专题2.2 用配方法求解一元二次方程（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题2.2 用配方法求解一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。 2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程。 3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。 4.会用配方法解一元二次方程。 教学重难点 1.重点 （1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想； （2）会用配方法解一元二次方程； 2.难点 （1）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程； （2）用配方法将一元二次方程变形成可用直接开平方法解的方程。 知识点01 直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 【即学即练1】 1．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可； （2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 知识点02 配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【即学即练2】 3．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． （1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： 整理可得 ，即， ， ． （2）解：， 整理可得 ， ， ， ， ． 4．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 5．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三 (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 知识点03 配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【即学即练3】 6．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 7．阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1)6 (2)19 【分析】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方． （1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案； （2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值为． 8．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了用配方法解决问题． 首先把配方得到，根据平方的非负性可知，所以可知有最大值且最大值是； 首先把两个代数式相减得到，去括号和并同类项可得原式，配方可得原式，根据平方的非负性可知，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 有最大值，最大值是； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程，掌握直接开方的计算方法是解题的关键． （1）先移项，再直接开方，即可求解； （2）先移项，再直接开方，即可求解； （3）先移项，再直接开方，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， 直接开方得，． （2）解：， 移项得，， 直接开方得，或， ∴． （3）解：， 直接开方得，或， ∴． 【变式1】按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）利用直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴，． 【变式2】解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查利用直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用直接开平方法解方程即可； （4）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：，即， ∴； （2）解：，即， ∴； （3）解：， ∴或， ∴或； （4）解：， ∴，即：或， ∴或． 【变式3】解下列方程： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）将方程变形为，然后利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）将方程变形为，然后利用直接开平方法求解即可； 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法的解题步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程变形，得． 直接开平方，得． ∴，． （2）解：直接开平方，得． ∴． ∴，． （3）解：将方程变形，得． 直接开平方，得， ∴． ∴，． 题型02 直接开平方法解一元二次方程的条件 【典例1】已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 【变式1】若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【详解】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 【变式3】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断． 【详解】解：将原方程可变形为：， ∵， ∴原方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法． 题型03 直接开平方法解一元二次方程的复合型 【典例1】用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 【变式1】解下列方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】 或 解得： 【变式2】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用直接开平方法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， ， 或， ∴，． 题型04 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，化简将方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：． 移项：将常数项移到右边，得． 配方：配方时，系数为 ，取其一半的平方，即 ． 保持等式平衡：． 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：． 因此，配方后的方程为 ． 故选：B． 【变式1】用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 故选：B． 【变式2】用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： 故答案选B 【变式3】用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式． 【详解】解：由原方程移项，得， 方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得， 即， 故选：C． 题型05 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，利用配方法进一步解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而开方解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法进行解方程即可． 【详解】解：， ． ， ， ∴， ∴， 【变式3】用配方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 题型06 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是． 故选：C． 【变式1】把方程配方，化为的形式应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程；方程左右两边同时除以变形后，将常数项移动方程右边，方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项． 【详解】解：， 二次项化为得：， 配方得：，即． 故选：D 【变式2】用配方法解一元二次方程时，化为的形式可得到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即， 故选：C． 【变式3】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到方程的右边，再把二次项化系数为，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 题型07 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 【变式1】配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．利用配方法解方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 【变式2】用适当的方法解下列一元二次方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 【变式3】用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 题型08 用配方法解一元二次方程错解复原问题 【典例1】下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） (1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)转化思想，完全平方公式 (2)三，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）根据解答过程判断依据即可； （2）根据配方法判断即可． 【详解】（1）解：体现的数学思想为转化思想，依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想，完全平方公式； （2）解：第三步变形时出现错误； 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得． 【变式1】下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得① 二次项系数化为1，得② 配方，得，即③ 由此可得④ 所以，⑤ (1)整个解答过程是从 步开始出现错误的，错误的原因是 (2)用这种方法解方程： 【答案】(1)③，等号右边没有加上1 (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； 【详解】（1）解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得，即， 由此可得：， 所以，， 由上可知，整个解答过程是从③步开始出现错误的，错误的原因是等号右边没有加上1， 故答案为：③，等号右边没有加上1； （2）解：， ，则， ，即， ， ，． 