第17章 勾股定理-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（人教版）

2 第十七章　勾股定理 一、 1. D 2. A 3. A 4. D 5. A 6. C 7. B 8. A 9. B 10. B 解析:∵ △OA1A2 为等腰直角三角形,OA1=1, ∴ OA2=2.∵ △OA2A3 为等腰直角三角形,∴ OA3= (2)2.∵ △OA3A4 为 等 腰 直 角 三 角 形,∴ OA4= (2)3.∵ △OA4A5 为 等 腰 直 角 三 角 形,∴ OA5= (2)4……∴ OAn 的长为(2)n-1. 二、 11. 41 12. 612 13. 45° 14. 34 15. 7或5 16. 14.5 17. 15 解析:∵ AC2+BC2=62+82=100,AB2=100, ∴ AC2+BC2=AB2.∴ △ABC 是直角三角形.∵ 将 △ACE 沿AE 折叠,使得点C 与AB 上的点D 重合, ∴ EC=DE,AC=AD=6,∠ADE=∠C=∠BDE= 90°.∴ BD=4.设EC=DE=x.在Rt△BDE 中,DE2+ BD2=BE2,∴ x2+42=(8-x)2,解得x=3.∴ BE= BC-EC=8-3=5.∴ S△ABE= 1 2BE ·AC=12×5× 6=15. 利用方程思想解决折叠问题 解决折叠问题时,先要明确折叠前后的哪些量是 相等的,把待求的线段长用未知数表示出来,图形中其 余线段尽可能地利用题目中的已知条件求出具体的数 值,或者用含未知数的式子表示出来,再借助勾股定理 列方程求解. 18. 85 解析:① 如 图①,AB= (6+3)2+42 = 97(cm);② 如图②,AB= (4+3)2+62= 85(cm); ③ 如图③,AB= (6+4)2+32= 109(cm).∵ 85< 97<109,∴ 最短路线的长为 85cm. 第18题 三、 19. (1) 如图①所示. (2) 如图②所示;2. 解析:三角形的三边长分别为 5, 25,5.设此三角形最长边上的高为x.∵ (5)2+ (25)2=5+20=25,52=25,∴ 此三角形是直角三角 形.∴ 5×25=5x,解得x=2. 第19题 20. (1) △ABC 是直角三角形.理由:在Rt△ACD 中, ∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,由勾股定理,得AC= 32+42=5(m).∵ AC2+BC2=52+122=169(m2), AB2=132=169(m2),∴ AC2+BC2=AB2.∴ ∠ACB= 90°.∴ △ABC 是直角三角形.(2) 该空地面积S= S△ABC-S△ACD= 1 2×5×12- 1 2×3×4=24 (m2),∴ 铺 满这块空地共需花费24×100=2400(元). 21. (1) 学校C会受噪声影响.如图,过点C 作CD⊥AB 于点 D.∵ AC=150m,BC=200m,AB=250m, ∴ AC2+BC2=AB2.∴ △ABC 是直角三角形.∴ 易得 AC·BC=CD·AB.∴ CD=150×200250 =120 (m).∵ 环 卫车周围130m以内为受噪声影响区域,∴ 学校C 会受 噪声影响.(2) 如图,当EC=130m,FC=130m时,噪 声 正 好 影 响 学 校 C.∵ ED = EC2-CD2 = 1302-1202=50(m),同理可得FD=50m,∴ EF= 100m.∵ 环卫车的行驶速度为50m/min,∴ 100÷50= 2(min),即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min. 第21题 22. 在Rt△ABC 中,∵ BC=9m,AC=12m,∴ AB= AC2+BC2=15m.根据题意,可分三种情况:① 如图 ①,延长BC 至点D,使BD=AB,连接AD.∴ BD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 AB=15m.∴ DC=6m.∴ AD= AC2+DC2 = 65m.∴ △ABD 的周长为AB+BD+AD=15+15+ 65=(30+65)m.② 如图②,以点A 为圆心,AB 长为 半径画弧,交BC 的延长线于点D,连接AD.∴ AD= AB.∵ ∠ACB=90°,∴ AC⊥BD.∵ AD=AB,∴ DC= BC=9m.∴ △ABD 的周长为AB+AD+BD=15+ 15+9×2=48(m).③ 如图③,作线段AB 的垂直平分线, 交BC的延长线于点D,连接AD.∴ AD=BD.设CD= xm,则AD=BD=(9+x)m.在Rt△ACD 中,∵ AD2= CD2+AC2,∴ (9+x)2=x2+122,解 得 x= 72. ∴ △ABD 的 周 长 为 AB +BD +AD =15+2× 9+72 =40(m).综上所述,扩充后等腰三角形绿地的 周长为(30+65)m或48m或40m. 