专题1 代数式化简求值的四种类型-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

23 专题一　代数式化简求值的四种类型 “代数式”是用基本运算符号把数字或表示数字的字母连接而成的式子,它包括整式、分式、 二次根式,代数式的化简求值是初中数学很重要的考查基本运算能力的题型,考查形式可以是选 择题、填空题、解答题.代数式的化简求值的得分秘诀就是熟练地掌握各种化简方法及细心、耐心 地运算. 类型一 直接代入求值 1. 已知a=2+ 3,b=2- 3,则ab(a+b)= . 2. 已知x=2+ 3,则代数式(7-43)x2+ (2-3)x+3的值是 . 3. 先化简,再求值:2(a+3)(a-3)-a(a- 6)+6,其中a=-2. 4. 先 化 简,再 求 值:2 3x 9x+y 2 x y3 - x2 1x-5x y x ,其中x=12,y=4. 答案讲解 5. 给出式子: x 2-4 x2-4x+4- 1 x-2 ÷ x+1 x+2 ,先化简,然后从-1,2,4+ 23这三个数中,选合适的数作为x 的值代 入求值. 6. 先化简,再求值:a 2-a÷ 1 a-2- 2 a-2 2 , 其中a=13. 类型二 整体代入求值 7. (泰州中考)点P(a,b)在函数y=3x+2的 图象上,则代数式6a-2b+1的值为 ( ) A. 5 B. 3 C. -3 D. -1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 24 8. 设a= 5-2,则代数式a3+4a2-a+6的 值为 ( ) A. 6 B. 4 C. 25+2 D. 25-2 9. 已知x2-3x-1=0,则(x-1)(3x+1)- (x+2)2+5的值是 . 10. 已知a2+2a-1=0,则代数式 a2-1a2-2a+1- 1 1-a ÷ 1a2-a的值为 . 答案讲解 11. 阅读理解: 已知x= 2+1,求代数式 x2-2x-5的值.王红的做法:根 据x=2+1得(x-1)2=2,∴ x2-2x+ 1=2,即x2-2x=1.把x2-2x 作为整体 代入,得x2-2x-5=1-5=-4. 请你用上述方法解决下面的问题: (1) 已知x= 3-2,求代数式x2+4x-5 的值; (2) 已知x= 5-12 ,求代数式x3+x2+1 的值. 类型三 先求值再代入 12. 已知 a-3+ 2-b=0,则1 a + 6 b 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43 3 13. 若|a-2|+b2+4b+4+ c2-c+14=0 , 则 b2- a-c的值是 ( ) A. 2-322 B. 4 C. 1 D. 8 14. 已知x2+5x+3=(x+a)(x+b),则 ab+ b a 的值为 . 15. 若6- 13的整数部分为x,小数部分为y, 则(2x+ 13)y的值是 . 答案讲解 16. 若a,b 为实数,且b< a-2+ 2-a+2,化简:12-bb 2-4b+4+ 2a. 17. 已知点(2a+3b,8)与点(-9,a-9b)关于 y轴对称,化简:3(-3a)2·a·(-b)3· (-b)3+(-3ab2)3+(-3a)2·15b ,并求 出该代数式的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 25 18. (营 口 中 考)先化简,再求值: a+1- 5+2a a+1 ÷a 2+4a+4 a+1 ,其中a=9+|-2|- 1 2 -1 . 19. 先化简,再求值:[(-a+2b)(a-2b)+ (-a+b)(-a-b)]÷(-b),其中a的算 术平方根是它本身,b是-8的立方根. 20. 先化简,再求值: a 2-b2 a2-2ab+b2+ a b-a ÷ b2 a2-ab ,其中a,b满足|a-3|+b+1=0. 类型四 先变形再求值 21. 已 知 x= 5-1,y= 5+1,则 分 式 x3-xy2 x(x-y) 的值是 ( ) A. 2 B. 5 C. 4 D. 25 22. 已知 m=1+ 2,n=1- 2,则代数式 m2+n2-3mn的值为 ( ) A. 9 B. ±3 C. 3 D. 5 23. 整体思想 已知a-b=2+3,b-c=2- 3,则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为 ( ) A. 10 B. 123 C. 103 D. 15 24. 若n 为正整数,且x2n= 5,则(3x3n)2- 4(x2)2n 的值是 . 