专题2.3 用公式法求解一元二次方程（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题2.3 用公式法求解一元二次方程 教学目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程； 3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用． 教学重难点 1.重点：会运用求根公式法解一元二次方程. 2.难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式. 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 【即学即练1】 1．解方程：． 2．解方程：． 知识点02 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练2】 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 4．当m取什么值时，关于x的方程 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 题型01 求一元二次方程中判别式的值 【典例1】一元二次方程方程的根的判别式的值为 ． 【变式1】一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【变式2】关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 【变式3】若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是 ． 题型02 利用用公式法还原一元二次方程 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【变式1】用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 题型03 用公式法求解一元二次方程 【典例1】解方程： 【变式1】解方程：． 【变式2】解方程：． 【变式3】解方程 (1) (2) 题型04 用公式法解一元二次方程的错题复原问题 【典例1】嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ (1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【变式1】阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【变式2】小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【变式3】发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）． (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 题型05 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式1】若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【变式2】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式3】若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 题型06 根据一元二方程根的情况求参数 【典例1】已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 【变式1】若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【变式2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 题型07 一元二方程中参数与其他综合问题 【典例1】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【变式1】已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为6，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【变式2】已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【变式3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 1．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 3．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 6．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 7．一元二次方程根的判别式的值是 ． 8．一元二次方程的根的判别式的值为5，则的值为 . 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 10．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是 ． 11．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 12．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 13．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 14．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 15．用公式法解关于的方程： (1) (2) 16．解方程时，小明同学解答过程如下： 第①步∵，， 第②步∴ 第③步∴ 第④步∴，． 小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第_______步；并写出正确的解题过程． 17．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 18．已知关于x的方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围． (2)若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 20．已知关于的方程，其中分别为三边的长． (1)若是方程的根，试判断的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 用公式法求解一元二次方程 教学目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2．会用公式法解一元二次方程； 3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用． 教学重难点 1.重点：会运用求根公式法解一元二次方程. 2.难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式. 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 【即学即练1】 1．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解答本题的关键． 根据公式法计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ，． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：． ∴， ∴ 解得  ，． 知识点02 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【即学即练2】 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）把代入方程可得，求出，此时一元二次方程化为，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： （2）解：把代入方程可得， 解得：或， ∵， ∴， 此时一元二次方程化为， 解方程得，， ∴方程的另一个根为． 4．当m取什么值时，关于x的方程 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：△时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系确定的取值． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，方程没有实数根． 【详解】（1）解：， ， ． 当时，解得， ∴当时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当时，解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根； （3）解：当时，解得， ∴当时，方程没有实数根． 题型01 求一元二次方程中判别式的值 【典例1】一元二次方程方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据一元二次方程根判别式的定义式可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得， 即的值为． 故答案为：． 题型02 利用用公式法还原一元二次方程 【典例1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 【变式1】用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 【变式2】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 【变式3】在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 题型03 用公式法求解一元二次方程 【典例1】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：． 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先将方程化简，得到，，，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：， 方程化为：， ，，， ， ， ，． 【变式3】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴∴， ∴， ∴， 解得． 题型04 用公式法解一元二次方程的错题复原问题 【典例1】嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ (1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)公式法，② (2)步骤见解析，， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，求解过程中，，，他的表示系数时错误，所以，从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； （2）解：， ，，， ， ， ，． 【变式1】阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)过程见解析，，． 