5个有关正切的解三角形模型讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 一、正切恒等式 1、什么是正切恒等式？ 2、正切恒等式典型应用 二、正切定理 1、什么是正切定理？ 2、正切定理典型应用 三、正切分式定理 1、什么是正切分式定理？ 2、正切分式定理典型应用 四、三角形面积正切式 1、什么是三角形面积正切式？ 2、三角形面积正切式典型应用 五、三倍正切模型 1、什么是三倍正切模型？ 2、三倍正切模型典型应用 六、附正余弦平方差公式（平方形式的和差化积） 一、正切恒等式 1、什么是正切恒等式？ 【正切恒等式】 在 中，三个内角分别为 ，， ，则 证明： 注： 此等式不仅在 中成立，只要满足 （ ） 都成立. 2、正切恒等式典型应用 【典例1】 在锐角 中，若 ，， 依次成等差数列，则 的值为___ . 解析： 【典例2】 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若已知 ，则 的最小值为__ . 解析： 【典例3】 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若已知 ，则 的最小值为__ . 答案： 二、正切定理 1、什么是正切定理？ 【正切定理】 在 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则 证法1：正弦定理+和差化积 证法2：几何法 图 1 2、正切定理典型应用 【典例4】 在三角形 中，，，求 解析： 三、正切分式定理 1、什么是正切分式定理？ 正切分式定理： 如图 2，在非直角的 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则 图 2 证明： 2、正切分式定理典型应用 【典例5】 在 中， ，则 ____ . 解析： 【典例6】 在锐角 中， ，则 ____ . 解析： 四、三角形面积正切式 1、什么是三角形面积正切式？ 【三角形面积正切式】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则 证明： （1） （2） （3） 2、三角形面积正切式典型应用 【典例7】 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ， 则 的面积为___ . 解析： 【典例8】 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ， ，则 的面积为___ . 解析： 五、三倍正切模型 1、什么是三倍正切模型？ 【三倍正切模型】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则 证明 必要性： 充分性： 2、三倍正切模型典型应用 【典例9】（吉林吉林市25届高三上一模T18） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，， （1） 若 ， ，求 的面积 ； （2） 求证： ； （3） 当 取最小值时，求 . 解析： （1） （2） （3） 【典例10】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，当 取最大值时，___ . 解析： 六、附正余弦平方差公式（平方形式的和差化积） 正余弦平方差也就是平方形式的和差化积。下面先介绍和差化积公式 【和差化积公式】 证明： 【平方形式的和差化积公式】 证明： 【2022年全国乙卷T17】 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 （1） 证明： （2） 若 ， ，求 的周长. （1） 证明： （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 一、正切恒等式 1、什么是正切恒等式？ 2、正切恒等式典型应用 二、正切定理 1、什么是正切定理？ 2、正切定理典型应用 三、正切分式定理 1、什么是正切分式定理？ 2、正切分式定理典型应用 四、三角形面积正切式 1、什么是三角形面积正切式？ 2、三角形面积正切式典型应用 五、三倍正切模型 1、什么是三倍正切模型？ 2、三倍正切模型典型应用 六、附正余弦平方差公式（平方形式的和差化积） 一、正切恒等式 1、什么是正切恒等式？ 【正切恒等式】 在 中，三个内角分别为 ，， ，则 证明： 在 中， 所以 所以 移项即可得 注： 此等式不仅在 中成立，只要满足 （ ） 都成立. 2、正切恒等式典型应用 【典例1】 在锐角 中，若 ，， 依次成等差数列，则 的值为___ . 解析： 由题意得 由正切恒等式得 联立以上两式可得 又在锐角 中， 故 【典例2】 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若已知 ，则 的最小值为__ . 解析： 由余弦定理可得 所以 所以 令 ，则 当且仅当 时取等号，即 故 的最小值为 . 【典例3】 在锐角 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，若已知 ，则 的最小值为__ . 答案： ，详解同 【典例2】 二、正切定理 1、什么是正切定理？ 【正切定理】 在 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则 证法1：正弦定理+和差化积 证法2：几何法 如图 1 所示，在三角形 中，延长 到 ，使 ， 是 中点，则 垂直 。 图 1 平行 ， 因为相似三角形 因为三角形内角和 2、正切定理典型应用 【典例4】 在三角形 中，，，求 解析： 由正切定理得 所以 所以 三、正切分式定理 1、什么是正切分式定理？ 正切分式定理： 如图 2，在非直角的 中，三个内角 ，， 的对边分别为 ，，，则 图 2 证明： 再由余弦定理得 所以 其余等式同理可证 2、正切分式定理典型应用 【典例5】 在 中， ，则 ____ . 解析： 由正弦定理可得 再由正切恒等式 则 【典例6】 在锐角 中， ，则 ____ . 解析： 由正切分式定理可得 又 ， 所以 四、三角形面积正切式 1、什么是三角形面积正切式？ 【三角形面积正切式】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则 证明： （1） 由余弦定理得 所以 （2） 将余弦定理变形可得 所以 （3） 将余弦定理变形可得 所以 2、三角形面积正切式典型应用 【典例7】 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 ， 则 的面积为___ . 解析： 由正弦定理可得 由三角形面积正切式可得 注： 这里的 舍去了，因为面积没有负值；另外也可以由余弦定理看出，首先 ，则 ，因此 只能取 【典例8】 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ， ，则 的面积为___ . 解析： 由三角形面积正切式可得 五、三倍正切模型 1、什么是三倍正切模型？ 【三倍正切模型】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，则 证明 必要性： 由正弦定理得 所以 由正余弦平方差公式可得 所以 两端和差角公式展开可得 即 因为 是锐角三角形 所以 即 充分性： 由 ，可得 由正弦定理得 由余弦定理得 化简得 即 2、三倍正切模型典型应用 【典例9】（吉林吉林市25届高三上一模T18） 在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，， （1） 若 ， ，求 的面积 ； （2） 求证： ； （3） 当 取最小值时，求 . 解析： （1） 由题意 又 所以 的面积 （2） 由 ，可得 由正弦定理得 由余弦定理得 化简得 即 （3） 由 可得 又 所以 当且仅当 ，即 时取等号 此时 【典例10】 在锐角 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，当 取最大值时，___ . 解析： 由三倍正切模型知 所以 当且仅当 ，即 时取等号 因为 是锐角三角形 六、附正余弦平方差公式（平方形式的和差化积） 正余弦平方差也就是平方形式的和差化积。下面先介绍和差化积公式 【和差化积公式】 证明： 利用两角和差公式即可证明，比如对于前两个公式 由 得 由 得 令 ， 解得 ， 所以 【平方形式的和差化积公式】 证明： 利用上面的和差公式即可证明，比如对于第一个公式，首先由于 由和差化积公式可得 由 再结合正弦二倍角展开式即可得 【2022年全国乙卷T17】 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 （1） 证明： （2） 若 ， ，求 的周长. （1） 证明： 由正弦平方差公式可得 （2） 暂略 学科网（北京）股份有限公司 $$