答案讲解 25. (荆门中考)已知x+1x=3 ,求下 面各式的值: (1) x-1x 2 ; (2) x4+1x4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 10 ∴ ∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD.∴ AF= AD2-DF2= 52-32=4.∴ S矩形ABDF=DF·AF= 3×4=12,BD=AF=4.∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ CD=AB=3.∴ S△BCD= 1 2BD ·CD=12×4× 3=6.∴ S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18. 23. (1) 设每台B型设备的价格为x元,则每台A型设备 的价格为1.2x元.根据题意,得300001.2x = 15000 x +4 ,解得 x=2500.经检验,x=2500是原方程的解,且符合题 意.∴ 1.2x=3000.∴ 每台B型设备的价格为2500元, 每台A型设备的价格为3000元.(2) 由题意,得购买 (50-a)台B型设备.∴ w=3000a+2500(50-a)= 500a+125000.由题意,可知 a≥0, 50-a≥0, a≥13 (50-a), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ∴ 12.5≤ a≤50且a 为整数.∵ 500>0,∴ w 随a 的增大而增 大.∴ 当a=13时,w 的最小值为500×13+125000= 131500.∴ w=500a+125000,且最少购买总费用为 131500元. 24. (1) 3±2;7±5.(2) 9±62= 9±2 18= (6±3)2= 6± 3.(3) 3-5 + 2+3 = 3-2 54 + 2+2 3 4 = 5 2- 1 2 2 + 3 2+ 1 2 2 = 52 - 1 2 + 3 2 + 1 2 = 10+6 2 . 利用完全平方公式化简二次根式 当二次根式的被开方数可变形为a2±2ab+b2 时,利用a2±2ab+b2=(a±b)2 对被开方数进行因式 分解. 2 整合提优 专题一　代数式化简求值的四种类型 1. 4 2. 2+3 3. 2(a+ 3)(a- 3)-a(a-6)+6=2(a2-3)-a2+ 6a+6=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a.当a=-2时,原 式=(-2)2+6×(-2)=2-62. 4. 原 式=2x x+ xy-x x+5 xy=x x+ 6 xy.当x= 1 2 ,y=4时,原式= 1 2 1 2+6 1 2×4= 2 4+62= 252 4 . 5. 原式= (x+2)(x-2) (x-2)2 - 1 x-2 ·x+2x+1= x+2x-2- 1 x-2 ·x+2x+1=x+1x-2·x+2x+1=x+2x-2.由题意,得x-2≠ 0,x+2≠0,x+1≠0,则x≠2,x≠-2,x≠-1,∴ x的值 只能选4+23.∴ 原式=4+23+2 4+23-2 =3. 6. ∵ a=13 ,∴ 2 a=6>2.∴ 原式= a2-a ·(a-2)- 2 a-2 =-a-2a+2.当a=13时,原式=-13-6+ 2=-413. 7. C 8. A 解析:∵ a=5-2,∴ (a+2)2=(5)2,即a2+ 4a=1.∴ a3+4a2-a+6=a(a2+4a)-a+6=a×1- a+6=6. 9. 2 10. 1 11. (1) ∵ x= 3-2,∴ x+2= 3.∴ (x+2)2= (3)2=3.∴ x2+4x=-1.∴ x2+4x-5=-1-5= -6.(2) ∵ x= 5-12 ,∴ 2x+1= 5.∴ (2x+1)2= (5)2=5,整理,得x2+x=1.∴ x3+x2+1=x(x2+ x)+1=x+1= 5-12 +1= 5+1 2 . 12. D 13. A 14. 5 33 15. 3 16. 由题意,得 a-2≥0, 2-a≥0, ∴ a=2.∴ b< a-2+ 2-a+2=2,即b<2.∴ 1 2-b b 2-4b+4+ 2a= (b-2)2 2-b +4= 2-b 2-b+2=1+2=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 17. ∵ 点(2a+3b,8)与点(-9,a-9b)关于y 轴对称, ∴ 2a+3b=9, a-9b=8, 解得 a=5, b=-13. 