【分析】（）先把一元二次方程应化为一般形式，然后即可判断； （）根据公式法解一元二次方程即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 【详解】（1）解：由题意可得，一元二次方程应化为一般形式， ∴从步开始出现了错误， 故答案为：； （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式2】小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一； (2)正确的解答见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【变式3】发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）． (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 【答案】(1)⑤ (2)当为等边三角形时，的值为1． 【分析】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 题型05 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例1】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式1】若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把代入方程求出的值，再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式2】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式3】若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 题型06 根据一元二方程根的情况求参数 【典例1】已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的的两个实数根相等，然后计算根据，解出m的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根相等， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【变式1】若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 【答案】且 【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可求出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得：， 又， 则a的取值范围是且， 故答案为：且． 题型07 一元二方程中参数与其他综合问题 【典例1】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)时，方程的两根为， 【分析】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，熟记求根公式为是解题的关键． （1）先求出判别式的值，再根据的意义证明即可； （2）根据求根公式得出，，即可求出m的值和方程的根． 【详解】（1）证明： ， 无论m取任何数，，即， 无论m取何值，该方程总有实数根； （2）解： ，由求根公式得： ，， 方程的两个根都是整数， 取时，方程的两根为，． 【变式1】已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为6，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1)12 (2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6， 把代入， 得：， 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 【变式2】已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)， (3)为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意将方程的根代入即可求出，二者关系，从而判断的形状． （2）利用等边三角形的性质可知，， 三者相等，将其代入一元二次方程中即可求出关于的一元二次方程，求出的值即可． （3）根据题意即可知道，从而求出，，三者关系， 利用勾股定理逆定理即可判断的形状． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 将方程的一个根代入原方程得：， ． ，是的两边， 是等腰三角形． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ，． 这个一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． （3）解：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ． 为直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间关系． 【变式3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 1．用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C． 2．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 5．规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据题中定义将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 6．小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 7．一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 故答案为：． 8．一元二次方程的根的判别式的值为5，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程根的判别式等于5，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵根的判别式的值为5， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据题意可得：，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 解得：， 故答案为：8 10．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由于的不确定性，需要先分类讨论确定方程的类型，再利用根的判别式确定参数的取值范围 【详解】分两种情况讨论： ①当时，原方程为，解得，符合题意； ②当时，原方程为一元二次方程． 关于x的方程有实数根， ，解得，则，． 综上所述，m的取值范围是． 11．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． （2）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． 12．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】解：（1），，， ， 方程有两个不等的实数根， ，． （2）原方程可化为． ，，， ， 方程有两个相等的实数根． 13．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的步骤． （1）首先得出值，进而利用求根公式得出答案； （2）方程整理后，首先得出值，进而利用求根公式得出答案； （3）方程整理后，首先得出值，进而利用求根公式得出答案． 【详解】（1）解：； ，，， △． ， ，； （2）解：； 将原方程化为一般形式，得， △， ． ，； （3）解：． 将方程整理为一般形式，得， ，，， △． ． ，． 14．用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是将方程化为一般形式． （1）先把方程化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可． （2）通过移项化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式； （3）求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 【详解】（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 15．用公式法解关于的方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，解题关键是先利用判别式判断是否有根． （1）先将方程化为一般形式，再计算判别式，确定有根后，然后根据公式法即可求出答案； （2）先计算判别式，确定有根后，再根据公式法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ，，， ， ； 或； （2）， ，，， △ ， 或． 16．解方程时，小明同学解答过程如下： 第①步∵，， 第②步∴ 第③步∴ 第④步∴，． 小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第_______步；并写出正确的解题过程． 【答案】①，正确解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-公式法、一元二次方程的一般形式等知识点，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先把方程化成一般式，然后再按照公式法逐步判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，即第①步发生错误； ∴， 第③步∴， 第④步∴，． 17．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 18．已知关于x的方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围． (2)若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根． 【答案】(1)k的取值范围为 (2)， 【分析】（1）分两种情况讨论，当k≠0时，该方程为一元二次方程；当k＝0时，该方程为一元一次方程，再分别求得k的取值范围即可； （2）只要让根的判别式△=，求得k的值，进而求得方程的解即可． 【详解】解：（1）当时，方程为一元一次方程，有解，满足题意； 当时，方程为一元二次方程． 方程有实数根，， 解得，则且． 综上所述，k的取值范围为． （2）方程有两个相等的实数根， ，且，解得， 原方程为，解得． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题的关键. 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意，得， ， ； （2）解：是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 20．已知关于的方程，其中分别为三边的长． (1)若是方程的根，试判断的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 【答案】(1)为等腰三角形； (2)为直角三角形． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握根的判别式，等腰三角形的定义，勾股定理判定直角三角形的计算是关键． （1）把代入方程得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据根的判别式列式得，结合勾股定理判定直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴． ∴， ∴为直角三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$