ AE⊥BF,∴ ∠BMA=90°.∴ ∠ABM+∠BAE= 90°.∴ ∠BAE = ∠CBF.在 △ABE 和 △BCF 中, ∠BAE=∠CBF, AB=BC, ∠ABE=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△BCF.∴ AE=BF. (2) ① GE=BF.理由:如图①,过点G 作GH⊥BC 于点 H.∴ ∠GHB=∠GHE=90°.∵ 四边形ABCD 是正方 形,∴ ∠A=∠ABC=∠C=90°,AB=BC.∴ 四边形 ABHG 是矩形.∴ GH=AB=BC.∵ ∠GHE=90°, ∴ ∠HGE+∠GEH=90°.∵ GE⊥BF,∴ ∠EMB= 90°.∴ ∠CBF+∠GEH=90°.∴ ∠HGE=∠CBF.在 △HGE 和△CBF 中, ∠HGE=∠CBF, GH=BC, ∠GHE=∠C=90°, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △HGE≌ △CBF.∴ GE=BF.② MN=NG+ME.理由:如图②, 连接BN,FN,过点N 作PQ⊥AB 于点P,交CD 于点 Q.∵ PQ⊥AB,∴ ∠BPN=∠APQ=90°.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD=AB=CD,∠DAP=∠D= 90°.∴ 四边形APQD 是矩形.∴ AP=DQ,PQ=AD= AB=CD,∠PQD=90°.∴ ∠NQF=90°.∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形,∴ ∠BAC = 12 ∠BAD =45°. ∴ ∠ANP=45°.∴ ∠PAN=∠ANP.∴ PN=AP= DQ.∴ AB-AP=PQ-PN,即BP=NQ.∵ GE 垂直 平分BF,∴ BN=NF,BM=FM=12BF. 在Rt△BPN 和Rt△NQF 中, BN=NF, BP=NQ, ∴ Rt△BPN≌Rt△NQF. ∴ ∠PBN=∠QNF.∵ ∠BPN=90°,∴ ∠PBN+ ∠BNP=90°.∴ ∠QNF+∠BNP=90°.∴ ∠BNF= 90°.∴ △BNF 是等腰直角三角形.∴ ∠NFM=45°. ∵ GE ⊥BF,∴ ∠NMF =90°.∴ ∠MNF =45°. ∴ ∠NFM=∠MNF.∴ MN=FM=12BF. 由①,得 GE=BF,∴ MN=12GE.∴ MN=NG+ME. 第14题 利用正方形中的十字架模型解题 正方形中的十字架模型是以正方形一组对边上任 意两点为端点的线段,若满足这个条件的两条线段互 相垂直,则这两条线段一定相等,反之若满足这个条件 的两条线段相等,则这两条线段一定互相垂直.本题 (1)是利用正方形中的十字架模型证明线段相等.本题 (2)①是在本题(1)的基础上构造正方形中的全等三角 形模型来证明线段相等,是正方形中的十字架模型在 非特殊位置的应用,本题(2)②是以正方形中的十字架 模型为基础的拓展应用,是以正方形中的十字架模型 为基础构造一线三直角模型和等腰直角三角形模型. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 15. (1) AG=CE,AG⊥CE.∵ 四边形BEFG 和四边形 ABCD 为正方形,∴ GB=BE,∠ABG=90°,AB=BC, ∠ABC = 90°. 在 △ABG 和 △CBE 中, BG=BE, ∠ABG=∠CBE=90°, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△CBE.∴ AG= CE,∠BAG=∠BCE.如图①,延长 CE 交AG 于点 M.∴ ∠BEC=∠AEM.∴ ∠ABC=∠AME=90°. ∴ AG=CE,AG⊥CE.(2) ∠EMB 的度数不发生变 化.如图②,过点B 分别作BP⊥EC于点P,BH⊥AM 于 点H.∵ ∠ABC=∠EBG=90°,∴ ∠ABG=∠CBE.在 △ABG 和△CBE 中, AB=CB, ∠ABG=∠CBE, BG=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌ △CBE.∴ S△ABG =S△CBE,∠BAG = ∠BCE,AG = CE.∴ 1 2AG ·BH = 12CE ·BP,易 得∠ABC= ∠AMC.∴ BH=BP.又∵ BP⊥EC,BH⊥AM,∴ MB 为∠EMG 的 平 分 线.