第22题 利用分类讨论思想解决等腰三角形问题 构造等腰三角形(设为△ABD)时要注意分三种情 况:① AB=BD;② AD=AB;③ AD=BD. 第十八章　平行四边形 一、 1. C 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. C 8. C 解析:∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC= 90°.∵ AB=6,BC=8,∴ 矩形ABCD 的面积为6×8= 48,AC= AB2+BC2 =10.∵ 对角线 AC,BD 交于 点O,∴ AO=DO=12AC=5 ,△AOD 的面积为48× 1 4=12.∵ OE⊥AO,EF⊥DO,∴ S△AOD =S△AOE+ S△DOE,即12= 1 2AO ·OE+12DO ·EF.∴ 12=12× 5OE+12×5EF.∴ 5(OE+EF)=24.∴ OE+EF=245. 利用等面积法解决线段长度和的问题 等面积法是利用面积相等来解决有关数学问题的 方法.本题借助一个三角形面积的两种不同的表示方 法建立等量关系,进而求出线段长度的和. 9. C 解析:如图,连接 AE,AC,CF,CG.∵ 四边形 DEFG 是正方形,∴ ∠EDG=90°,EF=DE=DG.∵ 四 边形 ABCD 是 正 方 形,∴ AD=CD,∠ADC=90°. ∴ ∠ADE=∠CDG.∴ △ADE≌△CDG.∴ AE= CG.∴ d1+d2+d3=EF+CF+AE.∴ 当点A,E,F,C 在同一条直线上时,EF+CF+AE 最小,即d1+d2+ d3 最小.∴ d1+d2+d3 的最 小 值 为 AC 的 长.在 Rt△ABC 中,AC=2AB=22,∴ d1+d2+d3 的最小 值=AC=22. 第9题 10. D 解析:根据题意,可得DP=tcm,BM=tcm. ∵ AD=10cm,BC=8cm,∴ AP=(10-t)cm,CM= (8-t)cm.当四边形ABMP 为矩形时,AP=BM,即10- t=t,解得t=5,∴ 选项A不符合题意.当四边形CDPM 为平行四边形时,DP=CM,即t=8-t,解得t=4,∴ 选 项B不符合题意.当CD=PM 时,分两种情况:① 四边形 CDPM 是平行四边形,此时CM=PD,即8-t=t,解得 t=4.② 四边形CDPM 是等腰梯形,如图,过点 M 作 MG⊥AD 于点G,过点C 作CH⊥AD 于点H,则易得四 边形ABMG 为矩形,且∠MGP=∠CHD=90°.∵ 易得 PM=CD,GM=HC,∴ △MGP≌△CHD.∴ GP= HD.∵ AG =AP +GP = 10-t+t- (8-t) 2 cm, 又∵ BM=tcm,AG=BM,∴ 10-t+t- (8-t) 2 =t ,解 得t=6.综上所述,当CD=PM 时,t=4或6.∴ 选项C 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 第十七章　勾股定理 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 由下列长度的线段组成的三角形不是直角 三角形的为 ( ) A. 5 4 ,1,34 B. 2,3,5 C. 6,8,10 D. 13,14,15 2. 如图,所有涂色部分的四边形都是正方形, 所有三角形都是直角三角形.若正方形A, C,D的面积依次为4,6,18,则正方形B的面 积为 ( ) 第2题 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 3. (金华中考)如图所示为城市某区域的示意 图,建立平面直角坐标系后,学校和体育场 的坐标分别是(3,1),(4,-2).下列地点中, 离原点最近的是 ( ) 第3题 A. 超市 B. 医院 C. 体育场D. 学校 4. 如图,将长为12cm的橡皮筋放置在直线l 上,固定两端A 和B,然后把中点C 竖直向 上拉4.5cm至点D 处,则拉长后橡皮筋的 长为 ( ) 第4题 A. 20cm B. 18cm C. 16cm D. 15cm 5. 数形结合思想 如图所示为由四个全等的 直角三角形与中间的一个小正方形拼成的 一个大正方形.若大正方形的面积是13,小 正方形的面积是1,直角三角形的两直角边 长分别为a,b,则(a-b)2的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 12 D. 13 第5题 第6题 6. 如图,数轴上点A 对应的数是-1,点C 对应 的数是-3,BC⊥AC,垂足为C,且BC=1, 以点A 为圆心,AB 长为半径画弧,交数轴 于点D,则点D 表示的数为 ( ) A. -1+7 B. 2 C. -1+5 D. 3 7. 