【变式2】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．        第一步 移项，得．        第二步 配方，得，即．    第三步 由此，可得．        第四步 所以，．        第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是________； (3)小明同学解题过程中，从第________步开始出现错误，请直接写出正确的结果________． 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三；， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次，其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次；完全平方公式； （2）“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 解：． 二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，， 故答案为：三；，． 【变式3】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次系数化为1，得．…………………………第一步 移项，得．…………………………………………第二步 配方，得，即．……………第三步 由此，可得．……………………………………第四步 所以．……………………………第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______． 任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①转化，完全平方公式；②等式的基本性质1；③三，，；任务二：移项要变号；最后结果要化成最简．（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 任务一：①根据方程解答过程回答即可； ②第二步移项的依据是等式的基本性质，据此回答即可； ③根据方程解答过程回答即可； 任务二：根据解一元二次方程时，学生的常见错误给出意见． 【详解】解：任务一：①小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的依据是等式的性质1； 故答案为：等式的性质1； ③上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误； 正确的解是： 配方，得， 即， ∴，， 故答案为：三；，； 任务二：解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）， 题型09 配方法的应用 【典例1】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合，代入后配方得，即可得到答案． 【详解】（1）解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为3． 故答案为：3． （2）解： （3）解：四边形面积为： 四边形面积的最大值为． 【变式1】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； 分析； (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 【答案】(1)1，大，2 (2)1，大，5，1，5，5 (3)当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查配方法的应用： （1）根据完全平方的非负性，进行作答即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性，进行求解即可； （3）设花园与墙垂直的边长为，利用矩形的面积公式，求出面积，利用配方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当，即：时，有最大值为2； 故答案为：1，大，2； （2）， ∵， ∴当时，有最大值为5； 故答案为：1，大，5，1，5，5； （3）设花园与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为：， ∴花园的面积， ∵， ∴当时，有最大值为：50； 答：当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式2】【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”． 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解： 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： （1）当___________时，代数式有最小值，最小值为___________． （2）当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【拓展提高】 （3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】（1）1；；（2）当时，代数式有最小值，最小值是4；（3）当，时，代数式有最小值，最小值是16 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可； （2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可； （3）将配方成，即可解答． 【详解】解：（1） 因为， 所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 故答案为：1；； （2）， 因为， 所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是4； （3） 因为，， 所以， 因此，当，，即，时，代数式有最小值，最小值是16． 【变式3】阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)；13 (2)最小值为2018； (3)围成的菜地的最大面积是． 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， ， 当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2）解： ， 当，时，有最小值，最小值为2018； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 1．一元二次方程的根是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】考察一元二次方程的解法——直接开平方法 【详解】解：∵ ∴ 故答案选B 2．把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，先把移项，得，配成完全平方公式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 3．已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【答案】C 【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长． 本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想． 【详解】解：由一元二次方程，得， 解得，或； ∴等腰三角形的两腰长是5或1； ①当等腰三角形的腰长是1时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ②当等腰三角形的腰长是5时，，，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长； 故选：C． 4．关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方的非负性，根据平方根的定义即可判断，利用偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴这个一元二次方程没实数根， 故选：C． 5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．本题逐步分析各位同学的方程变形即可得到答案． 【详解】解： ，甲计算错误； ， ，乙计算正确； ，丙计算错误； ， ，丁计算正确； ∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙， 故选：C． 6．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，将展开，求出的值，利用配方法求出的最小值即可．熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：第二个方程可以写成的形式，展开得： ∴，，， 解得：， ∴， ∴能取的最小值是2020； 故选B． 7．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】利用一元二次方程的解法——直接开方法解方程即可 【详解】 解： 或 ∴ 8．用配方法将方程进行配方得 ． 【答案】 【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 方程两边加上1，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 9．将一元二次方程通过配方转化为的形式，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查配方法．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 10．当 时，代数式的值最小． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式的最小值问题，利用配方法及平方的非负性是解答的关键. 对代数式进行配方，利用平方的非负性解答. 【详解】解： ∵ ∴ ∴当时，原式有最小值 即当时，代数式取得最小值. 故答案为： 11．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据新定义得到，由得到，利用配方法解方程即可．此题考查了解一元二次方程，根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ， 开平方得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 12．若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项再系数化为1，然后运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）先把二次项的系数化为1，再移项，然后运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 14．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)， 【详解】解：（1）移项，得． 两边直接开平方，得， 解得，． （2）两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 15．用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解方程，是解题的关键： （1）移项后，利用直接开方法解方程即可； （2）移项后，利用直接开方法解方程即可； （3）系数化1后，利用直接开方法解方程即可； （4）移项后，利用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 即， 开方得：； （2）， 即， 开方得：； （3）， 即， 开方得：， 解得：，； （4）， 即， 开方得：， 解得：，． 16．