∵ ∠AMC = ∠ABC =90°, ∴ ∠EMB=12∠EMG= 1 2×90°=45°. (3) 如图③,在 NA 上截取NQ=NB,连接BQ.∴ △BNQ 为等腰直角 三角形.∴ 易得BQ= 2BN.∵ ∠AMN=45°,∠N= 90°,∴ △AMN 为等腰直角三角形.∴ AN =MN. ∴ MN-BN =AN -NQ,即 BM =AQ.∵ 易 得 ∠MBC+ ∠ABN =90°,∠BAN + ∠ABN =90°, ∴ ∠MBC = ∠BAN.在 △ABQ 和 △BCM 中, AQ=BM, ∠BAQ=∠CBM, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABQ ≌ △BCM.∴ BQ = CM.∴ CM=2BN. 第15题 专题四　中点模型与角平分线模型 1. C 2. 135° 3. 12 4. 12 5 解析:连接CM.∵ D,E 分别为CN,MN 的中 点,∴ DE=12CM. 易得当CM⊥AB 时,CM 长的值最 小,此时DE 长的值也最小.在Rt△ABC 中,由勾股定理 得AB= AC2+BC2 = 62+82 =10,∵ S△ABC = 1 2AB ·CM = 12AC ·BC,∴ CM =245.∴ DE= 1 2CM= 12 5. 5. 3 4 解析:取BE 的中点H,连接FH,CH.∵ F 是 AE 的中点,H 是BE 的中点,∴ FH 是△ABE 的中位 线.∴ FH∥AB,FH=12AB.∵ 四边形ABCD 是平行 四边形,∴ AB∥CD,AB=CD.∴ FH∥DC.∵ E 是CD 的中点,∴ EC=12CD.∴ FH=EC.∴ 四边形FHCE 是平行四边形.∴ GE=GH=12EH.∵ BE=3,H 是 BE 的中点,∴ EH=32.∴ GE=34. 6. 100° 解析:取AD 的中点Q,连接EQ,FQ.∵ E,F, Q 分别为AB,CD,AD 的中点,∴ EQ∥BD,EQ=12BD , FQ∥AC,FQ=12AC.∴ ∠QEF=∠OMN,∠QFE= ∠ONM.∵ AC =BD,∴ QE =QF.∴ ∠QEF = ∠QFE.∴ ∠OMN = ∠ONM.∵ ∠OMN =40°, ∴ ∠ONM=40°.∴ ∠MON=100°. 7. 如图,连接BD,取BD 的中点P,连接EP,FP.∵ E, F,P 分别是DC,AB,BD 的中点,∴ EP 是△BCD 的中 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 29 专题三　特殊四边形与特殊平行四边形中的四种数学思想　　　 平行四边形一章主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题,以这 几种图形的性质与判定为中心展开,可以与三角形、全等三角形、勾股定理、角平分线、垂直平分 线、直角三角形斜边上的中线、中位线、一次函数等知识相结合,考查综合运用这些知识的能力. 在学习过程中,如果我们能够运用转化思想、类比思想、方程思想、分类讨论思想处理这些问题, 那么就能顺利得出问题的答案. 类型一 方程思想 1. 在▱ABCD 中,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F.若AE=4,AF=6,且▱ABCD 的周 长为40,则▱ABCD 的面积为 ( ) A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 2. (无锡中考)如图,正方形ABCD 的边长为8, E是CD 的中点,HG 垂直平分AE,且分别 交AE,BC于点H,G,则BG= . 第2题 答案讲解 3. (西宁中考)如图,四边形ABCD 是 菱形,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F. (1) 求证:△ABE≌△ADF; (2) 若AE=4,CF=2,求菱形的边长. 第3题 4. 如图,在矩形ABCD 中,过对角线AC 的中 点O 作直线l⊥AC,与AB,CD 交于点E, F.若AD=4,AB=6,求CF 的长. 第4题 类型二 转化思想 5. 如图,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=3.若E 是边CD 的中点,连接AE,过点B 作BF⊥ AE,交AE 于点F,则BF 的长为 ( ) 第5题 A. 310 2 B. 310 5 C. 10 5 D. 35 5 6. 