3(-3a)2·a·(-b)3· (-b)3+(-3ab2)3+(-3a)2·15b=3 ·9a2·a· (-b3)·(-b3)+(-27a3b6)+9a2·15b=27a 3b6- 27a3b6+95a 2b=95a 2b.当a=5,b=-13 时,原式= 9 5×25× - 1 3 =-15. 18. 原 式 = (a+1)2-(5+2a) a+1 · a+1(a+2)2 = a2+2a+1-5-2a a+1 · a+1(a+2)2 = a2-4 a+1 · a+1(a+2)2 = (a+2)(a-2) a+1 · a+1(a+2)2= a-2 a+2.∵ a= 9+|-2|- 1 2 -1 =3+2-2=3,∴ 原式=3-23+2= 1 5. 19. 原式=(-a2-4b2+4ab+a2-b2)÷(-b)= (-5b2+4ab)÷(-b)=-4a+5b.∵ a的算术平方根是 它本身,b是-8的立方根,∴ a=0或1,b=-2.若a= 0,b=-2,则原式=-10;若a=1,b=-2,则原式= -14. 20. 原式= (a+b)(a-b) (a-b)2 - a a-b ·a(a-b)b2 = a+ba-b- a a-b ·a(a-b)b2 = ba-b·a(a-b)b2 =ab .∵ |a- 3|+ b+1=0,∴ a- 3=0,b+1=0,解得a= 3,b= -1.当a=3,b=-1时,原式= 3-1=-3. 21. D 22. C 23. D 24. 455-20 25. (1) ∵ x+1x 2 =x2+2x·1x + 1 x2 ,∴ x- 1 x 2 =x2-2x·1x+ 1 x2= x+ 1 x 2 -4x·1x=3 2- 4=5.(2) ∵ x-1x 2 =x2-2+1x2 ,∴ x2+1x2= x-1x 2 +2=5+2=7.∵ x2+1x2 2 =x4+2+1x4 , ∴ x4+1x4= x 2+1x2 2 -2=49-2=47. 专题二　一次函数的实际应用 1. 39500 解析:设购进A种品牌衬衫a件,B种品牌衬 衫b件,则购进C种品牌衬衫(300-a-b)件,获得的总 利润为y 元.由题意,得y=(200-100)a+(350- 200)b+(300-150)(300-a-b)-1000=-50a+ 44000.∵ 购进的每一种衬衫的数量都不少于90件,且 -50<0,∴ 当a=90时,y取得最大值,此时y=-50× 90+44000=39500. 2. (1) 当0≤x≤2000时,设y=k'x.根据题意,得 2000k'=30000,解得k'=15.∴ y=15x.当x>2000时, 设y=kx+b.根据题意,得 2000k+b=30000, 4000k+b=56000, 解得 k=13, b=4000. ∴ y=13x+4000.∴ y= 15x(0≤x≤2000), 13x+4000(x>2000). (2) 根据题意可知,购进甲种产品(6000-x)千克,且 1600≤x≤4000.当1600≤x≤2000时,w=(12-8)× (6000-x)+(18-15)x=-x+24000,∵ -1<0,∴ 当 x=1600时,w 的最大值为-1×1600+24000= 22400.当2000<x≤4000时,w=(12-8)×(6000- x)+18x-(13x+4000)=x+20000,∵ 1>0,∴ 当x= 4000时,w 的最大值为4000+20000=24000.∴ w= -x+24000(1600≤x≤2000), x+20000(2000<x≤4000). ∵ 24000>22400, ∴ 购进甲种产品2000千克,乙种产品4000千克时,可获 得最大利润.(3) 根据题意可知,降价后w=(12-8- a)×(6000-x)+(18-2a)x-(13x+4000)=(1- a)x+20000-6000a.把x=4000代入,得(1-a)× 4000+20000-6000a≥15000,解得a≤0.9.∴ a的最 大值为0.9. 3. B 4. (1) 1200;60.(2) 900;800;15.(3) 由题意,得M(15, 900),N(20,800).设线段MN 对应的函数解析式为y= kx+n.∴ 15k+n=900, 20k+n=800, 解得 k=-20, n=1200. ∴ 线段 MN 对应的函数解析式为y=-20x+1200(15≤x≤20). (4) 分两种情况:① 易得甲的步行速度是80m/min.相遇 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