在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发 现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在 下表中,则当a=20时,b+c的值为 ( ) a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A. 100 B. 200 C. 240 D. 360 8. (攀枝花中考)如图①所示为第七届国际数学 教育大会(ICME-7)的会徽,在主体图案中选 两个相邻的直角三角形,恰好能够组合得到 如图②所示的四边形OABC.若OC= 5, BC=1,∠AOB=30°,则OA 的长为 ( ) 第8题 A. 3 B. 3 2 C. 2 D. 1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 6 9. 在△ABC 中,BC=a,AB=c,AC=b,则 不能作为判定△ABC 是直角三角形的条件 的为 ( ) A. ∠C=∠A-∠B B. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 C. a∶b∶c=3∶4∶5 D. (a+b)(a-b)=c2 答案讲解 10. 如图,△OA1A2 为等腰直角三角 形,OA1=1,以斜边OA2 为直角 边作等腰直角三角形OA2A3,再 以斜边OA3 为直角边作等腰直角三角形 OA3A4……按此规律作下去,则OAn 的 长为 ( ) 第10题 A. (2)n B. (2)n-1 C. 2 2 n D. 2 2 n-1 二、 填空题(每题3分,共24分) 11. 在平面直角坐标系中,点P(-4,5)到原点 O 的距离是 . 12. 如图,某会展中心在会展期间准备在高5m、 长13m、宽2m的楼道上铺地毯.已知地毯 每平方米18元,则铺完这个楼道至少需要 元. 第12题 第13题 13. 在如图所示的正方形网格中,∠ABC+ ∠BAC= . 14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边 形.如图,“垂美”四边形ABCD 的对角线 AC,BD 交于点O.若AD=3,BC=5,则 AB2+CD2= . 第14题 第16题 15. 直角三角形的两边长a,b满足|a2-9|+ 16-b2=0,第三边的长是 . 16. 《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题,其译文 如下:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板上 一点A 离地1尺,将它往前推送10尺(水平 距离)时,点A 对应的点B 就和某人一样 高.若此人的身高为5尺,秋千的绳索始终 拉得很直,则秋千的绳索长 尺. 答案讲解 17. ★如图,在△ABC中,AB=10,AC= 6,BC=8.若将△ACE 沿AE 折 叠,使得点C 与AB 上的点D 重 合,则△AEB 的面积为 . 第17题 第18题 18. 如图所示为一个长6cm、宽3cm、高4cm 的长方体木块.一只蚂蚁要沿着长方体的 表面从左下角的点A 处爬行至右上角的点 B 处,那么这只蚂蚁所走的最短路线的长 为 cm. 三、 解答题(共46分) 19. (10分)如图,正方形网格中的每个小正方 形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做 格点. (1) 在图①中以格点为顶点画一个面积为 10的正方形; (2) 在图②中以格点为顶点画一个三角形, 使三角形的三边长分别为 5,25,5,此三 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 八年级数学(人教版) 7 角形最长边上的高为 . 第19题 20. (10分)如图,某住宅小区在施工过程中留 下了一块空地(涂色部分),AD=4m, CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC= 12m. (1) 连接AC,△ABC 是直角三角形吗? 请 说明理由. (2) 小区为美化环境,欲在空地上铺草坪, 已知草坪每平方米100元,试问铺满这块 空地共需花费多少元? 第20题 答案讲解 21. 新情境 日常生活 (12分)如图, 有一台环卫车沿公路AB 由点A 向点B 行驶,已知点C 为一所学 校,且点C 与直线AB 上的两点A,B 的距 离分别为150m和200m,AB=250m,环卫 车周围130m以内为受噪声影响区域. (1) 学校C 会受噪声影响吗? 为什么? (2) 若环卫车的行驶速度为50m/min,则 环卫车噪声影响该学校持续的时间有 多长? 第21题 22. ★(14分)有一块直角三角形绿地,量得两直 角边AC=12m,BC=9m.现在要将三角 形扩充成等腰三角形,且扩充部分是以AC 为一直角边的直角三角形,请在图中画出 图形,并求出扩充后等腰三角形绿地的 周长. 第22题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