专题2 一次函数的实际应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

26 专题二　一次函数的实际应用 一次函数的实际应用类问题的背景是我们日常生活中的各种实例,涉及的一次函数知识包 括:用待定系数法求一次函数解析式、求自变量的取值范围、函数值及其所对应的自变量值的求 法、求两直线的交点坐标、利用函数的增减性判断实际问题的最值、设计方案等.考查方式可以是 选择题、填空题、解答题,多围绕最值、方案设计、行程、工程等类型的题目展开.题目背景的呈现 方式可以是文字、表格、函数图象.虽然题目背景千变万化,但都是考查把实际问题转化为数学问 题的能力.求函数图象中特殊点的坐标要注意数形结合,用已有的生活经验获得问题的答案. 类型一 最值、利润、方案设计类问题 1. 某商场决定用46000元购进A,B,C三种品 牌的衬衫共300件,并且购进的每一种衬衫 的数量都不少于90件.三种品牌的衬衫的 进价和售价如下表所示: 品 牌 A B C 进价/(元/件) 100 200 150 售价/(元/件) 200 350 300 如果该商场能够将购进的衬衫全部售出,但 在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出 各种费用共计1000元,那么商场能够获得 的最大利润是 元. 答案讲解 2. (襄阳中考)为了振兴乡村经济,某 镇鼓励广大农户种植山药,并精加 工成甲、乙两种产品.某经销商购进 甲、乙两种产品,甲种产品的进价为8元/千 克,乙种产品的进货总金额y(元)与乙种产 品的进货量x(千克)之间的关系如图所示. 已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/千 克和18元/千克. (1) 当0≤x≤2000和x>2000时,求y与 x之间的函数解析式. (2) 已知该经销商购进甲、乙两种产品共 6000千克,并能全部售出,其中乙种产品的 进货量不低于1600千克,且不高于4000千 克.设销售完甲、乙两种产品所获总利润为 w 元(利润=销售额-进货成本),请求出w 与x之间的函数解析式,并为该经销商设计 出获得最大利润的进货方案. (3) 为回馈广大客户,该经销商决定对两种 产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的 进货方案下,甲、乙两种产品的售价分别降低 a元/千克和2a元/千克,全部售出后所获总 利润不低于15000元,求a的最大值. 第2题 类型二 行程类问题 3. 甲、乙两车从A城出发,匀速行驶至B城.在 整个行驶过程中,甲、乙两车离A城的距离 y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数 关系如图所示.有下列结论:① A,B两城相 距300km;② 乙车比甲车晚出发1h,却早 到1h;③ 乙车出发后2.5h追上甲车;④ 当 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 拍 照 批 改 27 甲、乙两车相距50km时,t=54 或15 4. 其中, 正确的结论有 ( ) 第3题 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案讲解 4. (齐齐哈尔中考)在一条笔直的公路 上有A,B两地,甲、乙两人同时出 发,甲从A地步行匀速前往B地, 到达B地后,立刻以原速度沿原路返回 A地.乙从B地步行匀速前往A地(甲、乙两 人到达A地后均停止运动),甲、乙两人之间 的距离y(m)与出发时间x(min)之间的函数 关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1) A,B两地之间的距离是 m,乙 的步行速度是 m/min; (2) 图中a= ,b= ,c= ; (3) 求线段MN 对应的函数解析式; (4) 在乙运动的过程中,何时两人相距80m? 第4题 类型三 工程类问题 5. 某区计划修建200千米农村公路.已知A施 工队每天修建公路的长度是B施工队每天 修建公路长度的2倍,若A,B两个施工队分 别独立完成整个任务,则A施工队比B施工 队少用25天. (1) B施工队每天修建公路多少千米? (2) 该区需付给 A施工队的费用为每天 40万元,需付给B施工队的费用为每天 12万元.考虑到要不超过20天完成整个工 程,该区安排B施工队先单独完成一部分, 剩下的部分两个施工队再合作完成.B施工 队先单独做多少天,该区需付的全部费用最 低? 最低费用是多少万元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 28 类型四 进出水、注水、加油类问题 6. 如图,在平面直角坐标系中,线段AB 是一辆 小轿车加满油后油箱剩余油量y1(L)与行驶 路程x(km)的函数图象,线段CD 是一辆客 车加满油后油箱剩余油量y2(L)与行驶路程 x(km)的函数图象.当两车油箱加满油后, 下列描述错误的是 ( ) 第6题 A. 