如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,G,H 分别是BC,OC 的中点, 连接GH,过点O 作线段EF,分别交AB, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 30 CD 于点E,F.已知正方形的边长为4cm, 则图中涂色部分的面积为 . 第6题 第7题 7. 如图,在菱形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=23°, 则∠FEC= . 8. 如图,在▱ABCD 中,O 是对角线AC 的中 点,过点O 作OE⊥BC,交BC 于点E,过点 O 作FG⊥AB,交AB,CD 于点F,G. (1) 若BC=5,OE=3,求▱ABCD 的面积; (2) 若∠ACB=45°,试探究AF,OF,EG 之 间的数量关系,并证明. 第8题 答案讲解 9. 如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC,CD 上,且∠FAE= 45°,分别连接EF,BD,BD 与AF, AE 分别相交于点M,N. (1) 为了证明EF=BE+DF,小明延长CB 至点G,使BG=DF,连接AG,请画出辅助 线并按小明的思路写出证明过程; (2) 请写出线段BN,MN,DM 三者之间的 数量关系,并说明理由. 第9题 类型三 分类讨论思想 10. 在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD 与BC 之间的距离为4,AB=AD=CD=5,则边 BC 的长为 . 11. (西宁中考)在矩形ABCD 中,AB=8,AD= 7,点E 在边AB 上,AE=5.若P 是矩形 ABCD 边上一点,且与点A,E 构成以AE 为腰的等腰三角形,则等腰三角形AEP 的 底边长是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 31 12. 定义:如果四边形的某条对角线平分一组 对角,那么把这条对角线叫做“美妙线”,该 四边形叫做“美妙四边形”.如图,在四边形 ABDC 中,对 角 线 BC 平 分 ∠ACD 和 ∠ABD,那么对角线BC 叫做“美妙线”,四 边形ABDC就叫做“美妙四边形”. (1) 有下列四边形:平行四边形、矩形、菱 形、正方形.其中,是“美妙四边形”的有 个. (2) 已知四边形ABCD 是“美妙四边形”, AB=3+ 3,∠BAD=60°,∠ABC=90°, 求四边形ABCD 的面积(画出图形并写出 解答过程). 第12题 13. 定义:我们把对角线相等的凸四边形叫做 等角线四边形. (1) 在① 平行四边形、② 矩形、③ 菱形、 ④ 正方形中,一定是等角线四边形的是 (填序号). (2) 如图①,在正方形ABCD 中,点E,F 分 别在边BC,CD 上,且EC=DF,连接EF, AF,求证:四边形ABEF是等角线四边形. (3) 如图②,在△ABC 中,∠ABC=90°, AB=4,BC=3,D 为线段AB 的垂直平分 线上一点.若以A,B,C,D 为顶点的四边 形是等角线四边形,求这个等角线四边形 的面积. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 32 类型四 类比思想 答案讲解 14. ★如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别是边BC,CD 上的动点. (1) 如图①,若AE⊥BF,垂足为 M,求证:AE=BF. (2) 如图②,G 是边AD 上的一点,且GE⊥ BF,垂足为M. ① 判断GE 与BF 是否相等,并说明理由; ② 如图③,若GE 垂直平分BF,交对角线 AC 于点N,写出线段MN,NG,ME 之间 的数量关系,并说明理由. 第14题 答案讲解 15. 如图,四边形 ABCD 和四边形 BEFG 均为正方形. (1) 如图①,连接AG,CE,试判断 AG 和CE 之间的数量关系和位置关系,并 证明. (2) 如图②,将正方形BEFG 绕点B 按顺 时针方向旋转β(0°<β<180°),连接AG 并 延长,与CE 相交于点M,连接MB,当β发 生变化时,∠EMB 的度数是否发生变化? 若不变化,求出∠EMB 的度数;若发生变 化,请说明理由. (3) 如图③,在(2)的条件下,过点A作AN⊥ MB,交MB 的延长线于点N,请探究线段 CM 与BN 之间的数量关系. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版)