专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程 教学目标 1.进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2.会用因式分解法解某些一元二次方程。 3.进一步让学生体会“降次”化归的思想。 教学重难点 1.重点：掌握用因式分解法解某些一元二次方程。 2.难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。 知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即学即练1】 1．用因式分解法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，． 2．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 知识点02 常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即学即练2】 3．用恰当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法进行求解； （1）利用配方法进行求解； （2）利用提公因式法和因式分解法进行求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 4．用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握相关解法是解题的关键； （1）根据求根公式法即可求解； （2）根据因式分解法化为，再解两个一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴，. ∴， ∴， ∴，． （2）； ∴． ∴， 即， ∴，或． ∴，． 题型01 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 【典例1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 【变式3】解方程： 【答案】，． 【分析】直接利用因式分解法求解即可．本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键． 【详解】解： 或． ，． 【变式4】用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 所以或， 解得，． 题型02 用十字相乘法求解一元二次方程 【典例1】用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 【变式1】阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． (1)尝试：分解因式(______)(______)； (2)应用：请用上述方法解方程． (3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____． 【答案】(1)2，4； (2)，； (3)或或． 【分析】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程； （1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （3）结合，利用因式分解法可分别求得值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）∵， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 当时， ， ， ． 综上所述的值可以是，，，，． 【变式2】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式3】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型03 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【典例1】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：．第一步 ．第二步 解得．第三步 小颖同学： 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 或．第四步 解得或第五步 任务一： 小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； 小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________． 任务二：写出该方程的正确求解过程． 【答案】任务一：二，方程两边同时除以可能为0的代数式；三，提公因式时，后边的未变号；任务二：，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解决本题的关键是利用提公因式法分解式解一元二次方程，在解方程的过程中要注意不能随便除以一个代数式，提公因式时要注意符号是否需要变化． 【详解】任务一： 解：代数式的值可能为， 小刚同学在第二步中，方程两边同时除以是错误的； 小颖同学在第三步时提公因式时， 后边的是， 提公因式时，后一项应变号，而小颖同学没有变号， 小颖同学的做法错误； 任务二： 解：， 移项得：， 整理得：， 提公因式得：， 或， 解得：，． 【变式1】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错 任务二：， 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可； ②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误； 任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的； ②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错； 任务二：解：， 或 解得：，． 【变式2】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 【变式3】按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得，∴． 小芳： 解：，， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是 ． (2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解． 【答案】(1)见解析； (2)小芳的解法错误，，． 【分析】（）根据根据题意得小华忽略的情况是没有考虑； （）根据一元二次方程的解法即可求解； 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：小华忽略的情况是没有考虑， 故答案为：没有考虑； （2）小芳的解法错误， 由 或， 解得：，． 题型04 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 【典例1】菱形的一条对角线长为 ，边长为一元二次方程 的一个根，则菱形的另一条对角线长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用菱形的性质与三角形的三边关系质确定，从而根据菱形的对角线互相垂直平分即可解答． 【详解】解：菱形的一条对角线长为6， 如图，不妨设 解方程得，， ∴或， 若，则在菱形中，， 此时，，这不能构成三角形； 若，则在菱形中， ，，， ∴在中，， ∴，即另一条对角线长为8． 故答案为：8． 【变式1】如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程的根，等腰三角形的定义，先求出方程的两个根，得出三角形的三条边为5，5，2，从而做出判断． 【详解】解：， ， ， ， ∵三角形的两边分别是一元二次方程的两个实数根， 三角形的两边分别是：5，2， 又∵的一边长为5， 是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【变式2】如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴ 则， 即， ∵4，4，8不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4， ∴ ∴周长为20． 故答案为：20． 【变式3】若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质． 另一条对角线的长是方程的一个根，解方程求得的值，根据菱形的一条对角线长为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：解方程得：或4， ∵是菱形， ∴， 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 故答案为：或． 题型05 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 【典例1】定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【变式1】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，求出m，n的关系式，把n化成m的式子，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：方程是“黄金方程”，理由如下： ∵，，， ∴ ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 【变式2】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可； （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：①， ，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程”； （2）解：， ，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或． 【变式3】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 题型06 换元法解一元二次方程 【典例1】【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 【变式1】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程； （1）设进而解一元一次方程，即可求解； （2）设，得出，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设 ∴， ∴ 故答案为：10； （2）设 ∴ ∴ ∴ 解得：或 即或 【变式2】如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； （2）解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 【变式3】阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2) (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法的解题步骤． （1）根据换元法，可得答案； （2）根据换元法，可得答案； （3）根据换元法，可得答案． 【详解】（1）解：设，则； （2）解：设，则， ，即， 解得，则或（舍去） ； （3）解：设最小的正整数为，则其它三个正整数分别为，，， 根据题意，得， ， 设，则， ， 解得，（舍去） ，即， 解得，（舍去）， 这四个连续的正整数为2，3，4，5． 1．一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，根据每个因式等于0，求出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得． 故选：D 2．下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，本题可对选项一一进行分析，然后选出最适合用因式分解法来解的选项． 【详解】解：A. ，即，适合配方法解一元二次方程，故该选项不符合题意； B. ，即，不适合因式分解法解一元二次方程，故该选项不符合题意； C. ，适合配方法解一元二次方程，故该选项不符合题意；     D. ，整理得，，移项以后可提取公因式，进行因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 3．我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意得 (x−2)★(1−x)=(x−2)2-(x−2)(1−x)=28 整理，得2x2-7x-22=0 （x+2）（2x-11）=0 x1=-2，x2= 故选：D ． 