当用完油箱的油时,小轿车比客车多行 驶100km B. 小轿车和客车的耗油量分别是0.1L/km 和0.2L/km C. 若两车行驶的路程差为10km,则两车油 箱剩余油量都为18L D. 当两车行驶的路程为300km时,两车油 箱剩余油量相同 答案讲解 7. ★在底面积为100cm2、高为20cm 的长方体水槽内放入一个圆柱形烧 杯(烧杯本身的质量、体积忽略不 计).如图①,向烧杯中注入一定量的水,注 满烧杯后,继续注水,直至注满水槽为止(烧 杯在大水槽中的位置始终不改变).水槽中 水面的高度h(cm)与注水时间t(s)之间的 函数关系如图②所示. 第7题 (1) 求烧杯的底面积; (2) 若烧杯的高为9cm,求注水速度和注满 水槽所用的时间; (3) 在(2)的条件下,写出h关于t的函数解 析式及自变量的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 11 17. ∵ 点(2a+3b,8)与点(-9,a-9b)关于y 轴对称, ∴ 2a+3b=9, a-9b=8, 解得 a=5, b=-13. 3(-3a)2·a·(-b)3· (-b)3+(-3ab2)3+(-3a)2·15b=3 ·9a2·a· (-b3)·(-b3)+(-27a3b6)+9a2·15b=27a 3b6- 27a3b6+95a 2b=95a 2b.当a=5,b=-13 时,原式= 9 5×25× - 1 3 =-15. 18. 原 式 = (a+1)2-(5+2a) a+1 · a+1(a+2)2 = a2+2a+1-5-2a a+1 · a+1(a+2)2 = a2-4 a+1 · a+1(a+2)2 = (a+2)(a-2) a+1 · a+1(a+2)2= a-2 a+2.∵ a= 9+|-2|- 1 2 -1 =3+2-2=3,∴ 原式=3-23+2= 1 5. 19. 原式=(-a2-4b2+4ab+a2-b2)÷(-b)= (-5b2+4ab)÷(-b)=-4a+5b.∵ a的算术平方根是 它本身,b是-8的立方根,∴ a=0或1,b=-2.若a= 0,b=-2,则原式=-10;若a=1,b=-2,则原式= -14. 20. 原式= (a+b)(a-b) (a-b)2 - a a-b ·a(a-b)b2 = a+ba-b- a a-b ·a(a-b)b2 = ba-b·a(a-b)b2 =ab .∵ |a- 3|+ b+1=0,∴ a- 3=0,b+1=0,解得a= 3,b= -1.当a=3,b=-1时,原式= 3-1=-3. 21. D 22. C 23. D 24. 455-20 25. (1) ∵ x+1x 2 =x2+2x·1x + 1 x2 ,∴ x- 1 x 2 =x2-2x·1x+ 1 x2= x+ 1 x 2 -4x·1x=3 2- 4=5.(2) ∵ x-1x 2 =x2-2+1x2 ,∴ x2+1x2= x-1x 2 +2=5+2=7.∵ x2+1x2 2 =x4+2+1x4 , ∴ x4+1x4= x 2+1x2 2 -2=49-2=47. 专题二　一次函数的实际应用 1. 39500 解析:设购进A种品牌衬衫a件,B种品牌衬 衫b件,则购进C种品牌衬衫(300-a-b)件,获得的总 利润为y 元.由题意,得y=(200-100)a+(350- 200)b+(300-150)(300-a-b)-1000=-50a+ 44000.∵ 购进的每一种衬衫的数量都不少于90件,且 -50<0,∴ 当a=90时,y取得最大值,此时y=-50× 90+44000=39500. 2. (1) 当0≤x≤2000时,设y=k'x.根据题意,得 2000k'=30000,解得k'=15.∴ y=15x.当x>2000时, 设y=kx+b.根据题意,得 2000k+b=30000, 4000k+b=56000, 解得 k=13, b=4000. ∴ y=13x+4000.∴ y= 15x(0≤x≤2000), 13x+4000(x>2000). (2) 根据题意可知,购进甲种产品(6000-x)千克,且 1600≤x≤4000.当1600≤x≤2000时,w=(12-8)× (6000-x)+(18-15)x=-x+24000,∵ -1<0,∴ 当 x=1600时,w 的最大值为-1×1600+24000= 22400.当2000<x≤4000时,w=(12-8)×(6000- x)+18x-(13x+4000)=x+20000,∵ 1>0,∴ 当x= 4000时,w 的最大值为4000+20000=24000.∴ w= -x+24000(1600≤x≤2000), x+20000(2000<x≤4000). ∵ 24000>22400, ∴ 购进甲种产品2000千克,乙种产品4000千克时,可获 得最大利润.(3) 根据题意可知,降价后w=(12-8- a)×(6000-x)+(18-2a)x-(13x+4000)=(1- a)x+20000-6000a.把x=4000代入,得(1-a)× 4000+20000-6000a≥15000,解得a≤0.9.∴ a的最 大值为0.9. 3. B 4. (1) 1200;60.