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方求出，据此求出每一个方程的解即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （2）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，； （3）方程变形得：， 配方得：，即， 解得：，； （4）方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 17．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 18．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)③，等式右边没有同时加4 (2)见解析 【详解】解：（1）③  等式右边没有同时加4 （2）正确的解答过程如下： 移项，得． 两边同时除以2，得． 配方，得， 即， ． 故，． 19．阅读材料，并回答问题 下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程： 解：， 二次项系数化为1，得：               第一步； 移项，得：                             第二步； 配方，得：，即       第三步； 由此可得：                          第四步； 解得：，             第五步． (1)“配方法”所依据的公式是______________；（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)上面解答过程，从第_________步开始出现错误； (3)写出正确的解答过程； 【答案】(1)完全平方公式 (2)三 (3)过程见解析，， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程： （1）根据配方法定义可得答案； （2）根据配方法的步骤可知再把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，即加上1，而第三步加上的是4，据此可得答案； （3）根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：“配方法”所依据的公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； （2）解：上面解答过程，从第三步开始出现错误的，原因是把二次项系数化为1后，应该把方程的两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，即加上1，而第三步加上的是4， 故答案为：三； （3）解： 解得，． 20．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 用配方法求解一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。 2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程。 3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。 4.会用配方法解一元二次方程。 教学重难点 1.重点 （1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想； （2）会用配方法解一元二次方程； 2.难点 （1）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程； （2）用配方法将一元二次方程变形成可用直接开平方法解的方程。 知识点01 直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 【即学即练1】 1．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 知识点02 配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【即学即练2】 3．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 4．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 5．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 知识点03 配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【即学即练3】 6．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 7．阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 8．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1】按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)． 【变式2】解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】解下列方程： (1) ； (2)； (3)． 题型02 直接开平方法解一元二次方程的条件 【典例1】已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【变式1】若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【变式3】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 题型03 直接开平方法解一元二次方程的复合型 【典例1】用适当的方法解方程： 【变式1】解下列方程： 【变式2】解方程： 【变式3】解方程： (1)； (2)． 题型04 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【变式2】用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 题型05 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程： 【变式1】解方程：． 【变式2】解方程：． 【变式3】用配方法解方程： 题型06 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】把方程配方，化为的形式应为（   ） A． B． C． D． 【变式2】用配方法解一元二次方程时，化为的形式可得到（    ） A． B． C． D． 【变式3】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 题型07 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程： 【变式1】配方法解方程：． 【变式2】用适当的方法解下列一元二次方程：． 【变式3】用配方法解方程：． 题型08 用配方法解一元二次方程错解复原问题 【典例1】下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） (1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【变式1】下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得① 二次项系数化为1，得② 配方，得，即③ 由此可得④ 所以，⑤ (1)整个解答过程是从 步开始出现错误的，错误的原因是 (2)用这种方法解方程： 【变式2】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．        第一步 移项，得．        第二步 配方，得，即．    第三步 由此，可得．        第四步 所以，．        第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是________； (3)小明同学解题过程中，从第________步开始出现错误，请直接写出正确的结果________． 【变式3】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次系数化为1，得．…………………………第一步 移项，得．…………………………………………第二步 配方，得，即．……………第三步 由此，可得．……………………………………第四步 所以．……………………………第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______． 任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议． 题型09 配方法的应用 【典例1】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【变式1】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； 分析； (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 【变式2】【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”． 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解： 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： （1）当___________时，代数式有最小值，最小值为___________． （2）当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【拓展提高】 （3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【变式3】阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 1．一元二次方程的根是（   ） A． B．， C． D．， 2．把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 4．关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 6．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 7．方程的根是 ． 8．用配方法将方程进行配方得 ． 9．将一元二次方程通过配方转化为的形式，则的值为 ． 10．当 时，代数式的值最小． 11．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ． 12．若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 13．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 14．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 15．用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 19．阅读材料，并回答问题 下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程的过程： 解：， 二次项系数化为1，得：               第一步； 移项，得：                             第二步； 配方，得：，即       第三步； 由此可得：                          第四步； 解得：，             第五步． (1)“配方法”所依据的公式是______________；（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)上面解答过程，从第_________步开始出现错误； (3)写出正确的解答过程； 20．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$