4．若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，分类讨论，掌握一元二次方程解法及勾股定理是解题的关键；先解方程得到两根，再分两种情况讨论斜边的可能长度． 【详解】解：解方程， 因式分解得 ， 解得 ，； 当6和4均为直角边时，斜边为 ； 当6为斜边，4为直角边时，另一条直角边为 ，此时斜边仍为6； 由于斜边必为最长边，4不可能是斜边， 因此，斜边可能为6或，对应选项C； 故选：C． 5．已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方程形式，再解出对应的x值即可． 【详解】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 6．一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故答案为：，． 7．一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：． 8．三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，再根据三角形三边的关系确定第三边长的长，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， 解得， 当时，，不符合三角形的三边关系，所以舍去， 当时，，符合三角形的三边关系， 则三角形三边分别为7、4、4，三角形的周长是， 故答案为：． 9．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 10．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根的判别式；由新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，由根的判别式得，即可求解；理解新定义，能熟练解方程并能利用根的判别式求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 是的根， 方程是“湘”方程， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， ， ； 故答案为：． 11．解方程 (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． （1）利用因式分解法解方程． （2）先把方程变形得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 12．解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， 所以． （2）解： ， 所以． 14．用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 15．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【点拨】（1）先移项，再提取公因式；（2）可以把看作一个整体，再因式分解． 【解】（1）移项，得， 即． 因式分解，得， 或， 解得，． （2）因式分解，得，， 解得． 16．习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得     第一步 第二步     第三步 淇淇：解方程 解：移项：    第一步 分解因式    第二步 即或        第三步 所以        第四步 (1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步 (2)见解析． 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可； （2）根据因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步； （2）解：移项：， 分解因式， 即或， 所以，． 17．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程． (1)求证：方程是整根方程； (2)若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法和判别式，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法解出方程，根据整根方程的定义判断即可； （2）利用因式分解法解出方程，根据整根方程的定义，以及根的判别式求出的值． 【详解】（1）证明：， ，， 是3的倍， 是整根方程； （2）解： ，， 总有实数根， ， 解得：， 正整数，使得关于的一元二次方程是整根方程， 时，的根为，，不是整根方程， 时，的根为，，是整根方程， ． 18．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【分析】将视为一个整体，然后设则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体的代换方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程 教学目标 1.进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2.会用因式分解法解某些一元二次方程。 3.进一步让学生体会“降次”化归的思想。 教学重难点 1.重点：掌握用因式分解法解某些一元二次方程。 2.难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。 知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即学即练1】 1．用因式分解法解方程： (1) (2) 2．用十字相乘法解方程 (1) (2) 知识点02 常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【即学即练2】 3．用恰当的方法解下列方程． (1) (2) 4．用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) 题型01 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程 【典例1】解方程：． 【变式1】解方程：． 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程： 【变式4】用因式分解法解方程：． 题型02 用十字相乘法求解一元二次方程 【典例1】用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1】阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． (1)尝试：分解因式(______)(______)； (2)应用：请用上述方法解方程． (3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____． 【变式2】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 题型03 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题 【典例1】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：．第一步 ．第二步 解得．第三步 小颖同学： 解：．第一步 ．第二步 ．第三步 或．第四步 解得或第五步 任务一： 小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； 小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________． 任务二：写出该方程的正确求解过程． 【变式1】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 【变式2】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【变式3】按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得，∴． 小芳： 解：，， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是 ． (2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解． 题型04 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题 【典例1】菱形的一条对角线长为 ，边长为一元二次方程 的一个根，则菱形的另一条对角线长为 ． 【变式1】如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是 三角形． 【变式2】如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【变式3】若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 题型05 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题 【典例1】定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【变式1】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【变式2】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【变式3】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 题型06 换元法解一元二次方程 【典例1】【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【变式1】【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【变式2】如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【变式3】阅读下列材料： 解方程：． 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，∴； 当时，，∴， 所以原方程有四个根：，，，． 根据上述解方程的方法，解决下列问题： (1)解方程时，若设，直接写出用表示该方程； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 1．一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（   ） A． B． C． D． 3．我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 4．若的两边长是方程的两个根，则的斜边长为（　　） A．6 B．2或 C．6或 D．6或 5．已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．一元二次方程的根为 ． 7．一元二次方程的解为 ． 8．三角形的两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 9．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 10．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 11．解方程 (1)． (2)． 12．解下列方程： (1)； (2) 13．解方程： (1)； (2)． 14．用十字相乘法解方程： (1) (2) 15．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 16．习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得     第一步 第二步     第三步 淇淇：解方程 解：移项：    第一步 分解因式    第二步 即或        第三步 所以        第四步 (1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程． 17．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程． (1)求证：方程是整根方程； (2)若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值． 18．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$