(2) 900;800;15.(3) 由题意,得M(15, 900),N(20,800).设线段MN 对应的函数解析式为y= kx+n.∴ 15k+n=900, 20k+n=800, 解得 k=-20, n=1200. ∴ 线段 MN 对应的函数解析式为y=-20x+1200(15≤x≤20). (4) 分两种情况:① 易得甲的步行速度是80m/min.相遇 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 前两人相距80m时,两人所走的路程和为1200-80= 1120(m),∴ 1120÷(80+60)=8(min).② 相遇后两人相 距80m时,两人所走的路程和为1200+80=1280(m), ∴ 1280÷(80+60)=647 (min).综上所述,在乙运动的过 程中,两人出发后经过8min或647min 时相距80m. 5. (1) 设B施工队每天修建公路x千米,则A施工队每 天修建公路2x 千米.根据题意,得200x = 200 2x+25 ,解得 x=4.经检验,x=4是该方程的解且符合题意.∴ B施工 队每天修建公路4千米.(2) 设B施工队先单独做m 天, 总费用为W 万元.根据题意,得W=12m+200-4m4+8 × (40+12)=-163m+ 2600 3 .∵ -163<0 ,∴ W 随m 的增 大而减小.完成工程需要 m+200-4m4+8 天,由题意,得 m+200-4m4+8 ≤20 ,解得m≤5.∴ 当m=5时,W 的值最 小,为-163×5+ 2600 3 =840.∴ B施工队先单独做5天, 该区需付的全部费用最低,最低费用是840万元. 6. C 解析:由题图可知,当用完油箱的油时,小轿车比客 车多行驶500-400=100(km),故选项A正确,不符合题 意.小轿车的耗油量为50500=0.1 (L/km),客车的耗油量 为80 400=0.2 (L/km),故选项B正确,不符合题意.由点 (0,80),(400,0)可得客车油箱剩余油量y2(L)关于行驶 路程x(km)的函数解析式为y2=-0.2x+80;由点(0, 50),(500,0)可得小轿车油箱剩余油量y1(L)关于行驶路 程x(km)的函数解析式为y1=-0.1x+50.当y2= 18时,-0.2x+80=18,解得x=310;当y1=18时, -0.1x+50=18,解得x=320.∴ 只有当小轿车行驶 320km,客车行驶310km时,两车油箱剩余油量都为 18L,故选项 C错误,符合题意.当x=300时,y1= -0.1x+50=-0.1×300+50=20,y2=-0.2x+80= -0.2×300+80=20.∴ 两车油箱剩余油量相同,故选项 D正确,不符合题意. 7. 设烧杯的底面积为Scm2,高为h1cm,注水速度为 vcm3/s,注满水槽所用时间为t0s.(1) 由题图,得当注水 18s时,烧杯刚好注满;当注水90s时,水槽内的水面高度 恰好是h1cm(即烧杯高度),Sh1=18v,100h1=90v,则 100h1=90× 1 18Sh1 ,即S=20.∴ 烧杯的底面积为 20cm2.(2) 若h1=9,则v= Sh1 18= 1 18×20×9=10 ,∴ 注 水速度为10cm3/s.由vt0=100×20,解得t0=200.∴ 注 满水槽所用的时间为200s.(3) ① h=0(0≤t<18). ② 由(2),得当18≤t<90时,图象过点(90,9),(18,0), 设h=kt+b,则 18k+b=0, 90k+b=9, 解得 k=18 , b=-94. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ h=18t- 9 4 (18≤t<90).③ 由(2),得当90≤t≤200时,图象过点 (200,20),(90,9),设h=mt+n,则 200m+n=20, 90m+n=9, 解得 m=110 , n=0. ∴ h= 110t(90≤t≤200).综 上 所 述, h= 0(0≤t<18), 1 8t- 9 4 (18≤t<90), 1 10t (90≤t≤200). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 利用数形结合思想解决注水问题 数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数” 和“以数辅形”两个方面.本题首先根据实物图提供的 信息明确注水后水槽中水面的高度h与注水时间t之 间的关系,再结合函数图象,明确各个时间节点时水槽 中水面的高度h,借助注水量等于容器中水的体积这个 等量关系建立方程,求出烧杯的底面积、注水速度及注 满水槽所用的时间,以形助数,寻找问题的答案. 专题三　特殊四边形与特殊平行 四边形中的四种数学思想 1. D 2. 1 解析:如图,连接AG,EG.∵ E 是CD 的中点, ∴ DE=CE=4.设CG=x,则BG=8-x.∵ HG 垂直平 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